Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Nội dung text: Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. 1 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng HỆ THỨC LƯỢNG Chủ đề 1 TRONG TAM GIÁC VUễNG A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG MỤC LỤC A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG......................................................1 . HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUễNG............2 . Lý thuyết..........................................................................................................................2 . Bài tập...............................................................................................................................2 . TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC NHỌN..................................................................10 . Lý thuyết........................................................................................................................10 . Bài tập.............................................................................................................................11 . MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GểC TRONG TAM GIÁC VUễNG .........16 . Lý thuyết........................................................................................................................16 . Bài tập.............................................................................................................................16 . GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ...........18 . Lý thuyết........................................................................................................................18 . Bài tập.............................................................................................................................18 . MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM .....................................................................................21
2. 2 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng . HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUễNG . Lý thuyết Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Khi đú ta cú cỏc hệ thức sau: 2 2 1. AB BH.BC hay c ac' A AC 2 CH.BC hay b2 ab' c b 2. HA2 = HB.HC hay h2 c'b' h 3. AB. AC BC. AH hay cb ah B c' C 1 1 1 1 1 1 H b' 4. hay . a AH 2 AB2 AC 2 h2 c2 b2 5. BC 2 AB2 AC 2 (Định lớ Pitago) . Bài tập Vận dụng hệ thức 1: Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hỡnh chiếu của hai cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền là 9 : 16. Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH. HB 9 HB HC HB HC 20 Ta cú HC 16 9 16 9 16 25 9.20 16.20 Suy ra HB 7,2 (cm); HC 12,8 (cm) 25 25 Xột ABC vuụng tại A, đường cao AH ta cú: AB2 BC.BH 20.7,2 144 AB = 12 (cm); AC 2 BC.CH 20.12,8 256 AC = 16 (cm). 1 1 Vậy diện tớch ABC là S ABAC 12.16 96 (cm2). 2 2 Cỏch giải khỏc: Sau khi tớnh được HB và HC, ta tớnh AH theo cụng thức: AH 2 HB.HC (hệ thức 2). A AH 2 7,2.12,8 92,16 AH = 9,6 (cm). 1 1 b Diện tớch ABC là S BCAH 20.9,6 96 (cm2). c h 2 2 B c’ b’ a
3. 3 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng Bài 2: Cho tam giỏc vuụng với cỏc cạnh gúc vuụng cú độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hóy tớnh đường cao này và cỏc đoạn thẳng mà nú chia ra trờn cạnh huyền. Hướng dẫn giải Giả sử tam giỏc ABC cú cỏc cạnh gúc vuụng AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao. Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng ABC: BC 2 AB2 AC 2 32 42 25 BC 5 cm A Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng ta cú: 2 2 2 BA 3 9 4 BA BH.BC BH BH BH (cm) 3 BC 5 5 CA2 42 16 CA2 CH.CB CH CH CH (cm) CB 5 5 B H C 9 16 12 AH 2 HB.HC AH 2 . AH (cm) 5 5 5 1 1 1 (Cú thể tớnh đường cao AH bởi cụng thức ) AH 2 AB2 AC 2 Bài 3: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Cỏc tia phõn giỏc của gúc A và gúc B cắt nhau tại O. Biết OA 2 3 cm, OB = 2cm, tớnh độ dài AB. Hướng dẫn giải Qua A vẽ một đường thẳng vuụng gúc với AB cắt tia BO tại D. à à  ã ả  Ta cú D B1 90 AOD B2 90 à ả ã à mà B1 B2 nờn AOD D Do đú AOD cõn tại A. Suy ra AD AO 2 3 (cm). Vẽ AH  OD thỡ HO = HD. Ta đặt HO HD x thỡ BD 2x 2. Xột ABD vuụng tại A, đường cao AH, ta cú AD2 BD.HD. Suy ra (2 3)2 x(2x 2) Từ đú ta được phương trỡnh: 2x2 2x –12 0 (x – 2)(x + 3) = 0 x = 2 hoặc x = 3.
