Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 6: Các bài toán chứng minh đồng quy

Nội dung text: Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 6: Các bài toán chứng minh đồng quy

1. 1 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH Chủ đề 6 ĐỒNG QUY F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY MỤC LỤC F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY .............................................................1 Bài tập có giải.............................................................................................................................2 Một số bài tập tự rèn:..............................................................................................................16 CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG Cách 1. Lợi dụng định lí về các đường đồng quy trong tam giác ➢ Sử dụng định lí ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm ➢ Sử dụng định lí ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác. ➢ Sử dụng các định lí: 1.Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm. ➢ Giao điểm của hai đường phân giác ngoài nằm trên đường phân giác trong của góc thứ ba. ➢ Sử dụng định lí ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Cách 2. Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Cách 3. Lùi về quen thuộc, chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc giao điểm của hai đường nằm trên đường thẳng thứ ba. Chúc các em học sinh học tập tốt!
2. 2 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Bài tập có giải Sử dụng tính chất các đường chéo cắt nhau tai trung điểm mỗi đường của của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Bài 1: Trên hình vẽ bên, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: a) EFGH là hình bình hành. b) Các đường thẳng AC, BD, EF,GH đồng quy. Hướng dẫn giải a) Chứng minh rằng EG HF; EH GF . b) Gọi O là giao điểm của AC và EF . Tứ giác AECF có AE CF, AE / /CF nên là hình bình hành.. Suy ra O là trung điểm của AC, EF . ABCD là hình bình hành, O là trung điểm của AC nên O là trung điểm của BD . EGHF là hình bình hành, O là trung điểm của EF nên O là trung điểm của GH . Vậy AC, BD, EF,GH đồng quy tại O . Lợi dụng các đường đồng quy trong tam giác: đồng quy tại trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. C O Bài 2: Từ một điểm ở ngoài đường tròn kẻ I các tuyến CBA . Gọi IJ là đường kính vuông góc M với AB . Các đường thẳng CI,CJ theo thứ tự cắt A đường tròn O tại M , N . Chứng minh rằng D IN, JM , AB đồng quy tại một điểm D . C B O Hướng dẫn giải N M thuộc đường tròn đường kính IJ nên J· MI 90 hay JM  CI J Tương tự IN  CJ Tam giác CIJ có 3 đường cao CA, JM , IN đồng quy tại D . Vậy IN, JM , AB đồng quy tại một điểm D .
3. 3 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. 1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. 4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 5. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Hướng dẫn giải C C 2 1 1 2 3 O O D 3 E 2 S 1 1 2 S M E D 2 M 1 2 1 2 1 2 2 3 1 3 1 F A F A B B H×nh a H×nh b 1. Ta có C· AB 900 ( vì tam giác ABC vuông tại A); M· DC 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => C· DB 900 như vậy D và A cùng nhìn BC dưới một góc bằng 900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp. ¶ ¶ 2. ABCD là tứ giác nội tiếp => D1 C3 ( nội tiếp cùng chắn cung AB). ¶ ¶ ¼ ¼ ¶ ¶ D1 C3 => SM EM => C2 C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung bằng nhau) => CA là tia phân giác của góc SCB. TH2 (Hình b) ·ABC C· ME (cùng phụ ·ACB ); ·ABC C· DS (cùng bù ·ADC ) => C· ME C· DS => C»E C»S S¼M E¼M => S·CM E· CM => CA là tia phân giác của góc SCB. 3. Xét CMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC như vậy BA, EM, CD là ba đường cao của tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy. ¼ ¼ ¶ ¶ 4. Theo trên Ta có SM EM => D1 D2 => DM là tia phân giác của góc ADE.(1)
