Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 5: Hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan

Nội dung text: Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 5: Hàm số bậc nhất và các bài toán liên quan

1. 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 HÀM SỐ BẬC NHẤT Chủ đề 5 VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN E. HÀM SỐ BẬC NHẤT . KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y ax b trong đó a; b là các số cho trước và a 0. Đặc biệt, khi b 0 thì hàm có dạng y ax. 2. Tính chất Hàm số bậc nhất y ax b (a 0) xác định với mọi giá trị của x ¡ và: - Đồng biến trên ¡ khi a 0; - Ngịch biến trên ¡ khi a 0. 3. Đồ thị Đồ thị hàm số y ax b (a 0) là một đường thẳng: - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b - Song song với đường thẳng y ax nếu b 0 và trùng với đường thẳng y ax nếu b 0. Số a gọi là hệ số góc, số b gọi là tung độ gốc của đường thẳng. 4. Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục Ox Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y ax b (a 0) và trục Ox. Nếu a 0 thì tan a. (góc tạo bởi là góc nhọn) Nếu a 0 , ta đặt  180o . Khi đó tan  a . (góc tạo bởi là góc tù) Tính  rồi suy ra 180o . 4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và parabol Cho các đường thẳng d : y ax b (a 0) và (d’) y a ' x b' (a ' 0) . Khi đó : d cắt (d’) a a ' d // (d’) a a ' và b b'. d trùng (d’) a a ' và b b'. d vuông góc (d’) a.a ' 1.
2. 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 . BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y f (x) 2x 3 3 a) Tính giá trị của hàm số khi x 2; 0,5; 0; 3; 2 b) Tìm giá trị của x để hàm số có giá trị bằng 10; 7 Hướng dẫn giải a) Ta có: Khi x 2 f 2 2. 2 3 4 3 1 1 1 1 x f 2. 3 1 3 2 2 2 2 x 0 f 0 2.0 3 3 x 3 f 3 2.3 3 6 3 9 3 3 3 x f 2. 3 3 3 2 2 2 b) +) Để hàm số y f x 2x + 3 có giá trị bằng 10 2x + 3=10 7 2x 10 3 2x 7 x 2 7 Vậy khi x thì hàm số có giá trị bằng 10. 2 +) Để hàm số y f x 2x + 3có giá trị bằng 7 2x 3 7 2x 7 3 2x 10 x 5 Vậy khi x 5 thì hàm số có giá trị bằng 7 . Bài 2: Cho các hàm số: y 2mx m 1 1 và y m 1 x 3 2 a) Xác định m để hàm số 1 đồng biến, còn hàm số 2 nghịch biến. b) Xác định m để đồ thị của hàm số song song với nhau. c) Chứng minh rằng đồ thị d của hàm số 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Hướng dẫn giải a) Hàm số 1 đồng biến và hàm số 2 nghịch biến: 2m 0 m 0 0 m 1. m 1 0 m 1 b) Đồ thị của hai hàm số song song với nhau:
3. 3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 2m m 1 m 1 m 1. m 1 3 m 1 c) Viết lại hàm số 1 dưới dạng y m 2x 1 1. 1 Ta thấy với mọi giá trị của m, khi x thì y 1. 2 Vậy đồ thị d của hàm số 1 luôn đi qua một điểm cố định là điểm 1 M ;1 . 2 Bài 3. Cho hàm số y (m 3)x m 2 (*) a) Tìm m để đồ thị hàm số (*)cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 . b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y 2x 1 c) Tìm m để đồ thị hàm số (*)vuông góc với đường thẳng y 2x 3 Hướng dẫn giải a) Để đồ thị hàm số y (m 3)x m 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 3 x = 0; y = - 3 Ta có: 3 m 3 .0 m 2 m 2 3 m 5 Vậy với m 5 thì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 b) Để đồ thị hàm số y (m 3)x m 2 song song với đường thẳng y 2x 1 m 3 2 m 2 3 m 1 m 1 ( t/m) m 2 1 m 1 2 m 1 Vậy với m 1thì đồ thị hàm số y (m 3)x m 2 song song với đường thẳng y 2x 1 c) Để đồ thị hàm số y (m 3)x m 2 vuông góc với đường thẳng y 2x 3 a.a’ 1 m 3 .2 1 5 2m 6 1 2m 5 m = 2 5 Vậy với m = đồ thị hàm số y (m 3)x m 2 vuông góc với đường thẳng y 2x 3 2
