Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 7: Các bài toán chứng minh cực trị hình học

Nội dung text: Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 7: Các bài toán chứng minh cực trị hình học

1. 1 Chủ đề 7: Cực trị hình học CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH Chủ đề 7 CỰC TRỊ HÌNH HỌC F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC MỤC LỤC F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC ............................................1 A. Phương pháp giải bài toán cực trị hình học....................................................................2 1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học:...................................................................2 2. Hướng giải bài toán cực trị hình học:...........................................................................2 3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học .......................................................3 B. Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. ..........................................4 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.........................4 2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc..........................................7 3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. .............................................................9 4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai ..............................................................10 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ........................................................................................12 6. Sử dụng tỉ số lượng giác. ...............................................................................................15 C. Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn.........................................................................18 D. Bài tập tự luyện ..................................................................................................................35 E. Rèn luyện tổng hợp ............................................................................................................40
2. 2 Chủ đề 7: Cực trị hình học A. Phương pháp giải bài toán cực trị hình học. 1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học: “Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng : a) Bài toán về dựng hình. Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn, xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất. b) Bài toán vể chứng minh. Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất. c) Bài toán về tính toán. Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h , tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P. 2. Hướng giải bài toán cực trị hình học: a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được : + Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m ( m là hằng số ) + Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f m b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được : + Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m ( m là hằng số ) + Xác định vị trí của hình H trên miền D để f m 3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học . + Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra.
3. 3 Chủ đề 7: Cực trị hình học + Cách 2: Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng này đạt cực trị bởi đại lượng khác đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi mà đề bài yêu cầu. Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn( P không trùng với O). Xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn giải +Cách 1 : Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và không trùng với AB ( h.1). C Kẻ OH  CD . O OHP vuông tại H OH AB H A B P Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP D tại P có độ dài nhỏ nhất . h .1 + Cách 2 : Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH  AB Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm: A O AB nhỏ nhất OH lớn nhất H Ta lại có OH ≤ OP P B OH = OP H ≡ P h .2 Do đó maxOH = OP Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P. B. Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. 1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu. a-Kiến thức cần nhớ: A B A K a a H C b A C B H h.3 h.4 B h.5
4. 4 Chủ đề 7: Cực trị hình học a1) ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) AB ≤ BC . Dấu “=” xảy ra A ≡ C . ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH  a AH ≤ AB . Dấu “=” xảy ra B ≡ H . + AB < AC HB < HC a3) ( h.5 ) A,K a; B, H b; a // b ; HK  a HK ≤ AB Dấu “=” xảy ra A ≡ K và B ≡ H . b- Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong các hình bình hành có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó. Hướng dẫn giải B B C C H O A O≡H A D D h.6 h.7 Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6) Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Kẻ BH  AC . Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó : 2 SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm ) 2 SABCD = 24 cm BH ≡ BO H ≡ O BD AC 2 Vậy max SABCD = 24 cm . Khi đó hình bình hành ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm2.
5. 5 Chủ đề 7: Cực trị hình học Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất . Giải : A E K B HAE = EBF = FCG = GHD F HE = EF = FG = GH O H EFGH là hình thoi . D C A· HE B· EF G A· HE A· EH 900 B· EF A· EH 900 h.8 H· EF 900 EFGH là hình vuông Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH. HOE vuông cân : HE2 = 2OE2 HE = OE 2 Chu vi EFGH = 4HE = 4 2 OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất Kẻ OK AB OE ≥OK ( OK không đổi ) OE = OK E ≡ K Do đó min OE = OK Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của AB , BC, CD, DA.
