Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 1: Các bài toán rút gọn biểu thức

Nội dung text: Các Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 1: Các bài toán rút gọn biểu thức

1. 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 CÁC BÀI TOÁN Chủ đề 1 RÚT GỌN CĂN THỨC A. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC  Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương. ..............................................3  Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức A2 A ...................................................................3  Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức A2 A ..................4  Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử; ) .....................................................................................................................6  Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ. .....................10  Bài tập tự luyện: ................................................................................................................25  CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC 2 A nÕu A 0 1. A A A nÕu A < 0 2. AB A. B (Với A 0; B 0) A A 3. (Với A 0; B 0 ) B B 4. A2 B A B (Với B 0) 5. A B A2 B (Với A 0; B 0) 6. A B A2 B (Với A 0; B 0) A 1 AB (Với A 0; B 0 ) 7. B B (Với B 0 ) A A B 8. B B
2. 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 C A B C 2 9 (Với A 0;A B ) A B A B2 C C A B 10 (Với A 0; B 0;A B ) A B A B 3 11 3 A 3 A3 A  CÁCH TÌM ĐKXĐ CỦA MỘT BIỂU THỨC TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ 1. A ĐKXĐ: A 0 Ví dụ: x 2018 ĐKXĐ: x 2018 A x 4 2. ĐKXĐ: B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 7 B x 7 A x 1 3. ĐKXĐ: B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 A x x 0 4. ĐKXĐ: A 0; B 0 Ví dụ: ĐKXĐ: x 3 B x 3 x 3 A 0 x 1 0 A B 0 x 1 x 2 0 x 2 5. ĐKXĐ: Ví dụ: ĐKXĐ: B A 0 x 2 x 1 0 x 1 B 0 x 2 0 Cho a > 0 ta có: 2 x a 6. 2 x a Ví dụ: x 1 x a x a x a Cho a > 0 ta có: 2 7. Ví dụ: x 4 2 x 2 x2 a a x a
3. 3 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9  Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương. Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: M 45 245 80 N 5 8 50 2 18 P 125 4 45 3 20 80 A 12 27 48 B 2 3 3 27 300 C (2 3 5 27 4 12) : 3 Hướng dẫn giải M 45 245 42.5 N 5 8 50 2 18 P 5 5 12 5 6 5 4 5 32.5 72 5 42.5 5.2 2 5 2 2.3 2 5 5 3 5 7 5 4 5 6 5 10 2 5 2 6 2 (10 5 6) 2 9 2 A 12 27 48 B 2 3 3 27 300 C (2 3 5 27 4 12) : 3 2 3 3 3 4 3 2 3 3 32.3 102.3 (2 3 5.3 3 4.2 3) : 3 3 2 3 3.3. 3 10 3 5 3 : 3 5 3 Nhận xét: Đây là một dạng toán dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán. A2 B A B ( B 0 ) Tự luyện: A 3 50 5 18 3 8 . 2 B 2 32 5 27 4 8 3 75 C 20 45 2 5  Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức A2 A Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 2 2 2 2 a) 3 2 2 3 2 2 b) 5 2 6 5 2 6 c) 2 3 1 3 2 2 2 2 2 2 d) 3 2 1 2 e) 5 2 5 2 f) 2 1 2 5 Giải mẫu: 2 2 a) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 6 2 A nÕu A 0 Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A A A nÕu A 0 Kết quả: b) 4 6 c) 1 d) 4 e) 2 5 f) 2 2 4
4. 4 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9  Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức A2 A Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A 4 2 3 7 4 3 . Hướng dẫn giải A 3 2 3 1 4 4 3 3 2 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3 3 . Nhận xét: Các biểu thức 4 2 3 ; 7 4 3 đều có dạng m p n trong đó với a2 b2 m p n 2ab . Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B 5 2 6 5 2 6 . Hướng dẫn giải Cách 1: B 5 2 6 5 2 6 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 . Cách 2: B 5 2 6 5 2 6 Ta có: B2 5 2 6 5 2 6 2 5 2 6 5 2 6 10 2 1 8 Vì B 0 nên B 8 2 2 . Nhận xét: Các biểu thức 5 2 6 và 5 2 6 là hai biểu thức liên hợp. Gặp những biểu 2 thức như vậy, để tính B ta có thể tính B trước rồi sau đó suy ra B.
