Bài giảng môn Toán Lớp 11 - Chương 3, Bài 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Nội dung text: Bài giảng môn Toán Lớp 11 - Chương 3, Bài 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

1. LỚP 11 HÌNH HỌC Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (TIẾT 1) I ĐỊNH NGHĨA II ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG III TÍNH CHẤT III LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
2. Bài 3.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng • Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. ⊥ ⊥ d Vậy ⇒ ⊥ 푃 . cắt a ⊂ 푃 , ⊂ (푃) P b Hệ quả • Nếu một đường thẳng vuông d ⊥ góc với hai cạnh của một tam ቊ ⇒ ⊥ A C giác thì nó cũng vuông góc với ⊥ cạnh thứ ba của tam giác đó. B
3. Bài 3.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Tính chất 1 ∕∕ ⊥ 훼 a) ቊ ⇒ 훼 ⊥ b) a, b phân biệt và ൜ ⇒ ∕∕ 훼 ⊥ ⊥ 훼 b a a b 훼) 훼)
4. Bài 3.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Tính chất 3 b) Đườngthẳngakhôngnằmtrong ∕∕ 훼 ⊥ 훼 a) ቊ ⇒ ⊥ mp 훼 và ൜ ⇒ ∕∕ 훼 ⊥ 훼 ⊥ b a b a 훼) 훼)
5. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP DẠNG 1: CÁC BÀI TẬP LÝ THUYẾT Câu 2 Trong không gian cho đường thẳng , đường thẳng và mặt phẳng (훼). Khẳng định nào sau đây đúng? ⊥ , ⊂ (훼) ⊥ (훼) A. ቊ ⇒ ∕∕ . ⊥ , ⊂ (훼) ⊥ ⊥ (훼) ⊂ (훼) B. ቐ ⇒ ⊥ (훼). C. ቊ ⇒ // . D. ቊ ⇒ ⊥ . // ⊥ ⊂ (훼) Lời giải Một vài hình ảnh minh họa cho các trường hợp sai: d d d d a a a b a b P P P b A sai, D B sai C sai đúng
6. DẠNG 2: CM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Câu 1: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông , cạnh bên 푆 vuông góc với đáy ( ) . Khẳng định nào sau đây sai ? AA ⊥ (푆 ). B ⊥ 푆 C ⊥ 푆 D ⊥ (푆 ). S Lời Giải Ta có : 푆 ⊥ ( ⇒ 푆 ⊥ ; 푆 ⊥ . ⊥ Nên ta có : ቊ ⇒ ⊥ (푆 ) ⇒ B đúng. ⊥ 푆 D A ⊥ O Tương tự ta có : ቊ ⇒ ⊥ (푆 ) ⇒ C đúng. ⊥ 푆 B C ⊥ Ta có: ቊ ⇒ ⊥ (푆 ) ⇒ D đúng. ⊥ 푆 Chọn đáp án A.
7. Câu 3: Cho hình chóp 푺. 푪푫 có đáy 푪푫 là hình thoi và 푺푶 ⊥ ( 푪푫). Gọi 푰, 푱 lần lượt là trung điểm của , 푪. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A 푰푱 ⊥ (푺 ) B 푪푫 ⊥ 푺 푫 C 푰푱 ⊥ (푺 푫) D 푫 ⊥ (푺 ) Lời Giải S Ta có: 푪 ⊥ 푫 ቊ ⇒ 푪 ⊥ (푺 푫) 푪 ⊥ 푺푶 A D Mà 푰푱// 푪 ⇒ 푰푱 ⊥ (푺 푫) I O B J C
8. Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác 푪. ′ ′푪′. Gọi 푯 là trực tâm 휟 푪 và biết rằng ′푯 vuông góc với mặt phẳng( 푪). Gọi 푴, 푵 lần lượt là trung điểm của ′, 푪푪′. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. ′ ′ ′ A ′ ⊥ ′푪 B ⊥ 푪 C ⊥ DD ′ ⊥ 푴푵 Lời Giải Ta có: ′푯 ⊥ ( BC) suy ra ′푯 ⊥BC (1) Lại có, H là trực tâm tam giác ABC nên suy ra 푯 ⊥ 푪 ( ) Từ (1) và (2): 푪 ⊥ ′ 푯 . Theo gt 푴푵// 푪 nên suy ra ( ′ 푯) ⊥ 푴푵 ⇒ 푴푵 ⊥ ′A
9. Câu 7: Cho hình chóp 퐒. 퐀퐁퐂 có đáy 퐀퐁퐂 là vuông tại 퐁, 푺 ⊥ 퐀퐁푪 . Gọi 퐌, 퐍 lần lượt là trung điểm của 퐒퐁, 퐒퐂. Khẳng định nào sau đây SAI? A 퐌퐍 ⊥ 퐀퐌. B 퐌퐍 ⊥ 퐒퐀퐁 . C MN ⊥ SB. DD MN ⊥ (SAC). Lời Giải S 퐁퐂 ⊥ 퐀퐁 Ta có ቊ ⇒ 퐁퐂 ⊥ 퐒퐀퐁 . 퐁퐂 ⊥ 퐒퐀 N Mà 퐌퐍//퐁퐂. M A C Suy ra 퐌퐍 ⊥ 퐒퐀퐁 퐬퐮퐲 퐫퐚 퐌퐍 ⊥MA, 퐌퐍 ⊥ 퐒퐁 nên ĐÁ A, B, C đều đúng ⇒ D sai B