6. 6 Chủ đề 7: Cực trị hình học Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a .Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm của M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. Xác định vị trí của các điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất . Tính diện tích tam giác đó. x y Hướng dẫn giải D Gọi K là giao điểm của CM và DB 1 2 MA = MB ; Aµ Bµ 900 , A· MC B· MK H MAC = MBK MC = MK C Mặt khác DM CK µ µ A B DCK cân D1 D2 M Kẻ MH  CD . K MHD = MBD MH = MB = a h.9 1 1 1 S = CD.MH ≥ AB.MH = 2a.a= a2 MCD 2 2 2 2 · 0 · 0 SMCD = a CD  Ax khi đó AMC = 45 ; BMD =45 . 2 Vậy min SMCD = a . Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BD =a . Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có Bµ là góc tù , điểm D di chuyển trên cạnh BC . Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AD có giá trị lớn nhất . Hướng dẫn giải A Gọi S là diện tích ABC Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có : E SABD + SACD = S C Kẻ BE AD , CF  AD H B D 1 1 h.10 F AD.BE + AD.CF = S 2 2 2S BE +CF = AD
7. 7 Chủ đề 7: Cực trị hình học Do đó BE + CF lớn nhất AD nhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất Do HD ≥ HB ( do A· BD >900 ) và HD = HB D ≡ B Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất . 2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc. a. Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có : AC CB AB AC CB AB C thuộc đoạn thẳng AB b. Các ví dụ: Ví dụ 5: Cho góc x· Oy và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất . Hướng dẫn giải m Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho y D y·Om x· OA . Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD = OA . Các điểm D và A cố định . C OD =OA, OC = OB ,C· OD B· OA A DOC = AOB CD = AB O B x Do đó AC +AB = AC +CD h.11 Mà AC +CD ≥ AD AC +AB ≥ AD Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C AD Vậy min(AC+AB) =AD . Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, B thuộc tia Ox sao cho OB = OC.
8. 8 Chủ đề 7: Cực trị hình học Ví dụ 6: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất. Hướng dẫn giải A F B I A F B I E K G E K G D M M C D H C h.12 H h.13 Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12). 1 AEF vuông tại A có AI là trung tuyến AI EF 2 1 CGH vuông tại C có CM là trung tuyến CM GH 2 1 IK là đường trung bình của EFG IK FG 2 1 KM là đường trung bình của EGH KM EH 2 Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi ) Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC A,I,K,M,C thẳng hàng. Khi đó ta có EH//AC,FG//AC, A· EI E· AI A· DB nên EF//DB , tương tự GH//DB . Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD (h.13).
9. 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học 3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. a. Kiến thức cần nhớ: C D C D C A H B D O A B O B O C B K A A D h.14 h.15 h.16 h.17 a1) Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. AB là đường kính, CD là dây bất kỳ CD ≤ AB (h.14) a2) Trong hai dây của đường tròn. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn Dây nào gần tâm hơn thì dâu đó lớn hơn OH, OK là các khoảng cách từ tâm đến dây AB và CD : AB ≥ CD OH ≤ OK (h.15) · · a3) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD AOB COD (h.16) » » a4) AB,CD là các cung nhỏ của (O) : AB ≥ CD AB CD (h.17) b. Các ví dụ: Ví dụ 7: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B, một cát tuyến chung bất kỳ CBD (B A nằm giữa C và D) cắt các đường tròn (O) và (O’) D tại C và D. Xác định vị trí của cát tuyến CBD để O O’ ACD có chu vi lớn nhất. n m Hướng dẫn giải C’ D’ B µ 1 ¼ µ 1 ¼ sđC = sđ AmB ; sđ D = sđ AnB C 2 2 h.18
10. 10 Chủ đề 7: Cực trị hình học số đo các góc ACD không đổi (do A, B cố định) ACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhất , chẳng hạn AC là lớn nhất. AC là dây của đường tròn (O), do đó AC lớn nhất khi AC là đường kính của đường tròn (O), khi đó AD là đường kính của đường tròn (O’). Cát tuyến CBD ở vị trí C’BD’ vuông góc với dây chung AB. Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn. Xác định dây AB đi qua P sao cho O· AB có giá trị lớn nhất . Hướng dẫn giải · Xét tam giác cân OAB , góc ở đáy OAB lớn nhất nếu B’ góc ở đỉnh A· OB nhỏ nhất . O ) 1 A B A· OB sđ A»B H P 2 Góc A· OB nhỏ nhất Cung A»B nhỏ nhất dây A’ h.19 AB nhỏ nhất Khoảng cách đến tâm OH lớn nhất. Ta có OH ≤ OP OH =OP H ≡ P nên max OH = OP AB  OP Suy ra dây AB phải xác định là dây A’B’ vuông góc với OP tại P . 4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai . a. Kiến thức cần nhớ: Các bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng : A2 ≥ 0 ; A2 ≤ 0 Do đó với m là hằng số , ta có : f =A2 + m ≥ m ; min f = m với A = 0 f = A2 + m ≤ m ; max f = m với A = 0