Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 2: Góc với đường tròn

Nội dung text: Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 2: Góc với đường tròn

1. 1 Chủ đề 2: Góc với đường tròn GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN GÓC Ở TÂM – GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Chủ đề 2 GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG, BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN MỤC LỤC B. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN.................................................................................................1 . GÓC Ở TÂM......................................................................................................................2 . Lý thuyết..........................................................................................................................2 . Bài tập...............................................................................................................................3 . GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG.........................5 . Lý thuyết..........................................................................................................................5 . Bài tập...............................................................................................................................7 . GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN ......................12 . Lý thuyết........................................................................................................................12 . Bài tập.............................................................................................................................13 . MỘT SỐ BÀI TẬP ..........................................................................................................14 DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG.14 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1..........................................................................................17 DẠNG 2: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN....23 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 2..........................................................................................25 Chủ đề bài toán về Góc với đường tròn hệ thống lại kiến thức góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong và bên ngoài đường tròn nhằm cung cấp cho các em học sinh một số phương pháp giải toán hình học. Chủ đề có được sự đóng góp bài tập bởi cô Nguyễn Thu Huyền – GV Toán trường THCS Phúc Đồng. Chân thành cảm ơn cô! Chúc các em học sinh học tập tốt!
2. 2 Chủ đề 2: Góc với đường tròn . GÓC Ở TÂM . Lý thuyết A. Kiến thức cần nhớ 1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Ví dụ : ·AOB là góc ở tâm. ￿ Nếu 00 180 thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung O nhỏ và cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn. ￿ Nếu 180 thì mỗi cung là một nửa đường tròn. A B ￿ Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn 2. Số đo cung ￿ Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. ￿ Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn). ￿ Số đo của nửa đường tròn bằng 180 . Chú ý : “Cung không” có số đo bằng 00 và cung cả đường tròn có số đo bằng 360 . 3. So sánh hai cung Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau : ￿ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. ￿ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 4. Khi nào thì sđ »AB = sđ »AC + sđC»B ? Nếu điểm C là một điểm nằm trên cung AB thì : sđ »AB = sđ »AC + sđC»B . 5. Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau : a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. D b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. C » » Trong hình bên : AB CD AB = CD. O 6. Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay B trong hai đường tròn bằng nhau : A a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. Trong hình bên : »AB C»D AB < CD
3. 3 Chủ đề 2: Góc với đường tròn 7. Định lí bổ sung ￿ Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. ￿ Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thỡ qua trung điểm của dây căng cung ấy ( đảo lại không đúng) ￿ Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Để tính số đo của góc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau: ✓ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. ✓ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn). ✓ Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 . Cung cả đường tròn có số đo 3600 . ✓ Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc. ✓ Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung. . Bài tập Bài 1: Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Biết A· PB 550 . Tính số đo cung lớn AB. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Tính góc ở tâm trước, rồi tính số đo cung nhỏ AB. Cuối cùng tính số đo cung lớn. Trình bày lời giải A Tứ giác APBO có O· AP 90 ;O· BP 90 ( vì PA, PB là tiếp tuyến), APB 550 nên: O ·AOB 360 90 90 550 125 (tổng các góc trong tứ P giác AOBP) suy ra số đo cung nhỏ AB là 1250. Vậy số đo cung lớn AB là: 3600 –1250 2350 . B
