Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 5: Các bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Nội dung text: Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 5: Các bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng

1. 1 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH Chủ đề 5 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG E. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG MỤC LỤC 10 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng...............................................................2 Ví dụ minh họa..........................................................................................................................3 Dạng 1: chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh bằng 180 độ)............................................................................................................................3 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo của hình đặc biệt (vd: hình bình hành) ....3 Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường tròn .............................3 Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho................................4 Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. .......................................................................5 Một số bài tập...........................................................................................................................11 Chủ đề vận dụng trong bài toán liên quan đến đường tròn. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG. 1. Chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (1800) 2. Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ 3. (Tiên đề Ơclit) 3. Sử dụng tính chất đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác. 4. Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang. Chúc các em học sinh học tập tốt!
2. 2 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG 10 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng 1. Chứng minh điểm A thuộc đoạn thẳng BC 2. Chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (1800) 3. Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh mà bằng nhau. 4. Chứng minh 3 điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc hay cùng song song với một đường thẳng thứ 3. (Tiên đề Ơclit) 5. Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai đầu đoạn thẳng. 6. Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh 3 điểm đó cùng cách đều hai cạnh của một góc. 7. Sử dụng tính chất đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác. 8. Sử dụng tính chất đường chéo của các tứ giác đặc biệt: hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang. 9. Sử dụng tính chất tâm và đường kính của đường tròn. 10. Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc nhau. Ví dụ minh họa Dạng 1: chứng minh qua 3 điểm xác định một góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh bằng 180 độ) Bài 1: Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, đường cao AH . Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD , ACE ( B· AD C· AE 90o ). Gọi M là trung điểm của DE . Chứng minh rằng H , A , M thẳng hàng. F Hướng dẫn giải E Dựng hình bình hành AEFD . M M là trung điểm của AF (t/c hình bình hành) và EF DA BA . D · · · EA CA AEF CAB DAE 1 Mặt khác (gt); (cùng bù với ). A 3 EFA ABC (c – g – c). 2 µ µ A1 C1 ( Hai góc tương ứng). µ µ o 1 Mà A1 C1 90 B C H
3. 3 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng µ ¶ o A1 A2 90 . µ ¶ µ o · o A1 A2 A3 180 hay FAH 180 M , A , H thẳng hàng. Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo của hình đặc biệt (vd: hình bình hành) Bài 2: Cho ABC có trực tâm H nội tiếp O đường kính CM , gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng H , I , M thẳng hàng. A Hướng dẫn giải I H M MB  BC , AH  BC (suy từ giả thiết). O MB//AH . B C Mà MA//BH (cùng vuông góc với AC ). AMBH là hình bình hành. AB cắt MH tại trung điểm I của AB và MH (t/c hình bình hành). Suy ra H , I , M thẳng hàng. Dạng 3: Sử dụng tính chất về tâm và đường kính của đường tròn 1. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền 2. Đường kính của đường tròn thì đi qua tâm. Bài 3: Cho O đường kính AB . Điểm M chuyển động trên O , M A; M B . Kẻ MH vuông góc với AB . Vẽ đường tròn O1 đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D . Chứng minh rằng: a) C , D , O1 thẳng hàng. b) ABCD nội tiếp. Hướng dẫn giải M a) Ta có : D ·AMB 90o (góc nội tiếp chắn nửa O ). O C 1 · o CMD 90 . CD là đường kính của O1 . A B H O Suy ra C , D , O1 thẳng hàng. b) MCHD là hình chữ nhật nội tiếp O1 . M· CD M· HD ( 2 góc nội tiếp cùng chắnC»D ). Mà M· CD Bµ M· CD ·ACD Bµ ·ACD 180o . Vậy ABCD nội tiếp.
