Chuyên đề ôn tập môn Toán Lớp 4: Dãy số

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập môn Toán Lớp 4: Dãy số

1. CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ (Lớp 4, lớp 5) Hình thành khái niệm dãy số. Sau khi học sinh đã nắm được các chữ số, cách đọc và cách viết số, xếp các tập hợp thành một dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn” giáo viên giúp học sinh viết các “chữ số” tương ứng với “số phần tử” của từng tập hợp thành một hàng, học sinh nhận được một dãy số. Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất quan trọng của dãy số là quan hệ “liền trước”; “liền sau” để củng cố khái niệm dãy số, giáo viên yêu cầu học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược, đếm liên tục, đếm nhảy và định vị các số trong dãy. Phần 1. Ôn lại một số kiến thức cơ bản về dãy số: Tính chất của dãy số Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn Vì vậy, nếu: - Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn. - Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ. - Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số. - Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số. a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy. b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên. Các loại dãy số: + Dãy số cách đều: - Dãy số tự nhiên. - Dãy số chẵn, lẻ. - Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó. + Dãy số không cách đều. - Dãy Phi bo na xi - Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số. + Dãy số thập phân, phân số 1
2. 2. Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27 Ta nhận thấy: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15 15 = 3 + 4 + 8 Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng tổng của ba số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169. 3. Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau : a , , 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng. b , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng. *) Giải: a. Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512 x 2 Số hạng thứ 9 là : 512 = 256 x 2 Số hạng thứ 8 là : 256 = 128 x 2 Số hạng thứ 7 là : 128 = 64 x 2 Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số đầu tiên là: mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng liền trước đó. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 2 = 2. b. Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10 Số hạng thứ 9 là : 99 = 11 x 9 Số hạng thứ 8 là : 88 = 11 x 8 Số hạng thứ 7 là : 77 = 11 x 7 Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng bằng 11 nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là : 1 x 11 = 11. 4. Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau : a. 3, 9, 27, , 729, b. 3, 8, 32, , 608, Muốn tìm được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tim được quy luật của mỗi dãy số đó. a. Ta nhận xét : 3 x 3 = 9 3
3. Theo điều kiện của đề bài ta có: 783 + Ô7 + Ô8 = 2002. Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2002. Vậy Ô9 + 783; từ đó ta tính được: Ô8 = Ô5 = Ô2= 2002 - (783 + 998) = 2002 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 Ô3 = Ô6 = 783. Điền các số vào ta được dãy số: 998 221 783 998 221 783 998 221 783 998 Một số lưu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trước hết phải xác định được quy luật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ (ví dụ: 6). Từ đó mà học sinh có thể điền được các số vào dãy đã cho. * Bài tập tự luyện: 1. 13, 19, 25, , Dãy số kể tiếp thêm 5 số nào? Số nào suy nghĩ thấp cao? Đố em đố bạn làm sao kể liền? 2. Viết số hạng còn thiếu trong dãy số sau: a. 7, 10, 13, , 22, 25. b. 103, 95, 87, , 55, 47. 3. Là số hạng cuối đây mà Dãy số: 9 số hạng nha Số hạng đứng trước gấp 3 sau liền Đố em tôi, đố bạn hiền Dãy số có số đầu tiên là gì? Là gì nhanh đáp khó chi! Đố anh, đố chị cùng nhau thi tài. 4. Điền số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liền nhau bằng: a. n = 14,2 2,7 8,5 b. n = 14,3 2,7 7,5 5
4. - Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5. b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều 2, mà 2002 chia 3 thì dư 1. c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24, vì: - Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhận với 2; cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn, mà 798 chí cho 2 = 399 là số lẻ. - Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3. - Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ. 4. Cho dãy số: 1, 2, 2; 3, 4; ; 13; 14, 2. Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không? *) Giải: - Ta nhận xét: 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2; Quy luật của dãy số trên là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng sau hơn số hạng liền trước nó 1,2 đơn vị: - Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2. Ví dụ: (13 - 1) : 1,2 (3,4 - 1) : 1,2 (34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư 0. Vậy nếu viết tiếp thì số 34,6 cũng thuộc dãy số trên. 5. Cho dãy số: 1996, 1993, 1990, 1997, , 55, 52, 49. Các số sau đây có phải là số hạng của dãy không? 100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999? *) Giải: Nhận xét: Đậy là dẫy số cách đều 3 đơn vị. Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 1999 không phải là số hạng của dẫy số đã cho. Mỗi số hạng của dãy số đã cho là số chia hết cho 3, dư 1. Do đó, số 100 và số 1900 là số của dãy số đó. Các số 123, 456, 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng của các dãy số đã cho. * Bài tập lự luyện: 1. Cho dãy số: 1, 4, 7, 10, a. Nêu quy luật của dãy. b. Số 31 có phải là số hạng của dãy không, nếu phải thì số hạng thứ bao nhiêu? c. Số 1995 có thuộc dãy này không? Vì sao? 7
