Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 6: Hàm số bậc hai và các bài toán tương giao với đồ thị hàm số bậc nhất

Nội dung text: Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 6: Hàm số bậc hai và các bài toán tương giao với đồ thị hàm số bậc nhất

1. 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 HÀM SỐ BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN Chủ đề 6 TƯƠNG GIAO VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT F. HÀM SỐ BẬC HAI Mục Lục F. HÀM SỐ BẬC HAI...............................................................................................................1 . KIẾN THỨC CẦN NHỚ ..................................................................................................1 . BÀI TẬP...............................................................................................................................3 Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai. .........................................6 . PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN..........................................................................................17 . KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y ax2 với a 0 * Hàm số này có tập xác định x ¡ * Nếu a >0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 * Nếu a 0 và đồng biến khi x < 0 * Nếu a > 0 thì y > 0 x ≠ 0 +) y = 0 khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0. * Nếu a < 0 thì y < 0 x ≠ 0 +) y = 0 khi x = 0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0. • Đồ thị của hàm số y ax2 (a 0) * Đồ thị của hàm số y ax2 (a 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O. * Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành , O là điểm thấp nhất của đồ thị. * Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành , O là điểm cao nhất của đồ thị. .
2. 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 ￿ Vị trí tương đối của của đường thẳng và parabol Cho đường thẳng (d): y ax b (a 0) và parabol (P): y kx2 (k 0).  Tìm số giao điểm của (d) và (P) Khi đó : Xét phương trình kx2 ax b (1) - Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau. - Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. - Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau - Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình kx2 ax b .  Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) - Giải phương trình (1) tìm ra các giá trị của x. Khi đó giá trị của x chính là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Thay giá trị của x vào công thức hàm số của (d) (hoặc (P)) ta tìm ra tung độ giao điểm từ đó suy ra tọa độ giao điểm cần tìm. Tọa độ giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1)  Hàm số chứa tham số. Tìm điều kiện của tham số để tọa độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. - Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) từ đó vận dụng biệt thức delta và hệ thức Vi-et để giải bài toán với điều kiện cho sẵn.. .
3. 3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 . BÀI TẬP 3 Bài 1: Cho hàm số y f x x2 2 2 f 5 1) Hãy tính f 2 ; f 3 ; ; f 3 1 3 2) Các điểm A 2;6 , B 2;3 , C 4; 24 , D ; có thuộc đồ thị hàm số không ? 2 4 Hướng dẫn giải 3 2 3 3 3 27 1) Ta có: f 2 . 2 .4 6 ; f 3 .32 .9 ; 2 2 2 2 2 2 3 2 3 15 2 3 2 3 2 1 f 5 . 5 .5 ; f . . 2 2 2 3 2 3 2 9 3 3 2) +) Thay toạ độ điểm A 2;6 vào công thức hàm số y f x x2 2 3 Ta có 6 .22 6 6 ( thỏa mãn) 2 3 Vậy điểm A 2;6 thuộc đồ thị hàm số y f x x2 2 3 +) Thay toạ độ điểm C 4; 24 vào công thức hàm số y f x x2 2 3 2 Ta có 24 . 4 24 24 ( vô lí) 2 3 Vậy điểm C 4; 24 không thuộc đồ thị hàm số y f x x2 2 3 +) Thay toạ độ điểm B 2;3 vào công thức xác định hàm số y f x x2 2 3 2 3 Ta có 3 . 2 3 .2 ( thỏa mãn) 2 2 3 Vậy điểm B 2;3 thuộc đồ thị hàm số y f x x2 2 1 3 3 2 +) Thay toạ độ điểm D ; vào công thức xác định hàm số y f x x 2 4 2 2 3 3 1 3 3 Ta có . (thỏa mãn) 4 2 2 4 4 1 3 3 2 Vậy điểm D ; thuộc đồ thị hàm số y f x x 2 4 2 .