4. 4 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng Giỏ trị x = 2 được chọn, giỏ trị x = 3 bị loại. Do đú BD 2 2 2 6 (cm). Suy ra AB 62 (2 3)2 24 2 6 (cm). Vận dụng hệ thức 2: Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Biết diện tớch cỏc tam giỏc ABH và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2. Tớnh độ dài BC. Hướng dẫn giải 1 Ta cú S AHBH 54 ABH 2 Suy ra AH.BH 108 . (1) 1 S AH.CH 96 Suy ra AH.CH 192 . (2) ACH 2 Từ (1) và (2) ta được: AH 2.BH.CH 108.192. Mặt khỏc AH 2 BH.CH (hệ thức 2). Suy ra AH 4 124 AH = 12 (cm). 1 1 Ta cú S 54 96 150 (cm2) mà S BCAH nờn BCAH 150 ABC ABC 2 2 150.2 Suy ra BC 25 (cm). 12 Bài 2: Cho hỡnh thang ABCD, àA Dà 900 Hai đường chộo vuụng gúc với nhau tại O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm. a) Tớnh diện tớch hỡnh thang; b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đỏy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Tớnh độ dài MN. Hướng dẫn giải * Tỡm cỏch giải Đó biết đường chộo BD nờn cần tỡm đường chộo AC là cú thể tớnh được diện tớch hỡnh thang. Muốn vậy phải tớnh OA và OC. * Trỡnh bày lời giải a) Xột ABD vuụng tại A cú AO  BD nờn OA2 OB.OD (hệ thức 2).
5. 5 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng Do đú OA2 5,4.15 81 OA = 9 (cm). Xột ACD vuụng tại D cú OD  AC nờn OD2 OA.OC (hệ thức 2). OD2 152 OC 25 (cm). OA 9 Do đú AC 25 9 34 (cm); BD 5,4 15 20,4 (cm). ACBD 34.20,4 Diện tớch hỡnh thang ABCD là: S 346,8 (cm2). 2 2 OM AO b) Xột ADC cú OM // CD nờn (hệ quả của định lớ Ta-lột). (1) CD AC ON BN Xột BDC cú ON // CD nờn (hệ quả của định lớ Ta-lột). (2) CD BC AO BN Xột ABC cú ON // AB nờn (định lớ Ta-lột). (3) AC BC OM ON Từ (1), (2), (3) suy ra CD CD Do đú OM = ON. 1 1 1 Xột AOD vuụng tại O, OM  AD nờn (hệ thức 4). OM2 OA2 OD2 1 1 1 Do đú OM 7,7 (cm). OM2 92 152 Suy ra MN 7,7.2 15,4 (cm). Vận dụng hệ thức 4: Bài 1: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia 1 1 AM cắt đường thẳng CD tại N. Tớnh giỏ trị của biểu thức P AM2 AN2 Hướng dẫn giải * Tỡm cỏch giải 1 1 1 1 1 Biểu thức gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) để giải. Muốn vậy AM2 AN2 h2 b2 c2 phải tạo ra một tam giỏc vuụng cú cỏc cạnh gúc vuụng bằng AM, AN. * Trỡnh bày lời giải
6. 6 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng Qua A vẽ một đường thẳng vuụng gúc với AM cắt đường thẳng CD tại E. à à  à ả ã ADE và ABM cú D B 90 AD = AB; A1 A2 (cựng phụ với DAM ). Do đú ADE ABM g.c.g . Suy ra AE = AM. 1 1 1 Xột AEN vuụng tại A cú AD  EN nờn AE2 AN2 AD2 1 1 Mặt khỏc AE AM ; AD 1 nờn 1 AM2 AN2 Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú cỏc đường cao AH và BK. Chứng minh 1 1 1 rằng : BK 2 BC 2 4AH 2 Hướng dẫn giải * Tỡm cỏch giải: Để chứng minh đẳng thức trờn người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức 1 1 1 lượng trong tam giỏc vuụng “ Hệ thức ’’. Một thủ thuật để nhận ra tam h2 b2 c2 giỏc vuụng cú đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giỏc vuụng tại B cú đường cao là BK, cạnh gúc vuụng là BC. Khi đú ta nghĩ ngay đường phụ cần vẽ cạnh gúc vuụng cũn lại. * Trỡnh bày lời giải Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt tia đối của tia AC tại D. Vỡ ABC cõn tại A nờn đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến BH = HC. Xột BCD cú BH = HC (c/m trờn) ; AH // BD (  BC ) D CA = AD (t/c đường trung bỡnh của tam giỏc ). A Nờn AH là đường trung bỡnh của BCD K 1 AH = AH BD BD = 2AH. (1) 2 B H C
