Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 8: Bất đẳng thức. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức

Nội dung text: Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 8: Bất đẳng thức. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức

1. 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 BẤT ĐẲNG THỨC Chủ đề 8 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán bất đẳng thức. H. BẤT ĐẲNG THỨC Mục Lục H. BẤT ĐẲNG THỨC..............................................................................................................1 . KIẾN THỨC LÍ THUYẾT ..................................................................................................1 . BÀI TẬP...............................................................................................................................3  Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên.........................................7  Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm.................................13 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN........................................................................................................19 . KIẾN THỨC LÍ THUYẾT 1. Định nghĩa bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a b (hay a b;a b;a b) là bất đẳng thức. Tính chất của bất đẳng thức 1. a b b a. 3. a b a c b c. 4. a b a.c b.c c 0 . 2. a b;b c a c. a b a.c b.c c 0  5. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều được một bất đẳng thức cùng chiều.  6. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức khác chiều được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức thứ nhất.  7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm, ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Đặc biệt: a b 0 a2 b2 ; a b a2n b2n . a b a2n 1 b2n 1 . 1 1  8.Nếu a b 0 thì . a b .
2. 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 2. Một số hằng bất đẳng thức hay dùng. a b  1. Nếu a và b là hai số cùng dấu thì 2 (dấu = xảy ra a b ). b a 1 1 4  2. Nếu a,b 0 thì (dấu xảy ra a b ). a b a b  3. a b a b (dấu xảy ra khi a.b 0 ).  4. a b a b (dấu xảy ra khi a b 0 hoặc a b 0 )  5. Bất đẳng thức Cô-si a b Với a,b 0 thì ab hay a b 2 ab. (dấu xảy ra khi a b ). 2 Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si. 1 2 ( a,b 0) ). ab a b 2 a b 2 2 2 ab; a b 4ab;a b 2ab. 2 2 a b a2 b2 ab . 2 2 3. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1. Phương pháp dùng định nghĩa của bất đẳng thức: Muốn chứng minh a b , ta chứng minh a b 0. Muốn chứng minh a b, ta chứng minh a b 0. 2. Phương pháp biến đổi tương đương: A B A1 B2 A2 B2  C D. Nếu bất đẳng thức cuối đúng thì bất đẳng thức đầu đúng. 3. Phương pháp vận dụng tính chất của bất đẳng thức và vận dụng những hằng bất đẳng thức quen thuộc: Từ các bất đẳng thức đã biết ta dùng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. 4. Phương pháp phản chứng: Muốn chứng minh A B, ta giả sử A B rồi suy ra một điều vô lí (mâu thuẫn với điều đã cho hoặc đã biết), từ đó suy ra điều giả sử là sai, điều phải chứng minh là đúng. .
3. 3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 . BÀI TẬP Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b b c c a 8abc Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b b c c a 2 ab.2 bc.2 ac 8abc (đpcm) Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ac bd a b c d Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: ac bd a c b d . . a b c d a b c d a b c d 1 a c 1 b d 1 a b c d 1 2 a b c d 2 a b c d 2 a b c d ac bd a b c d (đpcm) a c Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . b c Chứng minh rằng c a c c b c ab Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: c a c c b c c a c c b c . . ab b a a b 1 c a c 1 c b c 2 b a 2 a b 1 c c 1 c c 1 1 1 2 b a 2 a b c a c c b c ab (đpcm) a 1 Bài 4: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab b 1 Hướng dẫn giải 1 ab Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b 1 a ab a a ab a (1) 2 2 ab Tương tự: b a 1 (2) 2 .
4. 4 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Cộng theo vế (1) và (2), ta được: a b 1 b a 1 ab (đpcm) Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 16ab a b 2 a b 4 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: 2 2 2 2 2 2 4ab a b a b 4 16ab a b 4. 4ab a b 4. 4. a b (đpcm) 2 2 a b Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: ab a b 1 b a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: a b ab a ab b a b ab a ab b a b ab 2 . 2 . 2 . a b 1 b a 2 2b 2 2a 2b 2a 2 2b 2 2a 2b 2a (đpcm) a b Bài 7: Chứng minh rằng: 2 , a,b 0 b a Hướng dẫn giải a b Vì a,b 0 nên 0, 0 b a Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a b a b 2 . 2 (đpcm) b a b a 1 Bài 8: Chứng minh rằng: a 3 , a 1 a 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 1 1 1 a a 1 1 2 a 1 1 2 1 3 (đpcm) a 1 a 1 a 1 .
5. 5 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 a 2 2 Bài 9: Chứng minh rằng: 2 , a R a 2 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: a 2 2 a 2 1 1 1 1 a 2 1 2 a 2 1 2 (đpcm) a 2 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 3a2 1 Bài 10: Chứng minh rằng: , a 0 1 9a4 2 Hướng dẫn giải Với a 0 , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a2 1 1 1 1 4 4 (đpcm) 1 9a 1 9a 1 2 1 2 2 2 3a 2 .3a 3a2 3a2 3a 3a2 2 2 2 a Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A a 1 2 , a 1 a 1 Hướng dẫn giải 2 2 2 a 2a 2 A a 1 a 1 2 2 2 a 1 1 a 1 a 1 2 2 1 a 1 a 1 a 1 1 Cauchy 1 2 a 1 2 2 2 2 a 1 2 2 2 2 2 a 1 2 a 1 2 1 2 4 8 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 a 1 2 hay a a 1 2 2 Vậy GTNN của A 2 2 2 .