10. LỚP 11 HÌNH HỌC Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (TIẾT 2) V PHÉP CHIẾU BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC 1 Phép chiếu vuông góc 2 Định lý ba đường vuông góc 3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 3
11. V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc. 2. Định lí ba đường vuông góc Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (훼) và b là đường thẳng không thuộc (훼) đồng thời không vuông góc với (훼). b Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (훼). a Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ b’ khi a vuông góc với b’. 훼)
12. Bài 1: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông tâm , cạnh 푆 ⊥ . Chứng minh ⊥ 푆 , ⊥ 푆 . Lời Giải S Gt 푆 ⊥ nên là hình chiếu của 푆 lên ( ) Mà ⊥ (do là hình vuông) Vậy ⊥ 푆 (theo đl 3 đường vuông góc). Tương tự 푆 ⊥ nên là hình chiếu A D của 푆 lên ( ) Mà ⊥ (do là hình vuông) O Vậy ⊥ 푆 (theo đl 3 đường vuông góc). B C
13. Bài 3: Cho hình chóp 푆. có đáy là tam giác vuông tại C, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 푆 = = , = 2. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy . Lời Giải S Gt 푆 ⊥ nên là hình chiếu của 푆 lên ( ) nên góc giữa đường thẳng SB và ෣ mặt phẳng đáy ( ) chính là góc 푆 a Áp dụng Pytago trong ∆ vuông tại ta có = 2 2 + 2 = 3 a A C 1 푡 푛 푆 ෣ = = ⇒ 푆 ෣ = 30표 3 3 2 B
14. Bài 4: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông cạnh a, 푆 = 2 và 푆 vuông góc với . b) Tính góc giữa 푆 và 푆 . Lời Giải S 푆 ⊥ Vì ቊ ⇒ ⊥ (푆 ) ⊥ Vậy 푆 là hình chiếu của 푆 lên (푆 ) 2 ⇒ 푆 ෣, 푆 = 푆 ෣. Mà 훥푆 vuông cân tại ( = 푆 = 2) A a D ⇒ 푆 = 2 . 훥푆 vuông tại và 푆 = 2 nên là nửa tam O giác đều, suy ra 푆 ,෣푆 = 푆 ෣ = 30표 B C
15. LỚP 11 HÌNH HỌC Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN LUYỆN TẬP BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (TIẾT 3) D1. Thiết diện vuông góc với một đường thẳng D2. CM hai đường thẳng vuông góc D3. CM đường thẳng vuông góc với mặt phẳng D4. CM hai mặt phẳng song song D5. CM đường thẳng song song với mặt phẳng
16. Câu 2: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A Nếu ⊥ 휶 và ⊥ thì // 휶 . B Nếu // 휶 và // thì // 휶 . C Nếu // 훼 và ⊥ thì ⊥ 훼 . D Nếu a // (α) và b ⊥ (α) thì b ⊥ a. Lời Giải // 훼 Ta có: ቊ ⇒ ⊥ . ⊥ 훼
17. Câu 4: Cho hai đường thẳng phân biệt , và mặt phẳng 푃 , trong đó ⊥ 푷 .Chọn mệnh đề Sai trong các mệnh đề sau: A Nếu // thì ⊥ 푷 . B Nếu ⊥ 푷 thì // . C Nếu // 푷 thì ⊥ . D Nếu ⊥ thì // 푷 . Lời Giải ⊥ 푷 Ta thấy ቊ ⇒ // 푷 hoặc ⊂ 푃 . ⊥
18. Câu 6: Cho hình chóp 푺. 푪푫, có đáy 푪푫 là hình vuông tâm 푶, 푺 ⊥ ( 푪푫). Gọi 푴 là trung điểm của 푶, (푷) là mặt phẳng qua 푴 và (푷) ⊥ 푪. Thết diện là hình gì? A Hình thang cân. BHình thang vuông. C Hình bình hành. D Tam giác vuông. Lời Giải S Trong ( 푪푫), qua 푴 kẻ 푰푱// //푪푫, 푰 ∈ 푪 và 푱 ∈ 푫 E ⇒ 푰푱 ⊥ 푪 (1) F Trong (푺푪푫) kẻ 푱푬//푺 với 푬 ∈ 푺푫. Vì 푺 ⊥ ( 푪푫) nên 푱푬 ⊥ ( 푪푫) ⇒ 푱푭 ⊥ 푪 (2) A D Từ (1) và (2) suy ra 푪 ⊥ (푬푰푱). J Xét (푬푰푱) và (푺푪푫). O 푬푰푱 ∩ 푺푪푫 = 휟, mà 푪푫//푰푱 nên giao tuyến M 휟 qua 푬, 퐯à 휟//푪푫, 휟 cắt 푺푪 tại 푭. B I C Suy ra thiết diện là hình thang 푰푱푬푭 vuông.
