Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 7: Phương trình bậc hai một ẩn hệ thức Vi-et và ứng dụng

Nội dung text: Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 7: Phương trình bậc hai một ẩn hệ thức Vi-et và ứng dụng

1. 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Chủ đề 7 HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Mục Lục G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN...........................................................................1 Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai...........................2 1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản....................................................................................2 1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai...........................................................4 1.2.1. Phương trình trùng phương.........................................................................................4 1.2.3. Giải phương trình đưa về phương trình tích..............................................................9 1.2.4. Giải phương trình chứa căn bậc hai..........................................................................11 a) Phương trình chứa căn bậc hai đơn giản (quy được về phương trình bậc hai).........11 b) Phương trình vô tỉ..........................................................................................................12 1.2.5. Giải phương trình chứa dấu GTTĐ ..........................................................................13 Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng.........................................................................................14 Dạng 3: Phương trình chứa tham số .......................................................................................19 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN.......................................................................................................50 .
2. 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai 1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản. Đối với đề toán là giải phương trình với phương trình là phương trình bậc hai đơn giản (có dạng tổng quát ax 2 bx c 0 ), học sinh có thể sử dụng phương pháp đưa về giải phương trình tích, hoặc sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn) và sử dụng cách nhẩm nghiệm để giải bài toán. 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c 0 , trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0 . 2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) và biệt thức b2 4ac : b b Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x . 1 2a 2 2a b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 2a Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thì > 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 3. Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) và b 2b , b 2 ac : b b Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x ; x 1 a 2 a b Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x x . 1 2 a Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. .
3. 3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 1: `Giải phương trình: a) 3x 2 5x 2 0 b) 5x 2 6x 1 0 Hướng dẫn giải a) Cách 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 3x2 5x 2 0 3x2 6x x 2 0 3x(x 2) (x 2) 0 1 3x 1 0 x (3x 1)(x 2) 0 3 x 2 0 x 2 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;  3 Cách 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai. Ta có a 3; b = 5; c = -2 ; b2 4ac 52 4.3.( 2) 25 24 49 0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: b 5 49 5 7 2 1 x 1 2a 2.3 6 6 3 b 5 49 5 7 12 x 2 2 2a 2.3 6 6 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;  3 b) Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 5x2 6x 1 0 5x2 5x x 1 0 5x(x 1) (x 1) 0 1 5x 1 0 x (5x 1)(x 1) 0 5 x 1 0 x 1 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;  5 .
4. 4 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn ( hoặc công thức nghiệm tổng quát) để giải: b 6 Ta có a 5; b = 6 b' = = = -3; c = 1 2 2 ' b 2 ac ( 3)2 5.1 9 5 4 0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: b' ' ( 3) 4 3 2 b' ' ( 3) 4 3 2 1 x 1; x 1 a 5 5 2 a 5 5 5 Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm. Ta có a 5; b = 6; c = 1 và a b c 5 ( 6) 1 0 . Vậy phương trình đã cho có 2 c 1 nghiệm phân biệt là x 1 và x . 1 2 a 5 1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai 1.2.1. Phương trình trùng phương Cho phương trình: ax 4 bx 2 c 0 ( a 0 ) (1) Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ: Đặt t x 2 (t 0) Ta được phương trình: at 2 bt c 0 (2) Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm. Nếu phương trình trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm Nếu phương trình trung gian có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm. Cụ thể: Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương phân 0 biệt P 0 S 0 .
5. 5 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có một nghiệm dương và 0 một nghiệm bằng 0 P 0 S 0 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt phương trình (2) có một một nghiệm kép 0 0 S 0 dương hoặc có hai nghiệm trái dấu S 0 0 a.c 0 P 0 Phương trình (1) có 1 nghiệm phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm 0 S 0 P 0 0 P 0 S 0 Phương trình (1) có vô nghiệm phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm 0 0 P 0 S 0 Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn c bằng . a Phương pháp 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích: A 0 Biến đổi đưa về dạng phương trình tích : A.B 0 B 0 Bài 1: Giải phương trình: x 4 13x 2 36 0 (1) Hướng dẫn giải .
6. 6 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Cách 1: Đặt t x 2 ( điều kiện: t 0 ) phương trình (1) có dạng : t 2 13t 36 0 . Ta có a 1;b 13;c 36 b2 4ac ( 13)2 4.1.36 25 0 . 5 b ( 13) 5 t 9 (thỏa mãn điều kiện t 0 ) 1 2a 2 b ( 13) 5 t 4 (thỏa mãn điều kiện t 0 ) 2 2a 2 2 Với t1 9 x 9 x 9 x 3 2 Với t2 4 x 4 x 4 x 2 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1 2 ; x2 3; x3 2; x4 3 . Cách 2: x 4 13x 2 36 0 (1) (x4 12x2 36) x2 0 (x2 6)2 x2 0 (x2 6 x)(x2 6 x) 0 x2 6 x 0 2 x 6 x 0 2 Giải phương trình: x – x – 6 0 ta được 2 nghiệm: x1 2; x2 3 . 2 Giải phương trình: x x – 6 0 ta được 2 nghiệm: x3 2; x4 3 . Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 3; x2 2; x3 2; x4 3 Bài 2: Giải phương trình: 5x 4 3x 2 – 2 0 (1) Hướng dẫn giải Đặt t x 2 ( điều kiện: t 0 ) phương trình (1) có dạng : 5t 2 3t 2 0 . Ta có a 5;b 3;c 2 b2 4ac (3)2 4.5.( 2) 49 0 7 b 3 7 2 t (thỏa mãn điều kiện t 0 ) 1 2a 2.5 5 .