4. 4 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 4: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y 2x m * 1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua: a) A 1;3 b) B 2; 5 2 2) Tìm m để đồ thị hàm số * cắt đồ thị hàm số y 3x 2 trong góc phần tư thứ IV Hướng dẫn giải 1) a) Để đồ thị hàm số y 2x m đi qua: A 1;3 3 2. 1 m 3 2 m m 5 Vậy với m 5 thì đồ thị hàm số y 2x m đi qua: A 1;3 b) Để đồ thị hàm số y 2x m đi qua: B 2; 5 2 5 2 2. 2 m m 7 2 Vậy với m 7 2 thì đồ thị hàm y 2x m đi qua: B 2; 5 2 2) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y 2x m với đồ thị hàm số y 3x 2 là nghiệm của hệ phương trình y = 2x + m 3x - 2 = 2x + m 3x - 2x = m + 2 y = 3x - 2 y = 3x - 2 y = 3x - 2 x = m + 2 x = m + 2 x = m+ 2 y = 3. m + 2 - 2 y = 3m + 6 - 2 y = 3m +4 Vậy toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y 2x m với đồ thị hàm số y 3x 2 là m+ 2 ; 3m +4 Để đồ thị hàm số y 2x m cắt đồ thị hàm số y 3x 2 trong góc phần tư thứ IV thì : m > - 2 x 0 m + 2 > 0 4 4 2 m y 0 3m + 4 < 0 m < - 3 3
5. 5 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 4 Vậy với 2 m thì đồ thị hàm số y 2x m cắt đồ thị hàm số y 3x 2 trong góc 3 phần tư thứ IV Bài 5: Cho hàm số y (2m 1)x m 4 (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d). a) Tìm m để (d) đi qua điểm A( 1;2) . b) Tìm m để (d) song song với đường thẳng (Δ) có phương trình: y 5x 1. c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải a) Ta có (d) đi qua điểm A( 1;2) 2 (2m 1)( 1) m 4 . 2 m 3 m 1. 2m 1 5 b) Ta có (d)//( ) m 2 . m 4 1 c) Giả sử M (x0 ; y0 ) là điểm cố định của đường thẳng (d). Khi đó ta có: y0 (2m 1)x0 m 4 m (2x0 1)m x0 y0 4 0 m 1 x0 2x0 1 0 2 x y 4 0 7 0 0 y 0 2 1 7 Vậy khi m thay đổi đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M ; 2 2 Bài 6: Tìm giá trị của tham số k để đường thẳng d1 : y x 2 cắt đường thẳng d2 : y 2x 3 k tại một điểm nằm trên trục hoành. Hướng dẫn giải Ta thấy hai đường thẳng d1;d2 luôn cắt nhau (vì 1 2 ) + Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A 2;0 k 3 + Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm B ;0 2 k 3 + Để hai đường thẳng d ;d cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì 2 k 7 . 1 2 2 Bài 7: Cho hai đường thẳng d1 : y 2x 5 ; d 2 : y –4x 1 cắt nhau tại I . Tìm m để đường thẳng d3 : y m 1 x 2m –1 đi qua điểm I ? Hướng dẫn giải
6. 6 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 2 x y 2x 5 3 Tọa độ I là nghiệm của hệ y –4x 1 11 y 3 11 2 Do d đi qua điểm I nên m 1 2m –1 m 4 . 3 3 3 Vậy m 4 là giá trị cần tìm. Bài 8: Xác định hàm số y ax b, biết đồ thị d của nó đi qua A 2;1,5 và B 8; 3 . Khi đó hãy tính: a) Vẽ đồ thị hàm số d vừa tìm được và tính góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox ; b) Khoảng cách h từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d . Hướng dẫn giải a) Vì d đi qua A 2;1,5 và B 8; 3 nên toạ độ của A và B phải thoả mãn phương trình y ax b. Thay x 2; y 1,5 rồi lại thay x 8; y 3 vào phương trình y ax b ta được hệ 3 1,5 2a b a y phương trình: 4 . 3 8a b b 3 3 Vậy hàm số cần xác định là y x 3. 4 3 P b) Vẽ đồ thị hàm số H Lập bảng 3 A 2 x 0 4 α 1 x 3 0 1 2 4Q y x 3. 3 0 4 Đồ thị hàm số (d) là đường thẳng đi qua điểm P(0;3) và Q(4;0) OP 3 Xét ΔPOQ vuông tại O có: tan Q tan 36o52' 1 OQ 4 µ o ' Suy ra Q1 36 52. Do đó 180 36o52' 143o8 . b) Vẽ OH  PQ. Tam giác OPQ vuông tại O, có OH  PQ. nên: 1 1 1 1 1 1 25 144 hay . Do đó h 2,4. OH 2 OP2 OQ2 h2 32 42 144 25
