Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Nội dung text: Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1. 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 GIẢI BÀI TOÁN Chủ đề 3 BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH C. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH C. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH.........................................1 . KIẾN THỨC CẦN NHỚ ..................................................................................................2 . PHÂN DẠNG TOÁN.......................................................................................................2 Dạng 1. Toán về quan hệ số ................................................................................................2 Ví dụ minh họa:.................................................................................................................2 Bài tập tự luyện:.................................................................................................................4 Dạng 2: Toán chuyển động..................................................................................................6 Ví dụ minh họa:.................................................................................................................7 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................10 Dạng 3: Toán về năng suất – Khối lượng công việc - %...............................................11 Ví dụ minh họa:...............................................................................................................12 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................19 Dạng 4: Toán có nội dung hình học.................................................................................20 Ví dụ minh họa:...............................................................................................................20 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................22 Dạng 5. Các dạng toán khác ..............................................................................................22 Ví dụ minh họa:...............................................................................................................22 Bài tập tự luyện:...............................................................................................................25 .
2. 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 . KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình gồm ba bước: Bước 1. Lập hệ phương trình của bài toán: - Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo đại lượng đã biết. - Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải hệ phương trình. Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi kết luận. - Đối với giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, học sinh phải chọn 2 ẩn số từ đó lập một hệ gồm hai phương trình. - Khó khăn mà học sinh thường gặp là không biết biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và theo các đại lượng đã biết khác, tức là không thiết lập được mối quan hệ giữa các đại lượng. Tùy theo từng dạng bài tập mà ta xác định được các đại lượng trong bài, các công thức biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng ấy. . PHÂN DẠNG TOÁN Dạng 1. Toán về quan hệ số ✓ Số có hai, chữ số được ký hiệu là ab Giá trị của số: ab 10a b ; (Đk: 1 a 9 và 0 b 9, a,b N) ✓ Số có ba, chữ số được ký hiệu là abc abc = 100a +10b + c, (Đk: 1 a 9 và 0 b, c 9; a, b, c N) ✓ Tổng hai số x; y là: x y ✓ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 y2 ✓ Bình phương của tổng hai số x, y là: x y 2 1 1 ✓ Tổng nghịch đảo hai số x, y là: . x y Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị. Tìm số đã cho. Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, điều kiện x N, (0 < x ≤ 9) .
3. 3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Gọi chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y, điều kiện y N, (0 ≤ y ≤ 9) Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên có phương trình: x y 14 Số đó là: xy 10x y . Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì số mới là: yx 10 y x Theo bài ra ta số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên có phương trình: 10y x – 10x y 18 x y 14 x 6 Từ đó ta có hệ phương trình (thoả mãn điều kiện) y x 2 y 8 Số cần tìm là 68. Bài 2: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị và khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị. Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục là a ( a N,0 a 9 ) Gọi chữ số hàng đơn vị là b ( b N,0 b 9 ) Số cần tìm là ab 10a b Chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị nên ta có phương trình: b a 5 a b 5 1 Khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới là a1b 100a 10 b Số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị nên ta có phương trình : 100a 10 b 10a b 280 2 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình .
4. 4 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 a b 5 a b 5 a 3 (tm) 100a 10 b 10a b 280 90a 270 b 8 Vậy số cần tìm là 38. Bài 3: Tìm một số có hai chữ số nếu chia số đó cho tổng hai chữ số thì ta được thương là 6. Nếu cộng tích hai chữ số với 25 ta được số nghịch đảo. Hướng dẫn giải Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y (đk : x, y N,0 x, y 9 ) 10x y Nếu chia số đó cho tổng 2 chữ số ta được thương là 6 nên có phương trình: 6 x y Nếu lấy tích 2 chữ số cộng thêm 25 ta được số nghịch đảo nên ta có phương trình xy 25 10y x 10x y 6 (1) Theo bài ra ta có HPT: x y xy 25 10y x (2) 5y Từ phương trình 1 ta có : 10x y 6x 6y 4x 5y x 4 5y.y 5y Thay vào phương trình 2 ta có : 25 10y 4 4 2 2 2 5y 100 40y 5y 5y 45y 100 0 y 9y 20 0 (3) 1 0 . Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt y1 5; y2 4 (thỏa mãn) 5.5 Với y 5 x (không thỏa mãn điều kiện của x) 1 1 4 5.4 Với y 4 x 5 (Thỏa mãn điều kiện của x) 2 2 4 Vậy chữ số hàng chục là 5, chữ số hàng đơn vị là 4. Số cần tìm là 54. Nhận xét: Có những bài toán khi giải hệ phương trình, khi sử dụng phép thế từ một phương trình thì phương trình thứ hai sẽ giải dưới dạng phương trình bậc hai một ẩn. Bài tập tự luyện: Bài A.01: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của 1 nó thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng . Tìm phân số đó? 2 2 (Đ/S : Phân số cần tìm là ). 5 .
