Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 4: Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

Nội dung text: Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 4: Các bài toán chứng minh đẳng thức hình học

1. 1 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH Chủ đề 4 ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC MỤC LỤC D. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC..................................1 . LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC.......................................3 A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU .................................................3 Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau..........................................................................3 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt..............................................6 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt................7 Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn..............................8 Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian .............................................9 B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ................................................................10 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng .........................................................................10 3. Đường trung bình. ..........................................................................................................10 4. Định lý Talet: ...................................................................................................................11 5. Tính chất đường phân giác của tam giác. ...................................................................12 6. Các trường hợp đồng dạng của tam giác.....................................................................13 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông...........................................................................14 8. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.......................................................................................15 . PHẦN BÀI TẬP...............................................................................................................16
2. 2 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Trong bài hình học trong đề thi tuyển sinh vào 10, sẽ có những yêu cầu chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc các đoạn thẳng tỷ lệ mà ta gọi chung là đẳng thức hình học. Chủ đề dưới đây sẽ hệ thống một số biện pháp chứng minh đẳng thức hình học. Hãy nắm vững kiến thức đã học trong những năn học Toán THCS để phục vụ cho lời giải nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong học tập!
3. 3 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học . LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC A. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU Phương pháp 1: Hai tam giác bằng nhau Lấy một tờ bìa mỏng, gấp đôi lại. Trên nửa tờ bìa vẽ một tam giác. Vẫn gấp đôi tờ bìa, cắt lấy tam giác, ta được hai miếng tam giác có thể đặt trùng khít lên nhau. Đó là hình ảnh của hai tam giác bằng nhau. A A B C A' B C B' C' a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. AB A B ; AC A C ,BC B C ABC A B C µ µ µ ¶ µ µ A A ;B B ;C C b) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác *) Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A 'B' AC A 'C' ABC A 'B'C'(c.c.c) BC B'C'
4. 4 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học *) Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB A 'B' µ µ B B'  ABC A 'B'C'(c.g.c) BC B'C'  *) Trường hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) - Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau NÕu ABC vµ A'B'C' cã: Bµ Bµ '  BC B'C' ABC A 'B'C'(g.c.g ) µ µ C C'  c) Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông ➢ Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
5. 5 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học ➢ Trường hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai giác vuông đó bằng nhau. ➢ Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. ➢ Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
6. 6 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của các hình đặc biệt (chỉ khai thác yếu tố bằng nhau, tránh nhầm sang dấu hiệu nhận biết) 1. Hai cạnh bên của tam giác cân, tam giác đều. (Hình học lớp 7) Tam giác cân: Hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau. Tam giác đều: Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau. 2. Sử dụng tính chất về cạnh và đường chéo của các tứ giác đặc biệt: hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. (Hình học lớp 8) Hình thang cân: Hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau. Hình bình hành: Hai cặp cạnh đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình chữ nhật: Hai cặp cạnh đối bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình vuông: Bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, giao điểm của hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hình thoi: Bốn cạnh bằng nhau, giao điểm của hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. A A ABCD là hình thang cân AD = BC ABC đều AC = BD AB = AC= BC A B ABC cân AB = AC B B C C D C ABCD là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật ABCD là hình vuông AD = BC AB = CD; AC = BC AB = BC = CD = DA AB = CD AC = BD AC = BD OA = OC OA = OB = OC = OD OD = OB A B OA = OC = OD = OB A B A B O O O D C D C D C
7. 7 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học A ABCD là hình thoi ABC vuông tại A A AB = BC = CD = DA AM là đường trung tuyến ABC , phân giác BD OA = OC 1 M thuộc MD OD = OB AM = BC = BM = MC MN  BA, MP  BC N 2 A B MN = MP D M O C B B M C P D C G là trọng tâm ABC AG cắt BC tại D A AD là trung tuyến DB = DC G B C D B F A B A A OE = OG O AB = CD O P O D G C D C B »AB C»D AB CD PA, PB là tiếp tuyến của (O) PA = PB Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của các đường đặc biệt, điểm đặc biệt. 1. Sử dụng tính chất đường trung tuyến (đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác), đường trung tuyến của tam giác vuông, đường trung bình trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác đặc biệt. + Trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện + Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
8. 8 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học - “Đường thẳng xuất phát từ một đỉnh và đi qua trọng tâm của một tam giác là đường trung tuyến của tam giác đó” đi qua trung điểm cạnh đối diện. - Về các đường đồng quy trong tam giác đặc biệt: ví dụ: 2 đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau, các đường trung tuyến trong tam giác đều bằng nhau, .. (phần này khi sử dụng phải chứng minh) + Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. 2. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. - Điểm nằm trên tia phân giác thì cách đều 2 cạnh của góc đó 3. Khoảng cách từ một điểm trên đường trung trực của một đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng. (Hình học 7): - Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì MA = MB 4. Sử dụng tính chất trung điểm. (Hình học 7) - Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn dài bằng nhau. 5. Hình chiếu của hai đường xiên bằng nhau và ngược lại. (Hình học 7) - Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất liên quan đến đường tròn. 1. Sử dụng tính chất hai dây cách đều tâm trong đường tròn. (Hình học 9) - Trong một đường tròn: Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau 2. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau trong đường tròn. (Hình học 9) - Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm
9. 9 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học 3. Sử dụng quan hệ giữa cung và dây cung trong một đường tròn. (Hình học 9) - Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian 1. Dùng tính chất bắc cầu: Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba. 2. Có cùng độ dài (cùng số đo) hoặc cùng nghiệm đúng một hệ thức. 3. Đường thẳng song song cách đều: - Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thằng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau. 3. Sử dụng tính chất của các đẳng thức, hai phân số bằng nhau. 4. Sử dụng kiến thức về diện tích. (Hình học 8) 5. Sử dụng bình phương của chúng bằng nhau (có thể sử dụng định lí Pitago, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn để đưa về bình phương của chúng bằng nhau).
10. 10 Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức hình học B. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 1. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng Trung điểm là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn dài bằng nhau. B là trung điểm của đoạn thẳng AC A B C AB BC 1 AB = BC; = = AC AC 2 2. Tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một 2 GA GB GC 2 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy: = = = 3 DA EB FC 3 G là trọng tâm của tam giác ABC Khai thác thêm: A A G = 2GD ; CG= 2GF ; B G= 2GE GD GE GF 1 F E = = = AD BE CF 3 G GD GF GE 1 = = = AG CG BG 2 B D C 3. Đường trung bình. Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác (h.3.1). Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang (h.3.2). Hình 3.1 Hình 3.2