7. 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 9: Vẽ đồ thị hàm số y 3x 2 (1) b) Gọi A , B là giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục tung và trục hoành. Tính diện tích tam giác OAB . Hướng dẫn giải y a) Vẽ đồ thị hàm số y 3x 2 Lập bảng 2 x 0 3 2 A y 3x 2 2 0 Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua A 0,2 và B x 2 -2 O 1 B ,0 3 3 2 2 b) Ta có OA = 2 và OB . Tam giác OAB vuông tại O 3 3 1 1 2 2 S OA.OB 2. . OAB 2 2 3 3 Bài 10: Viết phương trình đường thẳng d có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm M 2;1 . Hướng dẫn giải Gọi phương trình đường thẳng d là y ax b a 7 a 7 Do đường thẳng d có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm M 2;1 ta có . 1 7.2 b b 13 Vậy y 7x 13 .
8. 8 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài E01: Cho hàm số y m 5 x 2m –10 a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến. c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3) d) Tìm mđể đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9. e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành . f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y 2x 1 g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m. h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất Bài E02: Cho đường thẳng y 2m –1 x 3 – m d . Xác định m để: a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y x 5 c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2 f) Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số y 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2 g) Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số y x 7 tại một điểm có tung độ y = 4 h) Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x 3y 8 và 2x 3y 8 Bài E03: Cho hàm số y 2m 3 x m 5 a) Vẽ đồ thị hàm số với m 6 b) Chứng minh họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 45o e) Tìm mđể đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 135o f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 30o , 60o g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y 3x 4 tại một điểm trên 0y
9. 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 h) Tìm mđể đồ thị hàm số cắt đường thẳng y x 3 tại một điểm trên 0x Bài E04: Cho hàm số y m 2 x m 3 a) Tìm điều kiện của mđể hàm số luôn luôn nghịch biến . b) Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. c) Tìm m để đồ thị hàm số y x 2 ; y 2x –1 và y m 2 x m 3 đồng quy. d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2 2 2 Bài E05: Cho (d1) : y 4mx (m 5) ; (d2) : y 3m 1 x m 4 a) Tìm m để đồ thị (d1) đi qua M(2;3) b) Chứng minh khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua một điểm A cố định, d2 đi qua B cố định. c) Tính khoảng cách AB. d) Tìm m để d1 song song với d2 e) Tìm m để d1 cắt d2 . Tìm giao điểm khi m 2  Hướng dẫn một số ý phụ Dạng tìm điểm cố định của đồ thị hàm số Phương pháp giải: Để tìm điểm cố định của đường thẳng y ax b phụ thuộc tham số ta làm như sau: - Gọi tọa độ điểm cố định là M (xo ; yo ) ; - Tìm điều kiện để đẳng thức yo ax0 b luôn đúng khi tham số thay đổi. Dạng toán ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Để tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm của hai trong ba đường thẳng và tìm điều kiện để giao điểm này thuộc đường thứ 3. Mục lục E. HÀM SỐ BẬC NHẤT ..........................................................................................................1 . KIẾN THỨC CẦN NHỚ ..................................................................................................1 . BÀI TẬP...............................................................................................................................2 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN.........................................................................................................7