4. 4 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. • Nếu qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có 2 đường thẳng song song với a thì chúng trùng nhau. • Cho điểm M ở ngoài đường thẳng a. Đường thẳng đi qua M và song song với a là duy nhất. Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo. Điểm M trên đoạn OB , lấy E đối xứng với A qua M ; H là hình chiếu của điểm E trên BC , vẽ hình chữ nhật EHCF . Chứng minh M , H , F thẳng hàng. Hướng dẫn giải A B M Gọi I là giao điểm của HF và CE . H , I , F thẳng hàng * (t/c hình chữ nhật). H E O Cần chứng minh: M , I , F thẳng hàng. I 1 1 MA ME AE (gt) và OA OC AC (t/c hình chữ nhật). F 2 2 D C OM là đường trung bình của ACE . OM //CE O· DC I·CF ( 2 góc đồng vị). Mà O· DC O· CD và I·CF I·FC (vì OCD cân tại O , ICF cân tại I , t/c hình chữ nhật). O· CD I·FC IF //AC mà IM //AC (do IM là đường trung bình ACE ). M , I , F thẳng hàng (tiên đề Ơclít). Kết hợp với * ta có: M , H , F thẳng hàng. Bài 5: Cho ABC nhọn, các đường cao AH , BD vàCE . Gọi M , N , P , Q thứ tự là hình chiếu của H trên AB , BD , CE và AC . Chứng minh M , N , P , Q thẳng hàng. Hướng dẫn giải BM BH BN + Từ (gt) MH //CE ; NH //AC (định lý Talét). BE BC BD MN //ED 1 (định ký Talét đảo). + Chứng minh tương tự ta có: PQ//ED 2
5. 5 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng + Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông HAC và HAB ta có: AQ AB AB AD AH 2 AQ.AC AM.AB mà (vì DAB ∽ EAC (g.g)). AM AC AC AE AQ AD AQ AM hay MQ//ED . (định lý AM AE AD AE A D Talét đảo) Q Kết hợp với 1 , 2 ta có: E P M , N , Q thẳng hàng và M , P , Q thẳng hàng (tiên đề Ơclít). M N Do đó M , N , P , Q thẳng hàng. B C H Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. • Nếu qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a có 2 đường thẳng vuông góc với a thì chúng trùng nhau. • Cho điểm M ở ngoài đường thẳng a. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với a là duy nhất. Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA 2R . Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O) (B là tiếp điểm). 1) Chứng minh tam giác ABO vuông tại B và tính độ dài AB theo R 2) Từ B vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với cạnh OA tại H. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3) Chứng minh tam giác ABC đều. 4) Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại D. Đường tròn đường kính AC cắt cạnh DC tại E. Gọi F là trung điểm của cạnh OB. Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng. Hướng dẫn giải 1) Ta có: A· BO 900 (AB là tiếp tuyến của(O) tại B) ABO vuông tại B 2 2 2 AB OB OA (Đ/L Pytago) 2 AB2 OA2 OB2 2R R2 4R2 R2 3R2 AB R 3
6. 6 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng 2) Ta có BOC cân tại O (OB = OC = R) B K D Mà OH là đường cao ( BC  OA tại H) F I OH là đường phân giác của BOC E · · O A BOA COA H Chứng minh AOC = AOB (c-g-c) M · · ACO ABO C Mà A· BO 900 (AB là tiếp tuyến của(O) tại B) A· CO 900 AC  OC Mà C thuộc (O) AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) 3) Chứng minh ABC cân tại A ( 1) Xét ABO vuông tại 0, có OB R 1 SinA· BO OA 2R 2 B· AO 300 Ta có: AO là tia phân giác của góc BAC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) B· AC 2B· AO 2.300 600 (2) Từ (1) và (2) suy ra ABC đều 4) Gọi I là giao điểm của AF và HD Áp dụng hệ quả Talet để I là trung điểm HD Gọi K là trung điểm BD Chứng minh KI là đường trung bình của BHD KI // HB Mà HB  OA tại H (gt) KI  AH
7. 7 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Chứng minh I là trực tâm của AHK AI là đường cao của AHK AF  HK (3) Chứng minh HK là đường trung bình của BDC HK // CD (4) Từ (3) và (4) AF  CD Ta có: AEC nội tiếp đường tròn đường kính AC AEC vuông tại E AE  CD Mà AF  CD Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng Dạng 5: Sử dụng tính chất đồng quy của các đường: trung tuyến, phân giác, đường cao trong tam giác. Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D. 1) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn đó. 2) Chứng minh DB là phân giác của góc ADN. 3) Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC. 4) BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng. Hướng dẫn giải a) B· AC B· DC 90o (gt) nên tứ giác BADC nội tiếp đường tròn tâm O là trung điểm của BC. b) ·ADB B· DN ( ·ACB) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong các đường tròn ngoại tiếp tứ giác BADC, NMDC) nên DB là phân giác góc AND. c) OM ⊥ AC (OM là đường trung bình tamgiác ABC) nên suy ra MO là tiếp tuyến đường tròn đường kính MC.