4. 4 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 2: Trong hệ toạ độ Oxy, cho hàm số y f x m 2 x2 * 1) Tìm m để đồ thị hàm số * đi qua các điểm : a) A 1;3 b) B 2; 1 2) Thay m = 0. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số * với đồ thị hàm số y x 1 Hướng dẫn giải 1) a) Để đồ thị hàm hàm số y f x m 2 x2 * đi qua điểm A 1;3 Ta có: 3 m 2 . 1 2 3 m 2 m 1 Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số * đi qua điểm A 1;3 b) Để đồ thị hàm số y f x m 2 x2 * đi qua điểm B 2; 1 2 5 Ta có: 1 m 2 . 2 1 m 2 .2 2m 4 1 2m 5 m 2 5 Vậy với m thì đồ thị hàm số * đi qua điểm B 2; 1 2 2) +) Thay m = 0 vào công thức hàm số y f x m 2 x2 * ta có: y f x 2x2 - Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x 2x2 với đồ thị hàm số y x 1 là nghiệm y 2x2 y 2x2 y 2x2 1 của hệ phương trình: 2 2 y x 1 2x x 1 2x x 1 0 2 - Giải phương trình 2 2x2 x 1 0 Ta có: a + b + c = 2 + (-1) + (-1) = 0 nên phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt x1 1; 1 x (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích và giải phương trình 2 2 tích) 2 +) Với x1 1 y1 2.1 2 M 1;2 2 1 1 1 1 1 1 +) Với x2 y1 2. 2. N ; 2 2 4 2 2 2 Vậy với m = 0 thì đồ thị hàm số y 2x2 và đồ thị hàm số y x 1 cắt nhau tại 2 điểm 1 1 phân biệt M 1;2 và N ; . 2 2 .
5. 5 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y x2 (P) và đường thẳng y x 2 d trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy. b) Tìm toạ độ giao điểm của (P ) và d bằng phép tính. Hướng dẫn giải a) Vẽ đồ thị hàm số y x2 (P) Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y. x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 y x2 9 4 1 0 1 4 9 Đồ thị hàm số y x2 (P) là một Parabol có bề lõm quay xuống phía dưới và đi qua các điểm có toạ độ O 0;0 ; A 1;1 ; A' 1;1 ; B 2;4 ; B ' 2;4 ; C 3;9 ;C ' 3;9 +) Đường thẳng y x 2 d Cho x = 0 y = 2 D 0;2 Oy y = 0 x = 2 E 2;0 Ox Đường thẳng y 2x 2 d đi qua 2 điểm D (0; 2) và E (2; 0) b) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y x2 (P) và đường thẳng y x 2 d là nghiệm y x2 y x2 y x2 1 của hệ phương trình: 2 2 y x 2 x x 2 x x 2 0 2 - Giải phương trình: x2 x 2 0 2 Ta có a + b + c = 1 + 1 + (- 2) = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm x1 1 ; x2 2 (hoặc giáo viên cho HS phân tích vế trái thành dạng tích và giải phương trình tích) 2 +) Với x1 1 y1 1 1 M 1; 1 2 +) Với x2 2 y2 2 4 N 2;4 - Vậy đồ thị hàm số y x2 (P) và đường thẳng y x 2 (d) cắt nhau tại 2 điểm M 1; 1 và N 2;4 . .
6. 6 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai. 1 Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho parabol (P): y x2 và đường thẳng 2 1 3 (d) : y x 4 2 a) Vẽ đồ thị của (P) b) Gọi A x1; y1 và B x2 ; y2 lần lượt là các giao điểm của P) với (d) . Tính giá trị biểu x x thức T 1 2 . y1 y2 Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ. 1 1 3 b) Phương trình hoành độ giao điểm của P) và (d) : x2 x 2 4 2 3 x 2 y 2 A(2;2) 2 x1 x2 2 4 3 9 3 9 . Vậy T x y B ; y y 9 25 1 2 2 2 8 2 8 8 Bài 5: Cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng d : y (2m 1)x m 2 ( m là tham số) a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt A x1; y1 B x2 ; y2 thỏa x1y1 x2 y2 0. Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm x2 (2m 1)x m 2 x2 (2m 1)x m 2 0(*) Ta có (2m 1)2 4.1(m 2) 4m2 8m 9 4(m 1)2 5 5 0 Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt. x1 x2 2m 1 b) Vì là nghiệm của phương trình nên theo hệ thức Vi-et ta có: . x1x2 m 2 2 y1 x1 Mặt khác 2 . y2 x2 3 3 2 2 Ta có x1 y1 x2 y2 0 x1 x2 0 x1 x2 x1 x1x2 x2 0 .
7. 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 x x 0 2m 1 0 m 1 2 2 2 2 2 x1 x1x2 x2 0 x1 x2 3x1x2 0 2 4m 7m 7 0 (vn) 1 Vậy m . 2 Bài 6: Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d) : y 2ax 4a (với a là tham số ) 1 a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và P) khi a . 2 b) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2 thỏa mãn x1 x2 3. Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ (d) và P) là x2 2ax 4a 0 1 Khi a thì phương trình trở thành x2 x 2 0 2 Có a b c 0 nên phương trình có 2 nghiệm là x 1; x 2 . b) Phương trình hoành độ (d) và P) là x2 2ax 4a 0 (*) để đường thẳng (d) cắt P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm a 0 phân biệt ' a(a 4) 0 a 4 a 0 x1 x2 2a Với theo Viét ta có a 4 x1x2 4a 2 2 2 Vì x1 x2 3 x1 x2 9 x1 x2 2x1x2 2 x1x2 9 4a 8a |8a | 9 1 Với a 0 : 4a2 8a | 8a | 9 4a2 16a 9 0 a 2 3 a dk 2 2 2 Với a 4 : 4a 8a | 8a | 9 4a 9 3 a dk 2 1 Vậy a . 2 .
