Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 2: Các bài toán giải hệ phương trình

Nội dung text: Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 2: Các bài toán giải hệ phương trình

1. 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 CÁC BÀI TOÁN Chủ đề 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH B. CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH B. CÁC BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ..................................................................1 . Kiến thức cơ bản ............................................................................................................2 . Ví dụ minh họa...............................................................................................................3 . Bài tập...............................................................................................................................4 . Bài tập tự luyện ..............................................................................................................8 . Giải hệ phương trình và một số ý phụ. ...................................................................11 . Giải hệ phương trình bậc cao ....................................................................................19
2. 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 . Kiến thức cơ bản ax by c Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: (I) a ' x b' y c ' Trong đó a và b cũng như a’ và b’ không đồng thời bằng 0. a b * Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi a ' b' a b c * Hệ (I) vô nghiệm khi . a ' b' c ' a b c * Hệ (I) có vô số nghiệm khi . a ' b' c '  1. Giải phương trình bằng phương pháp thế. (giả sử hệ có ẩn x và y ) - Từ một phương trình của hệ, biểu thị một ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn kia - Thế biểu thức của x vào phương trình còn lại rồi thu gọn, ta tìm được giá trị của y. - Thế giá trị của y vào biểu thức của x ta tìm được giá trị của x.  2. Giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số (giả sử hệ có ẩn x và y ) - Nhân các vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau. - Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn. - Giải hệ phương trình vừa thu được Chú ý: Nếu hệ phương trình có một ẩn mà hệ số bằng 1 thì nên giải hệ này theo phương pháp thế.  *Lưu ý: Khi trong hệ có chứa các biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ về một hệ mới đơn giản hơn. Sau đó sử dụng phương pháp cộng hoặc thế để tìm ra nghiệm của hệ phương trình.  Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ a) Phương pháp giải
3. 3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần). - Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có). - Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt. - Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ số (lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn phụ). . Ví dụ minh họa Bài 1: Giải hệ phương trình: 1 1 1 3x 2y 11 x y a) b) x 2y 1 3 4 5 x y Hướng dẫn giải a) + Giải theo phương pháp thế: 3x 2y 11 3x 2y 11 3 1 2y 2y 11 3 6y 2y 11 x 2y 1 x 1 2y x 1 2y x 1 2y 3 8y 11 3 11 8y 8y 8 y 1 y 1 y 1 x 1 2y x 1 2y x 1 2y x 1 2y x 1 2.( 1) x 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1). + Giải theo phương pháp cộng đại số: 3x 2y 11 4x 12 x 3 x 3 x 3 x 2y 1 x 2y 1 3 2y 1 2y 2 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-1). b) + Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Điều kiện: x 0; y 0 1 1 Đặt a; b (*) x y a b 1 Hệ phương trình đã cho tương đương với 3a 4b 5