4. 4 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Bài 2: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết ·AMB 400 . a) Tính ·AMO và ·AOM . b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau từ đó tính ra góc ở tâm. Cuối cùng tính số đo cung lớn. Trình bày lời giải a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên A 1 MO là tia phân giác của ·AMB hay ·AMO ·AMB 200 . 2 m M O Tam giác AMO vuông tại A, tính được ·AOM 700. OM là tia phân giác của ·AOB nên ·AOB 2.·AOM 1400 B n b) sđ ¼AmB = sđ ·AOB 1400 sđ ¼AnB 3600 1400 2200. Bài 3: Trên một đường tròn (O) có cung AB bằng 140o . Gọi A’. B’ lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O; lấy cung AD nhận B’ làm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A’ làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD . Hướng dẫn giải Tìm cách giải. OA và OA’ là hai tia đối nhau nên sđ ¼AA' 1800 . Do AD nhận B’ là điểm chính giữa cung nên sđ sd AB ' sd B'D . Tương tự sđ B¼A' 1800 ’ sd A' B sd A'C từ đó tính được số đo cung DC Trình bày lời giải Ta có ·AOB ' B· OA' (hai góc đối đỉnh) sd AB' = sd A'B A B’ và C’ lần lượt là điểm chính giữa cung AD và O B cung BC nên ta có sd ¼AB ' sd B¼' D;sd ¼A' B sd ¼A'C B' A' »  sđ AB 140 mà A’ là điểm đối xứng với A qua O nên D C sđ ·AOA' 1800 lại cós® A»B s® B»A'=1800 sđ B¼A' 40 = sđ ¼AB ' 40 sđ »AC 40 sđ C»B 80
5. 5 Chủ đề 2: Góc với đường tròn ·  ·  » 0 » ¼     sđ AB 40 sđ B'D 40 sđCD =180 - sđ BC - sđ B ' D 180 40 80 60 . Bài 4: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM 2R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). a) Tính ·AOM ; b) Tính ·AOB và số đo cung AB nhỏ; c) Biết OM cắt (O) tại C. Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Vận dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh (theo bán kính) từ đó tính ra được góc ở tâm. Trình bày lời giải a) Do MA và MB là các tiếp tuyến của (O) nên MA  AO và MB  BO Xét tam giác vuông MAO có A AO 1 0 0 sin A· MO ·AMO 30 ·AOM 60 ; MO 2 C M O · 0 » 0 b) Tương tự bài 1 tính được AOB 120 , sđ AB 120 ; B · · » » c) AOC BOC AC BC. . GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG . Lý thuyết A 1. Định nghĩa . ￿ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. O Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. B Trong hình bên thì C
6. 6 Chủ đề 2: Góc với đường tròn B· AC là góc nội tiếp B»C là cung bị chắn x ￿ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm B trên đường tròn và một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh A kia chứa dây cung của đường tròn đó. O Theo hình bên thì y B· Ax và B· Ay là hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. 2. Định lý . ￿ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. ￿ Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo góc của cung bị chắn. 3. Hệ quả 1. Trong một đường tròn : a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 4. Hệ quả 2. Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 5. Thêm dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến. Cho tam giác ACD. Trên tia đối của tia CD lấy điểm P. Tia AP là tiếp tuyến của đường tròn A ngoại tiếp tam giác ACD nếu thoả mãn một trong hai điều kiện sau : a) A· DC=P· AC; 2 P b) PA PC.PD . D C PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN ✓ Điểm nằm chính giữa cung chia cung đó thành 2 cung có số đo bằng nhau. Hai góc nội tiếp chắn hai cung đó thì bằng nhau. ✓ Để chứng minh đẳng thức hình học, suy nghĩ quy về chứng minh tam giác đồng
7. 7 Chủ đề 2: Góc với đường tròn dạng dựa vào các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau trong một đường tròn. ✓ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. ✓ Góc nội tiếp ( nhỏ hơn bằng 900 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung . Bài tập. Bài 1: Cho đường tròn (O) có các dây cung AB, BC, CA. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC và gọi S là giao điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA. Hướng dẫn giải A Tìm cách giải. Vận dụng tính chất trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau từ đó chỉ ra S M N các tam giác ASN và MSC cân tại S O Trình bày lời giải B C Do M là điểm chính giữa cung nhỏ AB nên sđ M¼ B sđ M¼ A Do MN // BC nên N· MC M· CB sđ M¼ B = sđ N¼C ¼ ¼ ¼ Vậy sđ MB sđ MA =sđ NC N· AS A· NS (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) S·MC S·CM (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) Vậy các tam giác ASN và MSC cân tại C SN SA;SM SC Nhận xét: Ở bài toán này học sinh có thể nhớ tới bài toán: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau từ đó nhìn ra M¼ B C»N Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K là tiếp điểm. Chứng minh rằng DK vuông góc với AM.