7. 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 b 3 7 t 1 (không thỏa mãn điều kiện t 0 ) 2 2a 2.5 2 2 2 Với t x2 x 1 5 5 5 Với t2 1 (loại) 2 2 Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm : x ; x . 1 5 2 5 Bài 3: Giải phương trình: x 4 5x 2 6 0 (1) Hướng dẫn giải Đặt t x 2 (điều kiện: t 0 ) phương trình (1) có dạng : t 2 5t 6 0 . Ta có a 1;b 5;c 6 b 2 4ac 52 4.1.6 1 0 1 b 5 1 t 2 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t 0 ) 1 2a 2.1 b 5 1 t 3 (loại vì không thỏa mãn điều kiện t 0 ) 2 2a 2.1 Vậy phương trình (1) vô nghiệm. 1.2.2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Cách giải: Thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho. Bài 1: Giải phương trình: 14 1 2x x2 x 8 a. 1 b. x2 9 3 x x 1 (x 1)(x 4) .
8. 8 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Hướng dẫn giải 14 1 a. 1 x2 9 3 x ĐKXĐ : x 3 14 1 1 (x 3)(x 3) x 3 14 (x 3)(x 3) (x 3) (x 3)(x 3) (x 3)(x 3) 14 x – 3 x 3 x 3 x 2 – 9 x 3 – 14 0 x2 x – 20 0 Ta có: a 1;b 1;c 20 b 2 – 4ac 12 – 4.1. –20 81 0 81 9 Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm phân biệt : b 1 9 x 4 (thỏa mãn điều kiện) 1 2a 2.1 b 1 9 x 5 (thỏa mãn điều kiện) 2 2.a 2.1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 4 ; x2 –5 2x x2 x 8 b. x 1 (x 1)(x 4) ĐKXĐ: x –1 và x 4 2x x2 x 8 x 1 (x 1)(x 4) 2x(x 4) x2 x 8 (x 1)(x 4) (x 1)(x 4) 2x x – 4 x2 – x 8 2x 2 – 8x – x 2 x – 8 0 .
9. 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x 2 – 7x – 8 0 Ta có: a 1;b 7;c 8 a – b c 1– –7 –8 0 Phương trình có 2 nghiệm : x1 –1 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ) c x 8 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 a Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm: x 8 1.2.3. Giải phương trình đưa về phương trình tích. Phương pháp: Biến đổi phương trình ban đầu về dạng phương trình tích sau đó giải các phương trình A 0 Tổng quát: A.B 0 . B 0 Bài 1: Giải phương trình a) (x 3)(x2 3x 1) 0 b) x3 3x 2 – 2x 6 0 2 c) 2x2 3 –10x3 –15x 0 d) x 4 13x 2 36 0 Hướng dẫn giải a) (x 3)(x2 3x 4) 0 2 x 3 0 hoặc x 3x 4 0 +) x 3 0 x1 3 +) x 2 3x 4 0 (1) Ta có a 1;b 3,c 4 . và a b c 1 3 ( 4) 0 . Phương trình (1) có hai nghiệm: c x 1; x 4 2 3 a Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x1 3;x2 1; x3 4 b) x3 3x 2 – 2x – 6 0 .
10. 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x2 x 3 – 2 x 3 0 x 3 x2 – 2 0 2 x 3 0 hoặc x – 2 0 +) x 3 0 x1 3 2 2 +) x – 2 0 x 2 x2 2 hoặc x3 2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 3; x2 2; x3 2 2 c. 2x2 3 –10x3 –15x 0 2 2x2 3 – 5x 2x2 3 0 2x2 3 2x2 3 – 5x 0 2x 2 3 0 hoặc 2x 2 – 5x 3 0 +) 2x 2 3 0 2x2 –3 x2 1,5 (vô nghiệm) +) 2x 2 – 5x 3 0 . Có a 2;b 5;c 3 và a b c 2 – 5 3 0 Phương trình có 2 nghiệm: c 3 x 1 ; x 1 2 a 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 3 x 1 ; x 1 2 2 d) x 4 13x 2 36 0 (1) (x4 12x2 36) x2 0 (x2 6)2 x2 0 (x2 6 x)(x2 6 x) 0 x2 x 6 0 2 x x 6 0 2 Giải phương trình: x – x – 6 0 ta được 2 nghiệm: x1 2; x2 3 . 2 Giải phương trình: x x – 6 0 ta được 2 nghiệm: x3 2; x4 3 . Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm: x1 3; x2 2; x3 2; x4 3 .