4. 4 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 2 2 b a b 1 3a 3b 3 7b 2 b 7 Ta có: 7 3a 4b 5 3a 4b 5 a b 1 9 a 1 b a 7 2 1 2 7 b y 7 y 7 2 Thay vào (*) ta có (thỏa mãn) 9 1 9 7 a x 7 x 7 9 7 7 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y ; 9 2 . Bài tập. Bài 1: Giải hệ phương trình 2x y 5 2x 5y 3 x y 1 a) b) c) x y 1 3x y 4 3x 2y 3 x 7y 26 3x 2y 11 2x 3y 1 d) e) f) 5x 3y 16 x 2y 1 4x y 9 x 2y 8 3x y 5 2x y 1 g) h) i) x y 1 5x 2y 23 x y 1 Hướng dẫn giải 2x y 5 3x 6 x 2 x 2 a) x y 1 x y 1 x y 1 y 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;1 . 2x 5y 3 2x 5y 3 17x 17 x 1 b) 3x y 4 15x 5y 20 2x 5y 3 y 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 . x y 1 3x 2(x 1) 3 5x 5 x 1 c) 3x 2y 3 y x 1 y x 1 y 0 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1;0 . x 7y 26 5x 35y 130 x 7y 26 x 5 d) 5x 3y 16 5x 3y 16 38y 114 y 3
5. 5 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 5;3 . 3x 2y 11 4x 12 x 3 e) x 2y 1 x 2y 1 y 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 3; 1 . 2x 3y 1 2x 3y 1 2x 3y 1 x 2 f) 4x y 9 12x 3y 27 14x 28 y 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;1 . x 2y 8 3y 9 y 3 y 3 g) . x y 1 x y 1 x ( 3) 1 x 2 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2; 3 . 3x y 5 6x 2y 10 11x 33 x 3 h) . 5x 2y 23 5x 2y 23 3x y 5 y 4 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 3;4 . 2x y 1 x 0 x 0 i) . x y 1 x y 1 y 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 0;1 . Nhận xét: Học sinh thành thạo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng thì giải theo phương pháp đó. Bài 2: Giải hệ phương trình 2 y 3 3(x 1) 2(x 2y) 4 x a) b) 4(x 1) (x 2y) 9 1 2y 4 x 1 1 3x 2 x 4 y 2 x 1 y 2 c) d) 3 7 2x 1 2x 5 y 2 x 1 y 2
6. 6 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 4 1 5 x y y 1 4 x 3 y 4 e) f) 1 2 1 2 x y 2 x y y 1 Hướng dẫn giải a) 3(x 1) 2(x 2y) 4 3x 3 2x 4y 4 5x 4y 1 5x 4y 1 4(x 1) (x 2y) 9 4x 4 x 2y 9 3x 2y 5 6x 4y 10 11x 11 x 1 6x 4y 10 y 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 . b) Điều kiện x 0 2 4 5 1 y 3 2y 6 10 x 1 x x x 2 x 2 (thỏa mãn) 1 1 1 2 2y 4 2y 4 2y 4 y 3 y 1 x x x x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y ; 1 . 2 1 c) Điều kiện y 0 . Đặt t , hệ phương trình đã cho trở thành y 1 1 x t t x 1 x 1 2 2 t x x 1 2 1 (thỏa mãn) 7 1 7 t y 2 2x 3t 2x 3( x) 5x 5 2 2 2 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x; y 1;2 . 3x 2 4 x 1 y 2 d) (I) ĐK x 1; y 2 2x 1 5 x 1 y 2
7. 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 x a x 1 Đặt . Khi đó hệ phương trình (I) trở thành: 1 b y 2 3a 2b 4 3a 2b 4 7a 14 a 2 2a b 5 4a 2b 10 2a b 5 b 1 x 2 x 1 x 2 Khi đó ta có: 1 y 1 1 y 2 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x; y 2; 1 . 4 1 5 x y y 1 e) . Điều kiện: x y; y 1 1 2 1 x y y 1 1 1 Đặt u và v . Hệ phương trình thành : x y y 1 4u v 5 8u 2v 10 9u 9 u 1 u 2v 1 u 2v 1 2v u 1 v 1 Thay vào hệ đã cho ta có : 1 1 x y x y 1 x 1 1 y 1 1 y 2 1 y 1 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x; y 1;2 . f) Điều kiện: x 0; y 0 4 x 3 y 4 4 x 3 y 4 5 y 0 2 x y 2 4 x 2 y 4 2 x y 2 y 0 y 0 (Thỏa mãn) 2 x 2 x 1