5. 5 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài A.02: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó? (Đ/S: Số cần tìm là 18). 2 1 Bài A.03: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng số thứ nhất thì bằng số thứ hai. 5 6 (Đ/S: Số cần tìm là 15 và 36). Bài A.04: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục cho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị. (Đ/S: Số cần tìm là 61). 1 Bài A.05: Tìm một số tự nhiên có hai chứ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng số đó. 4 Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới hơn số đã cho là 18. (Đ/S: Số cần tìm là 24 ). Bài A.06: Tìm một số tự nhiên có ba chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm đi 99 đơn vị. (Đ/S: Số cần tìm là 746). Bài A.07: Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó tăng thêm 27 đơn vị. (Đ/S: Số cần tìm là 47). Bài A.08: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5 và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 7 và dư 6. (Đ/S: Số cần tìm là 83). Bài A.09: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. 5 (Đ/S: Số cần tìm là ). 6 Bài A.10: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho. Bài A.11: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 630 đơn vị. .
6. 6 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài A.12: Chữ số hàng chục của một số có hai chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. 3 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng số ban đầu. Tìm số ban đầu. 8 Bài A.13: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4 đơn vị và tổng các bình phương của hai chữ số là 80. Dạng 2: Toán chuyển động 1. Toán chuyển động có ba đại lượng: S v.t Quãng đường Vận tốc Thời gian S: quãng đường S v Vận tốc Quãng đường : Thời gian v: vận tốc t S t Thời gian Quãng đường : Vận tốc. t: thời gian v Các đơn vị của ba đại lượng phải phù hợp với nhau. Nếu quãng đường tính bằng ki-lô- mét, vận tốc tính bằng ki-lô-mét/giờ thì thời gian phải tính bằng giờ. + Nếu hai xe đi ngược chiều nhau cùng xuất phát khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng quãng đường hai xe đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa hai xe. + Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB 2. Chuyển động với ngoại lực tác động: (lực cản, lực đẩy); (thường áp dụng với chuyển động cùng dòng nước với các vật như ca nô, tàu xuồng, thuyền): Đối với chuyển động cùng dòng nước Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng. Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0) Đối với chuyển động có ngoại lực tác động như lực gió ta giải tương tự như bài toán chuyển động cùng dòng nước. .
7. 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Ví dụ minh họa: Bài 1: Lúc 6 giờ một ô tô chạy từ A về B. Sau đó nửa giờ, một xe máy chạy từ B về A. Ô tô gặp xe máy lúc 8 giờ. Biết vân tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h và khoảng cách AB 195 km . Tính vận tốc mỗi xe. Hướng dẫn giải Gọi vận tốc ô tô là x km/h x 0 . Gọi vận tốc xe máy là y km/h y 0 . Vì vận tốc ô tô hơn vận tốc xe máy là 10 km/h nên ta có phương trình: x y 10 Thời gian ô tô đã đi cho đến lúc gặp xe máy là: 8 6 2 (giờ). 1 3 Thời gian xe máy đã đi cho đến lúc gặp ô tô là: 2 (giờ). 2 2 Quãng đường ô tô chạy trong 2 giờ là 2x km . 3 3y Quãng đường xe máy chạy trong giờ là km . 2 2 3 Vì quãng đường AB dài 195 km nên ta có phương trình 2x y 195 hay 4x 3y 390 . 2 x y 10 Do đó ta có hệ hai phương trình : 4x 3y 390. Giải hệ này ta được x 60; y 50 (thỏa mãn điều kiện). Vậy vận tốc ô tô là 60 km/h, vận tốc xe máy là 50 km/h. Bài 2: Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 km hết một thời gian bằng thời gian chạy ngược dòng 54 km. Nếu tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng 9 km thì chỉ hết 1 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thủy và vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng của tàu không đổi). Hướng dẫn giải Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là x (km/h). Gọi vận tốc của dòng nước là y (km/h) (x y 0). Suy ra vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là x y (km/h). Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là x y (km/h). .