8. 8 Chủ đề 2: Góc với đường tròn Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Ta có: A· KM 90 nên DK  AM DMK￿ KMA . Mặt khác hai tam giác có ·AMK chung. Do yêu cầu chứng minh về góc nên để chứng minh hai tam giác đồng MD MK dạng ta nên dùng c.g.c. Do vậy cần chứng minh . MK MA Trình bày lời giải: ¶ ¶ µ ¶ µ ¶ A A1 A2 mà B1 A2 ( góc nội tiếp) nên B1 A1 . 2 MD MB MD MK 1 MBD ∽ MAB (g.g) K MB MA MK MA O · · B Kết hợp với DMK AMK (góc chung) 1 D C ta có: DMK￿ KMA (c.g.c) M· DK M· KA 90 M Vậy DK AM. Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AM. a) Tính ·ACM ; b) Chứng minh B· AH O· CA; c) Gọi N là giao điểm AH với đường tròn (O). Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao? Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Ta có: ·ACM 900 , góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Nhận định tam giác AOC là tam giác cân nên nếu B· AH O· CA ta sẽ có B· AH C· AO từ đó tìm ra tam giác đồng dạng để giải toán. Trình bày lời giải a) Ta có A· CM 900 (góc nội tiếp).
9. 9 Chủ đề 2: Góc với đường tròn b) Vì ·ABC ·AMC (cùng chắn cung AC) và A ·AHB ·ACM 900 Nên ABH và AMC đồng dạng ( g-g) · ·  O BAH OAC · ·  BAH OCA O· CA O· AC  B H C · 0 c) ANM 90 , AN  NM và AN  BC nên MN // BC N M MNBC là hình thang BC / /MN sđ B»N sđC¼M (xem chứng minh Bài 1) ¼ » sđ BM sđCN BM CN MNBC là hình thang cân. Bài 4: Cho đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó. Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Gọi D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC ( D khác A và B). CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E. (E nằm giữa C và D). Chứng minh rằng: a) B· ED D· AE . b) DE 2 DA.DB. Hướng dẫn giải Tìm cách giải - Trong quá trình chứng minh về góc, nên sử dụng tính chất về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng hệ quả của chúng. - Để chứng minh DE 2 DA.DB., nên ghép chúng vào hai tam giác có cạnh là DA, DB và DE là cạnh chung của hai tam giác, rồi chứng minh chung đồng dạng. Do đó ta chọn BED và EAD. A Trình bày lời giải D E E· BC E· AB DCB D· AB a) Ta có : ; nên C O E· BC D· CB E· AB D· AB . Mặt khác : E· BC D· CB B· ED, E· AB D· AB D· AE . B Vậy B· ED D· AE . b) Ta có : A· DE A· BC C· AB E· DB mà theo câu a): B· ED D· AE , suy ra:
10. 10 Chủ đề 2: Góc với đường tròn DE DB BED ∽ EAD (g-g) DE2 DA.DB DA DE Bài 5: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các điểm M, N, P là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CA. Gọi D là giao điểm của MN và AB, E là giao điểm của PN và AC. Chứng minh rằng DE song song với BC. Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Khai thác điểm chính giữa của một cung , ta nhận được các tia phân giác của góc. Do vậy nếu khai thác tính chất đường phân giác của tam giác, ta được các tỉ số. Với suy luận đó, để chứng minh DE // BC ta cần vận dụng định lý Ta-lét đảo. Trình bày lời giải: A » » AE AN P AP PC NE là đường phân giác của ANC (1) M EC NC D E AD AN O ¼AM M»B ND là đường phân giác của ANB (2) DB NB B C B»N N»C NB = NC (3) N AE AD Từ (1), (2) và (3) suy ra , do đó DE // BC. EC DB Bài 6: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và một cát tuyến IC MC MCD. Gọi I là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: . ID MD Hướng dẫn giải Tìm cách giải. Khai thác góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung dễ dàng chỉ ra MAC ∽ MDA và MBC ∽ MDB . Từ đó biến đổi các hệ thức để giải bài toán. Trình bày lời giải Ta có M· AC ·ADC (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung); A· MD chung. Suy ra MA AC MAC ∽ MDA (g-g) suy ra: MA2 MC.MD và MD AD