8. 8 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x; y 1;0 . . Bài tập tự luyện Bài 1: Giải hệ phương trình. x 2 y 1 7x 2y 1 x y 3 2x y 8 1. 2. 3. 4. 2 x y 7 3x y 6 x 2y 0 3x y 7 5x 2y 9 2x y 4 0 2x 3y 7 0 5x 6y 17 5. 6. 7. 8. 4x 3y 2 x 2y 5 0 x 2y 4 0 9x y 7 4x 2y 3 2x 3y 5 3x 4y 2 0 2x 5y 3 9. 10. 11. 12. 6x 3y 5 4x 6y 10 5x 2y 14 3x 2y 14 x y 3 2 1 1 x 2 x y 1 x y 3 2 3 16. 5 3 13. 2 3 14. 15. y 3 x 8 9 3 1 x y 5 4x 3y 7 x y 10 0 y 4 4 7 3 ( 2 1)x 2y 1 2x y 2 1 5x 3y 4 3x 2y 3 17. 18. 19. 20. 4x ( 2 1)y 3 x y 1 x 2y 3 2x y 5 5x 2y 2 x y 2 x y 3 x 3 21. 22. 23. 24. 2x 3y 4 3x 3y 6 x y 3 2x 3y 1 2x y 1 4x 2y 4 3x 4y 7 3x 3y 1 25. 26. 27. 28. 4x 2y 2 x 5y 17,5 3x 4y 7 x 1,5y 0,5 5x 3 y 2 2 0,2x 0,1y 0,3 0,75x 3,2y 10 2x y 7 29. 30. 31. 32. x 6 y 2 2 3x y 5 x 3 y 2 4 3 x 4y 10 3x y 5 3x 5y 1 2x 3y 1 x 2y 1 33. 34. 35. 36. 5x 2y 28 2x y 8 x y 8 2x y 4 Phương pháp: Giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
9. 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 2: Giải hệ phương trình. 4x 3y 5 x y 1 2 x 1 15 y 1 8 5 x y 3 2x 3y 12 1. 2. 3. 2x 4 2y 1 1 3 x 1 2 y 1 1 3 x 2y 4 x 2y 5 2x 3 4x 1 x y x 3y 1 1 0 x 2 y 3 xy 50 y 1 2y 1 2 4 2 2 4. 5. 6. x 2 x 4 3x 5y 1 1 1 1 0 x 2 y 2 xy 32 y 1 y 2 2 2 2 x 2 y 2 xy x 1 y 2 x 1 y 3 4 x 5 y 2 xy 7. 8. 9. x 4 y 3 xy 6 x 3 y 1 x 3 y 5 18 x 5 y 12 xy x 1 y 2 x 1 y 3 3 x 7 6 x y 1 0 5 x 2y 3 x y 99 10. 11. 12. x 5 y 4 x 4 y 1 4 x 1 2 x 2y 7 0 x 3y 7x 4y 17 3 y 5 2 2 3 0 2 x 1 5 y 1 8 2 3y 1 4 x 1 5 13. 14. 15. 7 x 4 3 x y 1 14 3 x 1 2 y 1 1 5 3y 1 8 x 1 9 2 3 x y 2 x y 9 x 3y 1 (x 3)(2y 5) (2x 7)(y 1) 16. 17. 2 18. 2 x y x y 1 3x y 1 (4x 1)(3y 6) (6x 1)(2y 3) 2(2x 3y) 3(2x 3y) 10 x 2y 4(x 1) ( 3 2)x y 2 19. 20. 21. 4x 3y 4(6y 2x) 3 5x 3y (x y) 8 x ( 3 2)y 6 2(x 2) 3(1 y) 2 2(x y) 3(x y) 4 3(x 1) 2y x 22. 23. 24. 3(x 2) 2(1 y) 3 (x y) 2(x y) 5 5(x y) 3x y 5 5(x 2y) 3x 1 3 5x 4y 15 2 7 x y 2(x 1) 25. 26. 27. 2x 4 3(x 5y) 12 2 5x 8 7y 18 7x 3y x y 4 Phương pháp: Rút gọn từng phương trình của hệ sau đó giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
10. 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 3: Giải hệ phương trình. 2 3 2 3 1 1 4 1 1 x y 2 x 1 y x y 2 1) 2) 3) 4 1 2 5 4 3 1 1 5 x y 2 x 1 y x y 2 3 6 5 1 3x 2 1 10 4 2x y x y x 1 y 1 x 1 y 4 4) 5) 6) 1 1 1 3 2x 5 0 18 9 2x y x y x 1 y 1 x 1 y 4 4 1 12 5 5 1 1 63 10 x 2y x 2y x 3 y 2 x 1 y 1 7) 8) 9) 20 3 8 15 1 3 1 13 18 x 2y x 2y x 3 y 2 x 1 y 1 8 15 2 1 1 2 1 7 1 x 1 y 2 x 1 y 1 x 2y x 2y 10) 11) 1 1 1 5 2 12) 2 3 4 11 x 1 y 2 12 x 1 y 1 x 2y x 2y 1 1 2 5 2 1 2 3 3 x y x y x 2 y 1 3x y x 3y 14) 15) 13) 2 3 1 2 3 1 3 1 1 x 2 y 1 x y x y 3x y x 3y 5 1 2 3 5 2 5 2 2 2 x y x y 2x y 2x y x x y 16) 5 4 17) 18) 3 1 1 2 3 1 x y x y 1,7 2x y 2x y 15 x x y 5 3 4 9 4 5 2 1 2 x 2 y 1 2x 1 y 1 2x 3y 3x y 19) 20) 21) 2 5 3 2 13 3 5 1 21 x 2 y 1 2x 1 y 1 6 3x y 2x 3y