5. b. Ta nhận xét: Số hạng thứ 2 là: 4 = 2 + 2 = 2 + (2 – 1) x 2 Số hạng thứ 2 là: 6 = 2 + 4 = 2 + (3 – 1) x 2 Số hạng thứ 2 là: 8 = 2 + 6 = 2 + (4 – 1) x 2 Số hạng thứ 2002 là: 2 + (2002 – 1) x 2 = 4004 Đáp số: a. 996 số hạng. b. 4004 số hạng. 2. Cho 1, 3, 5, 7, là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm? (Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981) *) Giải: Ta thấy: Số hạng thứ nhất bằng: 1 = 1 + 2 x 0 Số hạng thứ hai bằng: 3 = 1 + 2 x 1 Số hạng thứ ba bằng: 5 = 1 + 2 x 2 Còn số hạng cuối cùng: 1981 = 1 + 2 x 990 Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 trong dãy số đó. 3. Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153, a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy? *) Giải: a. Số hạng thứ nhất: 3 = 3 + 15 x 0 Số hạng thứ nhất: 18 = 3 + 15 x 1 Số hạng thứ nhất: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 Số hạng thứ nhất: 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3 Số hạng thứ nhất: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4 Số hạng thứ n: 3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + + 15 x (n - 1) Vậy số hạng thứ 100 của dãy là: 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + + 15 x (100 – 1) = 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + + 99) (Đưa về một số nhân với một tổng. = 3 + 15 x (1 + 99) ; 2 x 99 = 74253 b. Gọi số 11703 là số hạng thứ n của dãy: 9
6. * Bài tập tự luyện: 1. Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, Tìm số hạng thứ 30 của dãy số trên? 2. Cho dãy số: 1, 4, 9, 16, a. Nêu quy luật của dãy? b. Số 625 là số hạng thứ bao nhiêu? c. Số hạng thứ 100 là số nào? 3. Người ta viết các số chẵn liên tiếp có 2 chữ số liền nhau thành một số lớn theo quy tắc sau: 10 12 14 16 18 96 98 a. Số đó có bao nhiêu chữ số? b. Trong đó có bao nhiêu số 6? 4. Xét dãy số: 100, 101, , 789. a. Dãy này có bao nhiêu số? b. Số thứ 100 là số nào? c. Dãy này có bao nhiêu chữ số? d. Chữ số 789 là chữ số nào? 5. Cho dãy số: 1, 1; 2, 2; 3, 3; 108, 9; 110,0 a. Dãy số này có bao nhiêu số hạng? b. Số hạng thứ 50 của dãy số này là số hạng nào? 11
7. 1 + 40 x 9 = 361 Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số. - Từ ví dụ trên, ta thấy khi giải toán bằng phương pháp của lý thuyết tổ hợp, phải phân biệt rạch ròi cặp sắp xếp thứ tự với cặp không sắp xếp thứ tự. Dưới đay là 2 ví dụ, trong đó có khái niệm này. 2. Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n. * Giải: Ghép các số: 1, 2, , n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n, 2 với n – 1, 3 với n – 2, Khi n chẵn, ta có (n ; 2) = n x (n + 1) : 2 Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có: 1 + 2 + + (n – 1) = (n – 1) x n : 2 Từ đó ta cũng có: S = (n – 1) x n : 2 + n = (n - ) x n : 2 + 2 x n : 2 = [(n – 1) x n : 2 + 2 x n] : 2 = (n – 1 + 2) x n : 2 = n x (n + 1) : 2 3. Cho dãy số: 1, 2, 3, 195. Tính tổng các chữ số trong dãy? *) Giải: - Cách 1: Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1, 2, 3, , 9 10, 11, 12, 13, , 19 90, 91, 92, 93, , 99 100, 101, 102, 103, , 109 Vì có 200 số vè mỗi dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là: 1 + 2 + 3 + + 9 = 9 x 10 : 2 = 45 Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đều bằng tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng sau và bằng: 1 x 10 + 2 x 10 + + 9 x 10 = (1 + 2 + +) x 10 = 45 x 10 = 450 Vậy tổng các chữ số hàng chục là: 450 x 2 = 900 13
8. Học sinh đã sư dụng quy nạp không hoàn thiện để phỏng đoán ra kết quả của tổng. Mặc dù kết quả đó đúng và quá trình suy luận là hợp lý, nhưng vẫn không thể xem đó là lời giải chặt chẽ. Để có lời giải chặt chẽ cần sử dụng suy luận diễn dịch, chẳng hạn, đầu tiên ta viết đầy đủ tổng: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 = 256 128 64 32 16 8 4 2 1 = 511 512 512 511 Đáp số: 512 Cách 2: Ký hiệu: S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 Nhân cả vế trái và vế phải với 2, rồi biến đổi, ta được: S x 2 = 1 + s - 1 512 Từ đó suy ra: S = 1 - 1 = 511 512 512 S x 2 = 1 + s - 1 512 5. Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số: *) Giải: Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số là: 9,00; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; ; 9,999 tức là có 1000 số. Ta thấy: 9,001 + 9,999 = 19 9,005 + 9,995 = 19 9,002 + 9,998 = 19 9,006 + 9,994 = 19 Nếu ta bỏ số đầu tiên và sắp xếp các cặp số cách đều 2 đầu dãy vào như trên thì được các cặp số đều có tổng là 19, còn lại 9,005 chưa được tính. Số cặp số sắp xếp được là: 998 : 2 = 499 (cặp số) chưa kể hai số 9,000 và 9,500 Tổng tất cả các số của dãy số trên là: 15