8. 8 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 7: Cho hai hàm số y x2 và y mx 4 , với m là tham số. a) Khi m 3 , tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m, đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1 x1; y1 và A2 x2 ; y2 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho 2 2 2 y1 y2 7 . Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của y x2 và y mx 4 là x2 mx 4 0 (1) Thay m 3 vào phương trình (1) ta có: x2 3x 4 0 Ta có: a b c 1 ( 3) ( 4) 0 2 x 1 Vậy phương trình x 3x 4 0có hai nghiệm x 4 Với x 1 y 1 A( 1;1) Với x 4 y 16 B(4;16) Vậy với m 3 thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm A( 1;1) và B(4;16) . b) Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1) Phương trình (1) có: m2 4( 4) m2 16 0m ¡ Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2 Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1 x1; y1 và A2 x2 ; y2 với mọi m x1 x2 m Theo hệ thức Vi-et ta có: x1  x2 4 2 y1 x1 Ta lại có: 2 y2 x2 2 2 2 Theo đề, ta có: y1 y2 7 2 2 2 2 2 x2 x2 49 x x 2 2x x 2 x x 2 49 m2 2.( 4) 2 4 49 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 (m 8) 81 m 8 9 m 1 (trường hợp m 8 9 vô nghiệm vì m 0 ) 2 2 2 Vậy với m 1;m 1 thì y1 y2 7 . .
9. 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 Bài 8: Cho hàm số y x2 có đồ thị (P) . 2 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. b) Cho đường thẳng y mx n ( ) . Tìm m,n để đường thẳng ( ) song song với đường thẳng y 2x 5 (d) và có duy nhất một điểm chung với đồ thị (P) . Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số. m 2 b) song song với y 2x 5 suy ra n 5 1 Phương trình hoành độ giao điểm của và (P): x2 2x n 2 x2 4x 2n 0 (*) Để và (P) có một điểm chung duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì 0 4 2n 0 n 2 (thỏa mãn) Vậy m 2;n 2 . Bài 9: Cho đường thẳng (d) có phương trình y x 2 và parabol (P) có phương trình y x2 a) Vẽ đường thẳng (d) và parabol (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy . b) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm A và B (với A có hoành độ âm, B có hoành độ dương). Bằng tính toán hãy tìm tọa độ các điểm A và B. Hướng dẫn giải a) HS tự vẽ đồ thị hàm số (d) và (P) b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 x 2 x2 x 2 0 (x 2)(x 1) 0 x 2 hoặc x 1 Với x 2 y 4 B(2;4) (vì B có hoành độ dương) Với x 1 y 1 A( 1;1) (vì A có hoành độ âm) Vậy A( 1;1) ; B(2;4) .
10. 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 Bài 10: Cho hai hàm số y x2 và đồ thị hàm số (P) và y x 4 có đồ thị (d) 2 a) Vẽ đồ thị (P) b) Gọi A, B là các giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) Biết rằng đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét, tìm tất cả các điểm M trên tia Ox sao cho diện tích tam giác MAB bằng 30 cm2. Hướng dẫn giải a) Vẽ đồ thị: HS tự vẽ b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 1 x2 x 4 x2 2x 8 0 2 ( 1)2 ( 8) 9 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x 4; x 2 Với x 2 ta có y 2 A( 2;2) Với x 4 ta có y 8 B(4;8) Gọi M (m;0) thuộc tia Ox(m 0) Gọi C( 2;0), D(4;0) Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: M thuộc đoạn OD: Ta có SAMB SABDC SACM SBDM Có ABDC là hình thang, AC 2cm, BD 8cm,CD 6cm (2 8)6 2 ⇒ SABDC 30 cm 2 2 Suy ra SAMB 30 cm (loại) Trường hợp 2: M thuộc tia Dx (M D) m 4 Ta có : SAMB SABDC SACM SBDM 2 Có SABCD 30cm , MC m 2(cm), MD m 4(cm) Suy ra 1 1 S AC.CM .2.(m 2) m 2(cm2 ) ACM 2 2 .