7. 7 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng Xột BCD cú Dã BC 900 ; BK  CD ( K CD ) 1 1 1 (2) BK 2 BC 2 BD2 1 1 1 Từ (1) và (2) (đpcm) BK 2 BC 2 4AH 2 Vận dụng nhiều hệ thức Bài 1: Cho hỡnh thang ABCD, Aˆ Dˆ 90 hai đường chộo vuụng gúc với nhau tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tớnh cỏc độ dài OA, OB, OC, OD. Hướng dẫn giải ADC vuụng tại D, theo định lớ Py-ta-go ta cú: AC 2 AD2 DC 2 122 162 400 . Suy ra AC = 20 (cm). ADC vuụng tại D, DO là đường cao nờn AD.DC AC.DO (hệ thức 3). ADDC 12.16 Suy ra OD 9,6 (cm). AC 20 AD2 122 Ta lại cú AD2 AC.AO (hệ thức 1) nờn OA 7,2 (cm). AC 20 Do đú OC 20 – 7,2 12,8 (cm). Xột ABD vuụng tại A, AO là đường cao nờn AO2 OB.OD (hệ thức 2). AO2 7,22 OB 5,4 (cm). OD 9,6
8. 8 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng Bài 2: (Hóy giải bằng nhiều cỏch khỏc nhau) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tớnh độ dài AH. ) A Hướng dẫn giải *Cỏch 1: Ta cú ABC vuụng tại A nờn : 2 2 2 2 B BC AB AC 8 6 10(cm) (Định lý Pytago) C H AB.AC ABC vuụng tại A, AH  BC, nờn AH.BC AB.AC AH 4,8(cm) BC *Cỏch 2: ABC vuụng tại A, AH  BC, nờn: 1 1 1 AB2.AC 2 64.36 AH 2 AH 4.8(cm) AH 2 AB2 AC 2 AB2 AC 2 100 *Cỏch 3: Tam giỏc ABC vuụng tại A, Theo định lý Pytago ta cú BC 2 AB2 AC 2 82 62 100 nờn suy ra BC=10cm. AB2 ABC vuụng tại A nờn: BH.BC AB2 BH 6.4(cm) . Mà HC BC BH 3,6 (cm) BC ABC vuụng tại A, AH  BC, nờn: AH 2 BH.HC 4.82 AH 4.8(cm) *Cỏch 4: Gọi M là trung điểm BC. A 1 Ta cú : BM AM BC 5cm 2 B + Tớnh được BH=6.4cm C H M + Nờn MH BH BM 6,4 5 1(cm) Áp dụng định lý Pitago vào HAM vuụng tại H: AH AM 2 MH 2 52 1,42 4,8(cm)
9. 9 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng Hệ thống phương phỏp giải toỏn thường gặp. A c b h B c' H b' C a Tớnh độ dài cỏc đoạn thẳng trong tam giỏc vuụng Phương phỏp giải: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai trong sỏu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thỡ ta luụn tớnh được độ dài bốn đoạn thẳng cũn lại bằng việc vận dụng cỏc hệ thức 1 (5) Chứng minh cỏc hệ thức liờn quan đến tam giỏc vuụng Phương phỏp giải: Sử dụng cỏc hệ thức về cạnh và đường cao một cỏch hợp lý theo hướng: Bước 1. Chọn cỏc tam giỏc vuụng thớch hợp chứa cỏc đoạn thẳng cú trong hệ thức. Bước 2. Tớnh cỏc đoạn thẳng đú nhờ hệ thức về cạnh và đường cao. Bước 3. Liờn kết cỏc giỏ trị trờn để rỳt ra hệ thức cần chứng minh. Chỳ ý: Cú thể vẽ thờm hỡnh phụ để tạo thành tam giỏc vuụng hoặc tạo thành đường cao trong tam giỏc vuụng từ đú vận dụng cỏc hệ thức.
10. 10 Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng . TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC NHỌN . Lý thuyết 1. Định nghĩa cạnh đối cạnh kề sin cos cạnh huyền cạnh huyền cạnh đối cạnh kề tan cot cạnh kề cạnh đối Từ định nghĩa ta cú cả bốn tỉ số lượng giỏc đều dương và sina 1; cosa 1. 2. Định lớ Nếu hai gúc phụ nhau thỡ sin của gúc này bằng cụsin của gúc kia, tang của gúc này bằng cụtang của gúc kia. 3. Một số hệ thức cơ bản sin cos tan (1); cot (2); cos sin tan . cot 1 (3); sin2 cos2 1 (4). 4. So sỏnh cỏc tỉ số lượng giỏc Cho ,  là hai gúc nhọn. Nếu  thỡ sin sin  ; tan tan ; cos cos ; cot cot . Bảng lượng giỏc một số gúc đặc biệt 0 00 300 450 600 90 1 2 3 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 0 2 2 2 3 || tan 0 1 3 3 3 cot || 3 1 0 3