Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp

Nội dung text: Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp

1. 1 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp TỨ GIÁC NỘI TIẾP Chủ đề 3 CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN MỤC LỤC C. TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC 1 ĐƯỜNG TRÒN...1 . TỨ GIÁC NỘI TIẾP .........................................................................................................2 . Lý thuyết..........................................................................................................................2 . Bài tập...............................................................................................................................4 . CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN.................11 . Lý thuyết........................................................................................................................11 . Bài tập.............................................................................................................................11 . BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện).............................................................................14 Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới góc bằng nhau14 Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 .................................................16 Dạng 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện......17 Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm ......................................................18 Dạng 5: Chứng minh 5 điểm nằm trên một đường tròn ..........................................18 Trong bài hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10, câu a sẽ thường yêu cầu các em chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp hoặc chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn. Đây là một ý dễ trong bài toán nên các em hãy kiếm điểm tối đa từ ý này nhé! Chủ đề dưới đây đã hệ thống một số biện pháp chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp mà các em thường gặp. Hãy nắm vững kiến thức đã học trước đó để phục vụ cho lời giải nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập!
2. 2 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp . TỨ GIÁC NỘI TIẾP . Lý thuyết 1. Định nghĩa . A Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). B Hình bên :Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. O 2. Định lí. Trong một tứ giác nội tiếp,tổng số đo hai góc đối diện D 0 bằng 180 . C 3. Định lí đảo. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. 4. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp. Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800. Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Phương pháp 2: Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại Phương pháp 3: dưới một góc Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối Phương pháp 4: diện. (tương tự phương pháp 1) Phương pháp 5: Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện Định lý Ptoleme hay đẳng Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp thức Ptoleme cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
3. 3 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Ví dụ minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp. Hướng dẫn giải Cách 1: Phương pháp 2: Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm Gọi O là trung điểm của BC. Xét BB’C có : B· B'C 900 (GT) OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền A (1) OB’ = OB = OC = r C' B' Xét BC’C có : B· C'C 900 (GT) Tương tự trên OC’ = OB = OC = r (2) B Từ (1) và (2) B, C’, B’, C (O; r) Tứ giác O C BC’B’C nội tiếp đường tròn. Cách 2: Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lạ dưới một góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp. A Ta có: BB’  AC (giả thiết) B· B'C 900 . C' B' CC’  AB (giả thiết) B· C'C 900 . B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông B O C B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC Hay tứ giác BC ' B 'C nội tiếp đường tròn đường kính BC. Cách 3: Phương pháp 1 và phương pháp 4: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800 và Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Ta có: BB’  AC (giả thiết) B· B'A 900 . CC’  AB (giả thiết) C· C'A 900 .
4. 4 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Xét AB B và AC C có ·AB B ·AC C 900 và B· AC chung. AB ' AB AB ' AC ' Vậy AB B : AC C (g-g) A AC ' AC AB AC AB ' AC ' C' Xét AB C và ABC ta có và B· AC chung. B' AB AC Vậy AB C : ABC (c-g-c) ·AB 'C' A· BC . Tứ giác BC ' B 'C có góc ngoài tại đỉnh B B ' bằng góc trong tại đỉnh B . Vậy tứ giác BC ' B 'C nội O C tiếp. (Phương pháp 2) Để sử dụng theo phương pháp 1 có thể chỉ ra tứ giác BC ' B 'C có C· ' BC C· ' B 'C 1800 nên tứ giác BC ' B 'C là tứ giác nội tiếp . Bài tập Bài 1: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM và IK là P; giao điểm của CM, IH là Q. a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được; b) Chứng minh MI2 = MH.MK; c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp rồi suy ra PQ  MI; Hướng dẫn giải a) * B· IM B· KM 900 suy ra tứ giác BIMK nội tiếp. (phương pháp 1) * C· IM C· HM 900 suy ra tứ giác CIMH nội tiếp. (phương pháp 1) b) Tứ giác BIMK nội tiếp nên I·KM I·BM ; (nội tiếp cùng chắn cung MI); K· IM K· BM. (nội tiếp cùng chắn cung KM) (1) Tứ giác CIMK nội tiếp nên I·CM I·HM ; (cùng chắn cung MI); M· IH M· CH.(cùng chắn cung MH) (2) Xét đường tròn tâm (O) có : K· BM B· CM ; (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung(; M· BI M· CH. (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) (3)
5. 5 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Từ 1 , 2 , 3 suy ra K· IM I·HM ;M· KI M· IH. Do đó IMK : MHI(g.g) MK MI MI 2 MK.MH . MI MH c) * Ta có P· MQ P· IQ B· MC P· IM Q· IM B· MC M· CI M· BC 1800 Hay P· MQ P· IQ 1800 Suy ra tứ giác MPIQ nội tiếp. (phương pháp 1) * Từ đó ta có M· PQ M· IQ M· PQ M· BC PQ / /BC mà MI  BC nên MI  PQ Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB . Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E ; MB cắt nửa đường tròn O tại D ( D khác B ). a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh MBCD là tứ giác nội tiếp (xem cách giải Bài 3) Hướng dẫn giải x N C M D I E A H O B · · Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: MAO MCO 900 . Tứ giác AMCO có M· AO M· CO 1800 AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.