19. Câu 8: Cho tứ diện đều 푪푫. Thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm 푰 của đoạn và vuông góc là A Hình vuông. B Tam giác cân. C Tam giác đều. D Tam giác vuông. Lời Giải A Do tứ diện 퐀퐁퐂퐃 đều nên các 횫퐀퐁퐂 và 횫퐀퐁퐃 I là các tam giác đều bằng nhau và CI = DI. 퐂퐈 ⊥ 퐀퐁 Mặt khác: ቊ ⇒ 퐀퐁 ⊥ (퐈퐂퐃). 퐃퐈 ⊥ 퐀퐁 B D Thiết diện cần tìm là tam giác 퐈퐂퐃 cân tại 퐈. C
20. Câu 10: Cho tứ diện 퐒. 퐀퐁퐂 có 퐒퐀 ⊥ 퐀퐁퐂 và 퐀퐁 ⊥ 퐁퐂. Số các mặt của tứ diện 퐒. 퐀퐁퐂 là tam giác vuông là A . B . C . DD 4. Lời Giải S Ta có 횫퐀퐁퐂 vuông tại 퐁. 퐒퐀 ⊥ 퐀퐁 퐒퐀 ⊥ 퐀퐁퐂 ⇒ ቊ , suy ra tam 퐒퐀 ⊥ 퐀퐂 giác 퐒퐀퐁, 퐒퐀퐂 vuông tại 퐒. A C 퐁퐂 ⊥ 퐀퐁 ቊ ⇒ 퐁퐂 ⊥ 퐒퐁. Do đó 횫퐒퐁퐂 퐁퐂 ⊥ 퐒퐀 vuông tại 퐁. B
21. Bài 12: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông tâm O, 푆 ⊥ . a) Gọi là trung điểm của 푆 . Chứng minh ⊥ . Lời Giải S a) Tam giác 푆 có là đường trung bình nên ∕∕ 푆 . Theo giả thiết 푆 ⊥ ⇒ ⊥ M (theo tính chất 1a). A D O B C
22. Bài 13: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông tâm O, 푆 ⊥ và 푆 = . là trung điểm của 푆 . Gọi là hình chiếu của lên 푆 , 퐾 là hình chiếu của lên 푆 . Chứng minh ∕∕ 퐾 . Lời Giải S ⊥ Do ൜ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ ⊥ 푆 Lại có ⊥ 푆 , suy ra ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 . Tam giác 푆 vuông cân tại có là trung điểm 푆 M nên ⊥ 푆 . Từ đó có 푆 ⊥ (1). H 푆 ⊥ 퐾 Mặt khác, do ቊ ⇒ 푆 ⊥ 퐾 (2). D 푆 ⊥ A O Từ (1), (2) và phân biệt với 퐾 nên K ∕∕ (theo tính chất 2b). B C
23. Bài 14: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình thang vuông tại và , = = . 푆 ⊥ và 푆 = . Gọi là trung điểm của . 2 b) Gọi 1 và 2 lần lượt là trọng tâm của tam giác 푆 và 푆 . Chứng minh: 1 2 ⊥ 푆 . Lời Giải S b) Trong , ∩ = . 푆 푆 2 Tam giác 푆 có 1 = 2 = ⇒ ∕∕ (3). 푆 푆 3 1 2 G ⊥ 1 Do ቊ ⇒ ⊥ 푆 (4). G ⊥ 푆 A 2 E B Từ (3) và (4) ⇒ 1 2 ⊥ 푆 . O D C
24. Bài 15: Cho hình chóp 푆. có đáy là tam giác vuông tại , 푆 ⊥ và 푆 = . Gọi là trung điểm của . Xác định thiết diện của hình chóp khi bị cắt bới mặt phẳng 푃 qua điểm và vuông góc với 푆 . Lời Giải S Thiết diện thu Gọi là trung điểm của 푆 , ∆ 푆 vuông cân tại được là tứ giác nên ⊥ 푆 . 푞 푃푄. 푃 ∩ 푆 = ቊ , ∩ 푆 = 푄 là trung điểm . ⊥ 푆 ⊥ Ta có ቊ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 , P ⊥ 푆 E do 푆 ⊥ 푃 ⇒ // 푃 . 푞 A 푃 ∩ = ′ ቊ , ′ ∩ = Q N C // M 푞 푃 ∩ 푆 = ′′ ቊ , ′′ ∩ 푆 = 푃. // B