8. 8 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Dẫn tới hệ phương trình : 66 54 x y x y x 30 (thỏa mãn điều kiện). 22 9 y 3. 1 x y x y Vậy vận tốc riêng của tàu thủy là 30 km/h. Vận tốc của dòng nước là 3 km/h. Bài 3: Hàng ngày, Nam đạp xe đi học với vận tốc không đổi trên quãng đường dài 10 km. Nam tính toán và thấy rằng đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian đi học sẽ rút ngắn 10 phút so với đạp xe với vận tốc hằng ngày. Tuy nhiên, thực tế sáng nay lại khác dự kiến. Nam chỉ đạp xe với vận tốc lớn nhất trên nửa đầu quãng đường (dài 5km), nửa quãng đường còn lại đường phố đông đúc nên Nam đã đạp xe với vận tốc hàng ngày. Vì vậy thời gian đạp xe đi học sáng nay của Nam là 35 phút. Hãy tính vận tốc đạp xe hàng ngày và vận tốc đạp xe lớn nhất của Nam (lấy đơn vị vận tốc là km/h) Hướng dẫn giải Gọi vận tốc đạp xe hằng ngày của Nam là x (km/h, x > 0) Vận tốc đạp xe lớn nhất của Nam là y (km/h, y > x) 10 Thời gian đi hàng ngày của Nam từ nhà đến trường là (h) x 10 Thời gian đi của Nam từ nhà đến trường với vận tốc lớn nhất là (h) y Theo bài ra Nam tính toán và thấy rằng nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian 1 10 10 1 đi học sẽ rút ngắn 10 phút ( (h) ) nên ta có pt: 6 x y 6 5 Thời gian đi học thực tế của Nam trong 5 km đầu là (h) y 5 Thời gian đi học thực tế của Nam trong 5 km cuối là (h) x 7 Theo bài ra vì thời gian đạp xe đi học sáng nay của Nam là 35 phút ( (h) )nên ta có 12 5 5 7 phương trình x y 12 .
9. 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 10 10 1 1 1 1 1 1 x y 6 x y 60 x 15 x 15 (tm) Giải hệ pt: 5 5 7 1 1 7 1 1 y 20 (tm) x y 12 x y 60 y 20 Vậy vận tốc đạp xe hàng ngày của Nam là 15 (km/h) Vận tốc đạp xe lớn nhất của Nam là 20 (km/h) Bài 4: Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước là không đổi, tính cận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước. Hướng dẫn giải. Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước lần lượt là x, y (km/h; 0 y x ). Vận tốc ca nô xuôi dòng là: x y (km/h). Vận tốc ca nô ngược dòng là: x y (km/h). 5 4 Đổi: 2 giờ 30 phút giờ; 1giờ 20 phút giờ. 2 3 Vì ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 12 12 5 30 phút nên ta có phương trình: (1). x y x y 2 Vì ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1giờ 20 phút nên ta có phương 4 8 4 trình: (2) x y x y 3 12 12 5 x y x y 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình . 4 8 4 x y x y 3 5 1 12a 12b a 1 1 2 12 Đặt a ;b ( a 0;b 0 ) , ta có hệ . x y x y 4 1 4a 8b b 3 8 .
10. 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 1 x y 12 x y 12 x 10 Suy ra (thỏa mãn điều kiện). 1 1 x y 8 y 2 x y 8 Vậy vận tốc riêng của ca nô là 10km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h Bài tập tự luyện: Bài B.01: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A? Bài B.02: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km và một đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B đến A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc, lúc xuống dốc? Bài B.03: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường. Bài B.04: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chayyj chậm lại mỗi giờ 10 km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB. Bài B.05: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác cũng trong 7 giờ ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc nước chảy và vận tốc ca nô. Bài B.06: Một khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường 640 km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ô tô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km? Bài B.07: Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau 38 km. Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau 4 giờ. Hỏi vận tốc của mỗi người, biết rằng khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai là 2 km? Bài B.08: Một chiếc ca nô đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong vòng 4 giờ, được 380 km. Một lần khác ca nô đi xuôi dòng trong 1 giờ và ngược .