6. 6 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp · · ADB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADM 900 (1) Lại có: OA OC R ; MA MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC · AEM 900 (2). Từ (1) và (2) suy ra ·ADM ·AEM 900 . Tứ giác AMDE có hai đỉnh A, E kề nhau cùng nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi. Vậy là tứ giác AMDE nội tiếp đường tròn đường kính MA. Bài 3: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E , F ( F ở giữa B và E ) 1. Chứng minh: ·ABD D· FB . 2. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. Hướng dẫn giải 1) ADB có ·ADB 90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ·ABD B· AD 90o (vì tổng ba 180o góc của một tam giác bằng )(1) X E ABF có ·ABF 90o ( BF là tiếp tuyến ). ·AFB B· AF 90o (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180o ) (2) C Từ (1) và (2) ·ABD D· FB D F 2) Tứ giác ACDB nội tiếp O ·ABD ·ACD 180o . mà E· CD ·ACD 180o ( Vì là hai góc kề bù) E· CD D· BA A O B Theo trên ·ABD D· FB , E· CD D· BA E· CD D· FB . Mà E· FD D· FB 180o ( Vì là hai góc kề bù) nên E· CD ·AEFD 180o , do đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp.
7. 7 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính BC 2R . Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH  BC . Nửa đường tròn đường kính BH , CH lần lượt có tâm O1 ; O2 cắt AB và CA thứ tự tại D và E . a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R 25 và BH 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. Hướng dẫn giải A Ta có B· AC 90o (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn) E Tương tự có B· DH C· EH 90o D Xét tứ giác ADHE có Aµ A· DH A· EH 90o hay ADHE là hình chữ nhật. B C O1 H O O2 Từ đó DE AH mà AH 2 =BH .CH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) hay AH 2 10.40 202 BH 10;CH 2.25 10 40 DE 20 b) Ta có: B· AH = Cµ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà D· AH A· DE (1) (Vì ADHE là hình chữ nhật) => Cµ A· DE do Cµ B· DE 180o nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh một cách sử dụng hệ thức lượng và tam giác đồng dạng như sau: Tam giác AHB vuông tại H, đường cao AH. Ta có AH 2 AD.AB Tam giác AHC vuông tại H, đường cao AE. Ta có AH 2 AE.AC AD AE Ta có AD.AB AE.AC AC AB AD AE Xét tam giác ADE và tam giác ACB có , B· AC D· AE 900 (góc chung) AC AB ADE” ACB ·ADE ·ACB mà ·ADE E· DB 1800 nên ·ADE E· CB 1800 Tứ giác BDEC có ·ADE E· CB 1800 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.
8. 8 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Bài 5: Từ bài toán quen thuộc cho (O,R). Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tiếp tuyến Ax và By với (O), lấy D N thuộc (O), kẻ tiếp tuyến với (O) tại N cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi I và K lần lượt là giao điểm N của AN và CO, MN và OD. Chứng minh NIOK là C hình chữ nhật. I K Ta có bài toán sau: A B O Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn O . Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By . Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D . a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ANB đồng dạng với CMD từ đó suy ra IMKN là tứ giác nội tiếp. y x D C N I K A M O B
9. 9 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp · · a) Ta có tứ giác ACNM có: MNC 900 (gt) MAC 900 (tínhchất tiếp tuyến). M· NC M· AC 1800 ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC . Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính. MD b) ANB và CMD có: · · ABN CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) · · BAN DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ANB : CMD (g.g) · c) ANB : CMD C· MD A· NB 90o (do ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn O ) · · Suy ra IMK INK 900 I·NK I·MK 1800 . Vậy IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn. Hướng dẫn giải sd »AD M»B Ta có : M· EP (góc có đỉnh nằm bên trong (O)) 2 sd D¼M M Mà D· CP (góc nội tiếp) 2 A E P B sd »AD M» A Hay D· CP 2 O D Lại có : A¼M M¼ B · · Nên : MEP = DCP C Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C. Vậy tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
10. 10 Chủ đề 3: Chứng minh Tứ giác nội tiếp Bài 7: Định lý Ptoleme. Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Ta phải chứng minh: AC. BD = AB. DC + AD. BC Hướng dẫn giải Lấy E BD sao cho B· AC = E· AD B DAE ” CAB (g. g) AD DE A AC BC C E O AD. BC = AC. DE (1) Tương tự: BAE ” CAD (g. g) BE AB = D CD AC BE. AC = CD. AB (2) Từ (1) và (2) AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC AD. BC + AB. CD = AC. DB (đpcm)