8. 8 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng d) MN ⊥ BC (góc MNC nội tiếp nửa đường tròn đường kính MC) PM ⊥ BC (M là trực tâm tam giác PBC) Suy ra P, M, N thẳng hàng. Bài 8: Tuyển sinh 10 Hà Nam 15 – 16 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Trên d lấy điểm D (D không trùng với A), kẻ tiếp tuyến DB của (O) (B là điểm, B không trùng với A). a) Chứng minh rằng tứ giác AOBD nội tiếp. b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm C. Kẻ DH vuông góc với OC (H thuộc OC). Gọi I là giao điểm của AB và OD. Chứng minh rằng OH.OC = OI. OD c) Gọi M là giao điểm của DH với cung nhỏ AB của (O). Chứng minh rằng CM là tiếp tuyến của (O) d) Gọi E là giao điểm của DH và CI. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính OD và đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM. Chứng minh rằng O, E, F thẳng hàng. Hướng dẫn giải a) DA và DB là các tiếp tuyến của (O) nên O· BD O· AD 90o Xét tứ giác AOBD có O· BD O· AD 180o , mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AOBD nội tiếp b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có DA = DB và DO là tia phân giác của ABD Do đó tam giác ABD cân tại D có DO là đường phân giác nên đồng thời là đường trung trực.... Xét ∆OIC và ∆OHD có O· IC O· HD 90o ; D· OC chung nên OIC ” OHD (g.g) OI OC OH.OC OI.OD(1) OH OD
9. 9 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng c) Xét tam giác AOD vuông tại A có AI là đường cao nên OA2 OH.OD (2) Mà OM = OA (là bán kính (O) ). (3) OM OC Từ (1), (2) và (3) suy ra OM2 = OH. OC OH OM OM OC Xét ∆OHM và ∆OMC có chung M· OC ; nên OHM ” OMC (c.g.c). OH OM =>O· MC O· IC 90o nên CM là tiếp tuyến của (O). d) Do O· MC O· IC 90o nên tứ giác OIMC nội tiếp đường tròn đường kính OC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CIM là đường tròn đường kính OC. => O· FC 90o Mặt khác ta có O· FD 90o. Như vậy OFC;OFD kề bù suy ra ba điểm C, F, D thẳng hàng. Xét tam giác OCD có ba đường cao CH, DI, OF mà có E là giao điểm CH, DI nên ba điểm O, E, F thẳng hàng. Bài 9: Tuyển sinh 10 Hải Dương 15 – 16 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm cố dịnh thuộc đoạn thẳng OB (C khác O và B). Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm M. Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B), tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác A). a) Chứng minh AD. AE = AC.AB b) Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp ∆ CDN c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB Hướng dẫn giải a) Có ·ADB ·ANB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ·ABD ·AEC ( cùng phụ góc BAE) => Tam giác ADB đồng dạng với tam giác ACE(g-g) AD AB AD  AE AC.AB AC AE
10. 10 Chủ đề 5: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng b) Có AN ⊥ EB, EC ⊥ AB , EC giao AN tại F nên F là trực tâm của tam giác AEB ⇒ BF ⊥ EA Mà BD ⊥ EA ⇒ B, D, F thẳng hàng + Tứ giác ADFC có hai góc đối bằng 90o nên là tứ giác nội tiếp, suy ra D· CF D· AF Tương tự ta có: N· CF N· BF Mà D· AF N· BF (cùng phụ với góc AEB) => D· CF N· CF Suy ra CF là phân giác của góc DCN Tương tự ta cũng có DF là phân giác của góc NDC Vậy F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DCN c) Gọi J là giao của (I) với đoạn AB. Có F· AC C· EB 90o ·ABE => tam giác FAC đồng dạng với tam giác BEC(g-g) FC AC => CF CE BCAC BC EC Vì AEFJ là tứ giác nội tiếp nên F· JC F· EA 180o ·AJF CF CJ => CFJ” CAE (g-g) => CF CE CA.CJ CA CE Suy ra BC.AC CA.CJ ⇒ BC = CJ ⇒ C là trung điểm BJ (vì J ≠ B) Suy ra J là điểm cố định Có IA IJ nên I luôn thuộc đường trung trực của AJ, là đường cố định. Một số bài tập. Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC tại D, M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) tại N, cắt BC tại E. Chứng minh O, N, O’thẳng hàng. Hướng dẫn giải sdA»D sdC¼M Xét (O’) có: A· EB ( góc có đỉnh ở bên trong A 2 đường tròn). O N O' sdA¼DM sd A»D sd M¼ D B· AM ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến C 2 2 B D E và dây cung) . M Suy ra B· AM A· EB tam giác ABE cân tại B nên BN vừa là đường cao vừa là trung tuyến NA = NE và OA = OB, O’A = O’C NO, NO’ là đường trung bình của tam giác ACE, ABE nên O’N // CE, NO // EB do đó O, N, O’ thẳng hàng.