4. 4 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy 5. Ta có M· EC 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => M· EB 900 . Tứ giác AMEB có M· AB 900 ; M· EB 900 => M· AB M· EB 1800 mà đây là hai góc ¶ ¶ đối nên tứ giác AMEB nội tiếp một đường tròn => A2 B2. µ ¶ Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A1 B2 ( nội tiếp cùng chắn cung CD) µ ¶ => A1 A2 => AM là tia phân giác của góc DAE (2) Từ (1) và (2) ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE. Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và. D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I. 3. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội Hướng dẫn giải M C 1. B· CA B· DA=900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) . K => M· CI I·DM 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác I D MCID nên MCID là tứ giác nội tiếp. A B 2. AD, MC, MH là ba đường cao của tam giác BAM nên O H đồng quy tại I. 3. Chỉ ra KCI là tam giác cân, từ đó C· IK H· IB C· AB ·ACO ·ACO O· CI K· CI O· CI 900 . Từ đó chỉ ra O· CK 900 . (tự chứng minh) Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. 1.Chứng minh rằng ABT” BDT. 2. Chứng minh rằng : AB.CD = BD.AC 3. Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC; BDC và đường thẳng BC đồng quy tại một điểm
5. 5 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Hướng dẫn giải 1. Xét tam giác ABT và tam giác BDT có: B· TD chung B· AT T· BD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BD). => ABT” BDT. (g-g) 2. Có ABT” BDT. (g-g) AB AT (1) BD BT Chứng minh được ACT ” CDT (g-g) AC AT (2) CD CT Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại T nên BT = CT (3) AB AC Từ (1), (2), (3) có AB.CD BD.AC BD CD 3. Phân giác góc BAC cắt BC tại I, theo tính chất phân giác trong tam giác ta có: IB AB IC AC AB BD IB BD Từ AB.CD = BD.AC AC CD IC CD => DI là phân giác góc BDC Do đó hai đường phân giác góc BAC và BDC và đường thẳng BC đồng quy. Bài 6: Cho nửa đường tròn ( O) đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M trên đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E. a. Chứng minh: AB2 AE.BF b. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AE, BF tại C và D. Chứng minh C và D là trung điểm của AE và BF. c. Chứng minh các đường thẳng AB, CD, EF đồng quy. Hướng dẫn giải a. Ta có A· MB = 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AM BE Xét ∆EAB và ∆ABF có: · E· AB=A· BF; A· EB F· AB (cùng phụ với EAM )
6. 6 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Suy ra ∆EAB ~ ∆ABF ( g.g) AB AE = AB2 = AE. BF BF AB b. CA = CM và CO là tia phân giác của A· CM ∆AMC cân tại C và CO là đường cao CO AM Do đó trong ∆ABE có OA=OB, OC//BE nên CA=CE. c. Gọi giao điểm của AB và EF là S. Ta sẽ chứng minh S, C, D thằng hàng. Giả sử SC cắt BF tại D’. Vì AE // BF nên theo định lí Ta-let, có: AC BD' = =1 D’ là trung điểm của BF CE D'F D trùng với D’ hay S, C, D thẳng hàng. Vậy ba đường thẳng AB, EF, CD đồng quy tại S. Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R) . H là trực tâm của tam giác ABC . Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) ; vẽ OM ^ BC tại M . 1 a) Chứng minh rằng OM = AH 2 b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng H,G,O thẳng hàng và HG = 2GO . ¢ ¢ c) Gọi B ,C lần lượt là trung điểm của các cạn CA,AB . Đường thẳng d1 qua M song ¢ ¢ song với OA , đường thẳng d2 qua B song song với OB , đường thẳng d3 qua C song song với OC . d A Chứng minh rằng các đường thẳng d1,d2,d3 đồng qui. 1 Hướng dẫn giải N a) HB ^ AC (H là trực tâm của DABC ) G O · 0 H AD là đường kính nên ACD = 90 BH ^ AC,DC ^ AC Þ BH PDC B M C Chứng minh tương tự có: CH PDB D Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành
7. 7 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Ta có: O¢A ^ BC Þ M là trung điểm của HD 1 OM là đường trung bình của DAHD nên OM = AH 2 2 b) DABC có AM là đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM và AG = AM nên 3 G là trọng tâm của tam giác AHD . HO là đường trung tuyến nên HO đi qua G và HG = 2GO Gọi N là giao điểm của d1 với AH DHAD có MN PAD , M là trung điểm của HD Þ N là trung điểm của AH 1 Ta có: NH = OM (= AH ),NH POM 2 Do đó HNOM là hình bình hành. Þ d1 đi qua trung điểm I của OH Chứng minh tương tự có d2,d3 đi qua I Vậy các đường thẳng d1,d2,d3 đồng quy Bài 8: Trên các cạnh AB,BC của tam giác ABC dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ACA1A2 và BCB1B2 . Chứng minh rằng các đường thẳng AB1,A1B,A2B2 đồng quy. B Hướng dẫn giải 1 µ 0 Trường hợp 1: C = 90 . Rõ ràng AB ,A B,A B đồng quy tại C . A 1 1 2 2 2 C µ 0 Trường hợp 2: C ¹ 90 B2 Các đường tròn ngoại tiếp hình vuông ACA1A2 và BCB1B2 A2 Có điểm chung c sẽ cắt nhau tại M (khác C ) A B · 0 Ta có: AMA2 = 45 (góc nội tiếp chắn cung một phần tư đường tròn) · · 0 A2MC = A2AC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · 0 Tương tự: CMB1 = 45 Vì tia M A2 nằm giữa hai tia MA và MC ,tia MC nằm giữa hai tia MB và M A2 · · · 0 0 0 0 nên AMA2 + A2MC + CMB1 = 45 + 90 + 45 = 180
8. 8 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy hay A,M ,B thẳng hàng. Chứng minh tương tự A1,M ,B và A2, M , B2 thẳng hàng Vậy AB1, A1B và A2B2 cùng đi qua M Hay AB1, A1B và A2B2 đồng quy. Bài 9: Cho đường tròn (O; R) , đường kính BC , A là điểm trên đường tròn ( A khác B và C ). Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ). Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC và đường tròn (O) tại D, E, F a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp b) Chứng minh OA vuông góc với DE c) Chứng minh các đường thẳng AF, DE, BC đồng quy d) Cho biết sđ »AB 60 . Tính theo R diện tích tứ giác BDEC Hướng dẫn giải A F E I D S C B H O a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp: Ta có: ·ADH ·AEH 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Ta lại có: ·ADE ·AHE (góc nội tiếp cùng chắn cung AE ) ·AHE ·ACB (cùng phụ với E· HC ) Vậy tứ giác BDEC nội tiếp (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)
9. 9 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy b) Chứng minh OA  DE : Ta có: OAB cân tại O (OA OB R ) O· AB O· BA . Mà O· BA ·ACB 90 ( ABC vuông tại A ) ·AHE ·ACB O· AB ·ADE 90 hay OA  DE c) Chứng minh các đường thẳng AF, DE, BC đồng quy: Gọi S là giao điểm của AF và BC SAO có: AH  BC (gt) OI  AS (tính chất đường nối tâm của 2 đtr cắt nhau) SI  OA (đường cao thứ ba trong SAO ) Mà OA  DE (câu b) S, D, I, E thẳng hàng hay đường thẳng DE qua S . Vậy các đường thẳng AF, DE, BC đồng quy d) Tính theo R diện tích tứ giác BDEC : sd »AB 60 Ta có: ABC vuông tại A , ·ACB 30 2 2 1 3 AB BC.sin 30 2R. R ; AC BC.cos30 2R. R 3 2 2 AB.AC R.R 3 R 3 AH.BC AB.AC AH BC 2R 2 Ta lại có: ADE đồng dạng ACB 2 2 2 SACB BC BC 2R 4R 16 SADE DE AH R 3 R 3 3 2 S S S S S 13.S 13 AB.AC 13 R.R 3 13R2 3 ACB ADE ACB ADE BDEC S ACB   16 3 16 3 13 BDEC 16 16 2 16 2 32
10. 10 Chủ đề 6: Chứng minh các đường thẳng đồng quy Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , I là một điểm trên cạnh AC . Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D . a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh DB là phân giác của góc ADE . c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE . d) Chứng minh AB,CD, EI đồng qui. Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. Ta có C B· DC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). C· AB 90 ( tam giác ABC vuông tại A ). E Mặt khác hai đỉnh D, A cùng nhìn BC dưới một góc D 90 . I Vậy tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh DB là phân giác của góc ADE . K A B Do tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn. Nên ·ADB ·ACB (cùng chắn cung AB ). I·DE ·ACB (cùng chắn cung IE của đường tròn đường kính IC ). ·ADB B· DE . Vậy DB là phân giác của góc ·ADE . c) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE . Chứng minh được tứ giác ABEI nội tiếp được trong đường tròn. C· AE C· BD (cùng chắn cung IE ). Mặt khác vì tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.