5. 5 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 1: Rút gọn a) A 6 2 5 b) B 4 12 c) C 19 8 3 d) D 5 2 6 Hướng dẫn giải 2 a) A 6 2 5 5 1 5 1 5 1 2 b) B 4 12 4 2 3 3 1 3 1 2 c) C 19 8 3 4 3 4 3 4 3 2 d) D 5 2 6 3 2 3 2 3 2 Bài 2: Rút gọn a) A 4 2 3 b) B 8 2 15 c) C 9 4 5 d) D 7 13 7 13 1 e) E 6 2 5 6 2 5 f) F 7 2 10 20 8 2 Hướng dẫn giải 2 a) A 4 2 3 3 1 3 1 2 b) B 8 2 15 15 1 15 1 2 c) C 9 4 5 2 5 5 2 1 d) D 7 13 7 13 14 2 13 14 2 13 2 1 2 2 13 1 13 1 2 2 e) E 6 2 5 6 2 5 5 2 5 1 5 2 5 1 ( 5 1)2 ( 5 1)2 | 5 1| | 5 1| 5 1 5 1 2
6. 6 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 2 1 f) F 7 2 10 20 8 5 2 2 5 .2 2 2 2 5 2 2 5 2 5 2 2 5 2 3 5 Bài 3: Rút gọn (Bài tự luyện) a) 5 2 6 5 2 6 b) 7 2 10 7 2 10 c) 4 2 3 4 2 3 d) 24 8 5 9 4 5 e) 17 12 2 9 4 2 f) 6 4 2 22 12 2 g) 2 3 2 3 h) 21 12 3 3 i) 5 3 29 12 5 j) 13 30 2 9 4 2 k) 5 13 4 3 3 13 4 3 l) 1 3 13 4 3 1 3 13 4 3  Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử; ) Bài 1: Rút gọn: 6 2 5 5 2 6 3 4 1 A B 5 1 3 2 5 2 6 2 6 5 1 1 1 1 1 C ... D 7 4 3 1 2 2 3 3 4 99 100 2 3 3 3 4 3 4 1 2 2 E F 2 3 1 5 2 3 2 3 6 3 3 Hướng dẫn giải 6 2 5 5 2 6 5 1 3 2 a) A 2 5 1 3 2 5 1 3 2 3 4 1 3 5 2 4 6 2 b) B 6 5 5 2 6 2 6 5 3 4 5 2 6 2 6 5 2 6 1 1 1 1 c) C ... 1 2 2 3 3 4 99 100 2 1 3 2 4 3 ... 100 99 9
7. 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 1 1 1 d) D 7 4 3 4 4 3 3 (2 3)2 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 3 (2 3)(2 3) 1 3 3 4 3 4 3 3 4 2 3 1 3 4 5 2 3 e) E 2 2 2 3 1 5 2 3 2 3 1 52 2 3 22 11 3 26 13 3 2 3 2 3 11 13 4 2 3 4 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 2 1 1 3 1 3 1 .( 2) 2 2 2 1 2 2 1 1 2 f) F 2 3 6 3 3 2 3 3 3 3 1 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 3 1 2 3 2 3 4 2 3 2 2. 3 3 1 3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 3 3 1 3 1 2 3 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 Bài 2: Rút gọn A ( 3 4) 19 8 3 7 4 3 B ( 5 2)( 5 2) 3 2 7 5 7 5 4 4 C 3 2 2 D 2 2 7 2 11 2 5 2 5 8 15 3 1 3 1 E F 30 2 3 1 3 1
8. 8 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Hướng dẫn giải 2 a) A ( 3 4) 19 8 3 3 4 4 3 3 4 4 3 16 3 13 (2 3)2 2 3 b) B ( 5)2 22 5 4 1 ( 1) 2 3 2 3 2 7 5 7 5 c) B 3 2 2 7 2 11 2 7 5 7 5 14 2 44 7 5 7 5 Ta có 2 2 7 2 11 7 2 11 7 2 11 2 B 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 1 4 4 22 22 d) D 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 4 2 5 4 8 2 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 2 5 4 8 15 1 16 2 15 1 15 1 1 e) E . . 30 2 15 1 4 15 1 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 4 2 3 4 2 3 f) F 4 3 1 3 1 3 1 2 Bài 3: Rút gọn - Bài tập tự luyện 7 5 6 2 7 6 5 2 2 5 a) b) 2 4 7 2 4 7 6 2 6 2 6 1 1 6 2 5 1 c) d) : 3 2 5 3 2 5 1 3 5 5 2 1 1 1 5 1 2 3 3 13 48 e) f) 3 3 2 3 12 6 6 2
9. 9 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9 Bài 4: Rút gọn – Bài tập tự luyện 1 1 1 1 1) A 2) B 5 2 6 5 2 6 3 2 3 2 3 2 3 15 12 1 3) C 4) D 3 3 1 5 2 2 3 3 5 5 3 5 2 5 3 3 5) E 6) F 5 3 3 5 5 3 5 3 15 3 4 4 7) G 6 2 5 8) H 2 2 3 2 5 2 5 10 2 2 2 2 2 2 2 9) I 10) J 1 . 1 5 1 2 1 1 2 1 2 2 2 6 2 1 11) K 12) L 3 : 2 5 2 5 1 3 2 3 3 2 2 3 1 6 1 13) M : 14) N 3 2 6 1 7 7 3 2 2 3 2 2 1 2 2 15) O 16) P 3 2 1 2 2 3 1 2 1 2 6 2 5 2 2 17) Q . 5 2 18) R 1 3 5 7 4 3 7 4 3 1 2 1 4 15 13 19) S : 20) T 2 5 5 3 21 12 3 1 3 1 5 2 2 2 2 21) U 22) V 5 1 3 5 3 1 6 3 3 5 3 5 3 2 23) W= 24) Y 3 5 3 3 5 3 2 2 3 5 Kinh nghiệm: Đôi khi một số bài toán rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta trục căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề toán từ đó có định hướng giải đúng đắn để lời giải được ngắn gọn, chính xác.
10. 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9  Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ.  Rút gọn. Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử. Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu. Bước 4: Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn. 3 x 2 2 x 3 3 3 x 5 Bài 1: Cho biểu thức P . x 1 3 x x 2 x 3 a) Rút gọn P; b) Tìm giá trị của P, biết x 4 2 3 ; c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x 0; x 9 . 3 x 2 2 x 3 3 3 x 5 a) P x 1 x 3 x 1 x 3 3 x 2 x 3 2 x 3 x 1 3 3 x 5 x 1 x 3 3x 9 x 2 x 6 2x 2 x 3 x 3 9 x 15 x 1 x 3 5x 17 x 6 x 1 x 3 5x 15 x 2 x 6 x 1 x 3 5 x 2 x 3 5 x 2 . x 1 x 3 x 1