Bài giảng môn Toán Lớp 11 - Chương 3, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Nội dung text: Bài giảng môn Toán Lớp 11 - Chương 3, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

1. LỚP LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 11 Chương III 11 HÌNH HỌC Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
2. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Câu 2 a) Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng? Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ? b) Điền vào bảng bên dưới. Trả lời a) Trong mặt phẳng, cho 풖, 풗 . Tích vô hướng của hai vectơ 풖 và 풗 là một số, kí hiệu 풖. 풗 풖 . 풗 풖. 풗 = |풖|. |풗|.cos(풖, 풗) ⇒ 퐜퐨퐬 풖 , 풗 = |풖|. | 풗 |
3. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Định nghĩa Trong không gian, cho 풖 , 풗 . 풖 B = 풖 , = 풗 A  C Kí hiệu ( 풖 , 풗 ) là góc giữa hai vectơ 풖 và 풗  풗 ≤ ( 풖 , 풗 ) ≤ 풖, 풗 = ෣ Ví dụ 1: A Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm E của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ. H  ( AB , AC ) = BAC = 600 B  D ( CD , DA ) = ADE = 1200 C  ( CH , BC ) = HCF = 1500 F
4. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Nhận xét * Nếu u và v cùng hướng thì u . v =|u|.|v| * Nếu u và v ngược hướng thì u . v = -|u|.|v| * Nếu u và v vuông góc thì u . v = 0 * Ta có u 2 =|u|2
5. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian Ví dụ 1 Cho | | = , | | = góc giữa và bằng °. Tính tích vô hướng của hai véctơ và Bài giải . = | |. | |. 풐풔 , = . . 퐜퐨퐬 = −
6. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian Ví dụ 3 Cho hình lập phương 퐀퐁퐂퐃. 퐀′퐁′퐂′퐃′ có cạnh 퐚. Gọi 퐌 là trung điểm 퐀퐃. Giá trị 퐁′퐌. 퐁퐃′ là: A. 퐚 . B. 퐚 . C. 퐚 . D. 퐚 . ퟒ Bài giải B' A' Ta có: 퐁′퐌. 퐁퐃′ = 퐁′퐁 + 퐁퐀 + 퐀퐌 퐁퐀 + 퐀퐃 + 퐃퐃′ D' C' = ′ . 푫푫′ + + 푴. 푫 A B M = − + + = D C
7. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian Ví dụ 2 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và 푶 = 푶 = 푶푪 = . Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC. Bài giải OM .BC C B C 2= cos(OM , BC) OM .BC = = =OM.BC AB 2 OM.BC 2 OM == .2 22 2 1 Mặt khác OM.BC= (OA+OB).(OC-OB) O B 12 2 M = ( OA.OC-OA.OB+OB.OC-OB ) A 2 1 Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên: Suy ra: cos(OM ,BC) = - 2 2 OA . OC = OA . OB = OB . OC = 0, OB = 1 Vậy: (OM , BC) = 1200
8. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian Ví dụ 4 Cho hình lập phương 퐀퐁퐂퐃. 퐄퐅퐆퐇. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ 퐀퐅 và 퐄퐆? A. ° B. ° C. ퟒ ° D. ° Bài giải F E 퐀퐅. 퐄퐆 푬푭 − 푬 . 푬푮 푬푭. 푬푮 − 푬 . 푬푮 퐜퐨퐬 퐀퐅; 퐄퐆 = = = 퐀퐅. 퐄퐆 푭. 푬푮 푭. 푬푮 H G 푬푭. 푬푮 . . osퟒ A = = = ⇒ 퐀퐅; 퐄퐆 = B 푭. 푬푮 . D C
9. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Véctơ chỉ phương của đường thẳng AC là . . 푪. ′푪′ 푫. ′푪 Bài giải Vì A’C’//AC B' C' A' D' B C A D
10. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng Phương pháp chung xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian? Phương pháp 1: Phương pháp dùng định nghĩa Bước 1: Chọn 1 điểm trên đường thẳng này và kẻ đường thẳng song song với đường kia. Bước 2: Dựa vào hệ thức lượng trong mặt phẳng để tính góc đó. Phương pháp 2: Phương pháp vectơ Bước 1: Dựa vào tích vô hướng để tính góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng. Bước 2: Từ góc giữa 2 vectơ chỉ phương suy ra góc giữa 2 đường thẳng.
11. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = 2 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài giải . 푺푪 . ( 푺  +  푪 ൯ . 푺  +  . 푪 Ta có: 풐풔( , 푺푪) = = = | |. | 푺푪 | .  S Tam giác ABC có AB2 + AC2 = 2a2 = BC2 nên tam giác ABC vuông tại A . 푪= 0 a a 0 Tam giác SAB đều nên ( , 푺 ) = 120 A a B Do đó: . 푺 = a.a.cos1200 = − a a2  − C Vậy: 퐜퐨퐬( , 푺푪 )= =− , 푺푪= 1200
12. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 4 Cho hình chóp 푺. 푪푫 có đáy là hình vuông cạnh là ; cạnh 푺 = và vuông góc với đáy. Gọi 푴 là trung điểm của 푪푫. Tính 풐풔 휶 với 휶 là góc tạo bởi hai đường thẳng 푺 và 푴. ퟒ A. . B. . C. . D. − . Bài giải Gọi 푵,푷 lần lượt là trung điểm và 푺 . S 푺 //푵푷 Ta có ቊ . Suy ra : 푺 ෣, 푴 =.푵푷෣, 푵푪 P 푴//푵푪 A D Xét 휟푵푷푪 có 푵푷 = , 푷푪 = , 푵푪 = . N M 푵푷 +푵푪 −푷푪 B Khi đó 풐풔 휶 = 풐풔 푷푵푪෣ = = . C 푵푷.푵푪
13. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau được kí hiệu là a ⊥ b a u a a ⊥ b  b  v b I và a cắt b tại I a c b a b / /c a ⊥ b a⊥ b u . v = 0 ⊥ab b ac⊥ và a, b chéo nhau
14. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 2 Cho hình lập phương 푪푫. ′ ′푪′푫′. Góc giữa hai đường thẳng 푪푫′ và 푪′ bằng A. °. B. °. C. °. D. ퟒ °. Bài giải Ta có: 푪푫′. 푪′ = 푪푫′. 푫 + 푫푪′ = 푪푫′. 푫 + 푪푫′. 푫푪′ = 푪푫′. 푫 + = 푪푫 + 푫푫′ . 푫 = 푪푫. 푫 + 푫푫′. 푫 = . Suy ra 푪푫′. 푪′ = Do đó góc giữa hai đường thẳng 푪푫′ và 푪′ là °.
15. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 4 Cho hình hộp 푪푫. ′ ′푪′푫′ có tất cả các cạnh bằng a và 푪෣ = ෣′ = ෣′ 푪 = . Chứng minh ′ ′푪푫 là hình vuông. Bài giải Ta có: 푪 푫Τ/ = ′ ′. Vậy ′ ′푪푫 là hình bình hành. Mặt khác: ′푪 = + − . . 풐풔 = − = ⇒ ′푪 = A D Do đó ′ ′푪푫 là hình thoi. C B Ta lại có: 푪 ′. 푪푫 = 푪 + ′ . 푪푫 = 푪 . + ′. = + = Suy ra 푪 ′ ⊥ 푪푫 A' D' Vậy ′ ′푪푫 là hình vuông (đpcm). B' C'
16. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 6 Cho tứ diện 푪푫 có = 푪 = 푫 và 푪෣ = 푫෣ = °, 푪 푫෣ = °. Gọi 푰 và 푱 lần lượt là trung điểm của và 푪푫. Chứng minh đường thẳng 푰푱 và 푪푫 vuông góc. Bài giải 푰푱 = 푰 + 푫 + 푫푱 ; 푰푱 = 푰 + 푪 + 푪푱 Lấy + ta được: 푰푱 = 푫 + 푪 2푰푱. 푪푫 = 푫 + 푪 − . 푫 − 푪 = 푫 − 푫. 푪 + 푪. 푫 − 푪 − . 푫 + . 푪 = − . . 푫. 풐풔 + . 푪. 풐풔 = 0 Vậy 푰푱 ⊥ 푪푫 suy ra 푪푫෣, 푰푱 = °.
17. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
18. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Góc giữa hai vectơ trong không gian Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 00 900 u a b A B u  C u v   v  v 00 ( u , v ) 1800 00 ( u , v ) 900 ( u , v ) > 900 Hai đường thẳng vuông góc u . v cos( u, v ) = 0 u . u a ⊥ b = 90 a⊥ b u.v= 0