6. 6 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 Bài 12: Chứng minh rằng: a 3 , a b 0 b(a b) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 1 1 1 a b a b 33 b. a b . 3 b a b b a b b a b bc ca ab Bài 13: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: a b c a b c Hướng dẫn giải Ta có: bc ca ab 1 bc ca 1 ca ab 1 ab bc a b c 2 a b 2 b c 2 c a bc ca ca ab ab bc . . . a b c a b b c c a a 2 b 2 c 2 b c a Bài 14: Cho ba số thực abc 0 . CMR: b 2 c 2 a 2 a b c Hướng dẫn giải Ta có: a 2 b 2 c 2 1 a 2 b 2 1 b 2 c 2 1 c 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a 2 b c 2 c a 2 a b a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b c a b c a . . b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 a b c a b c Bài 15: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1. CMR b c c a a b a b c 3 a b c Hướng dẫn giải b c c a a b 2 bc 2 ca 2 ab bc ca ab 2 a b c a b c a b c bc ca ca ab ab bc a b b c c a .
7. 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 bc ca ca ab ab bc 2 2 2 a b b c c a 2 a b c a b c a b c a b c 33 a b c a b c 3 b c c a a b Vậy a b c 3 a b c b c c a a b Bài 16: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: 6 a b c Hướng dẫn giải Ta có: b c c a a b b c c a a b 1 1 1 3 a b c a b c a b c b c a c a b 3 a b c 1 1 1 a b c 3 9 3 6 a b c  Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. Xét các bài toán sau: 1 Bài 1: Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A a a 1 1 Sai lầm thường gặp là: A a 2 a. 2 . Vậy GTNN của A là 2. a a 1 Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 a a 1vô lý vì theo giả thuyết thì a a 2 . 1 a 1 3a a 1 3a 3.2 5 Lời giải đúng: A a 2 . 1 a 4 a 4 4 a 4 4 2 .
8. 8 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 a 1 Dấu “=” xảy ra hay a 2 4 a 5 Vậy GTNN của A là . 2 Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a 2 . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a 2 ” . Ta không thể áp dụng bất 1 đẳng thức AM - GM cho hai số avà vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải a 1 tách a hoặc để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử a a 1 ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số , sao cho tại “Điểm rơi a 2 ” thì a a 2 a 1 2 1 , ta có sơ đồ sau: a 2 4 a 1 1 2 a 2 1 a 3a 1 Khi đó: A a và ta có lời giải như trên. a 4 4 a a 1 Lưu ý: Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số , ta có thể chọn các các cặp số sau: a 1 1 a, hoặc a, hoặc a, . a a a 1 Bài 2: Cho số thực a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A a a 2 Sơ đồ điểm rơi: .
9. 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 a 2 2 1 a 2 8 1 1 4 a 2 4 a 1 7a a 1 7a 1 7a 1 7.2 9 Sai lầm thường gặp là: A 2 . . 8 a 2 8 8 a 2 8 2a 8 2.2 8 4 Dấu “=” xảy ra a 2 . 9 Vậy GTNN của A là 4 9 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là là đáp số đúng nhưng cách giải trên 4 1 1 mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ a 2 là sai”. 2a 2.2 a a 1 6a a a 1 6a 3 6.2 9 Lời giải đúng: A 3.3 . . 8 8 a 2 8 8 8 a 2 8 4 8 4 Dấu “=” xảy ra a 2 9 Vậy GTNN của A là 4 1 Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1. Tìm GTNN của A ab ab Phân tích: 2 a b 1 Ta có: ab 2 4 ab 1 1 4 1 1 Sơ đồ điểm rơi: ab 4 4 1 4 16 4 ab Giải: .
10. 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Ta có: 2 a b 1 ab 2 4 1 ab 4 1 1 1 17 A 16ab 15ab 2 16ab 15ab 8 15. ab ab 4 4 1 1 Dấu “=” xảy ra ab a b 4 2 17 Vậy GTNN của A là 4 18 Bài 2: Cho số thực a 6. Tìm GTNN của A a 2 a Phân tích: 18 9 9 Ta có : A a 2 a 2 a a a Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a 6 . Ta có sơ đồ a 2 36 36 3 điểm rơi: a 6 24 9 9 3 2 a 6 2 Giải: a2 9 9 23a2 a2 9 9 23a2 9 23.36 Ta có: A 33 . . 39 24 a a 24 24 a a 24 2 24 a 2 9 Dấu “=” xảy ra a 6 24 a Vậy GTNN của A là 39 .