Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 8: Hình học không gian. Hình trụ-Hình nón-Hình cầu

Nội dung text: Chuyên đề Toán học Lớp 9 - Chủ đề 8: Hình học không gian. Hình trụ-Hình nón-Hình cầu

1. 1 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Chủ đề 8 HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU H. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Mục Lục H. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN..............................................................................................1 . HÌNH TRỤ ..........................................................................................................................2 . Lý thuyết..........................................................................................................................2 . Bài tập...............................................................................................................................2 . HÌNH NÓN.......................................................................................................................11 . Lý thuyết........................................................................................................................11 . Bài tập.............................................................................................................................12 . HÌNH CẦU........................................................................................................................20 . Lý thuyết........................................................................................................................20 . Bài tập.............................................................................................................................20 . BÀI TẬP TỔNG HỢP ....................................................................................................28
2. 2 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu . HÌNH TRỤ . Lý thuyết 1. Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABO 'O một vòng quanh cạnh OO' cố định ta được một hình trụ. - Hai đáy là hai hình tròn (O) và (O') bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song. - Đường thẳng OO' gọi là trục của hình trụ. - AB là một đường sinh. Đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ. 2. Cắt hình trụ Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với đáy thì mặt cắt là một hình tròn bằng hình tròn đáy. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật. 3. Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq 2 Rh ; 2 Stp 2 Rh 2 R hay Stp 2 R h R ( R là bán kính đáy; h là chiều cao). 4. Thể tích hình trụ V S.h R2h. . Bài tập Bài 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50cm 189cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50cm. Hãy tính: a) Diện tích tôn để làm hai đáy; b) Thể tích của hình trụ được tạo thành.
3. 3 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu Hướng dẫn giải a) Vì chiều cao của hình trụ là 50cm nên chu vi hình tròn đáy là C = 189cm. C 189 Ta có C 2 R R 30(cm) 2 2 Vậy bán kính hình tròn đáy là 30cm. Diện tích tôn để làm hai đáy là: S 2 R2 2. .302 1800 (cm2). b) Thể tích hình trụ là: V R2h .302.50 45000 (cm3). Nhận xét: Để trả lời hai câu hỏi của bài toán, ta cần biết bán kính của đường tròn đáy. Muốn vậy, phải xác định cạnh nào của tấm tôn cần giữ nguyên để làm chiều cao của hình trụ, cạnh nào phải cuộn lại. Từ công thức tìm chu vi của hình tròn suy ra cách tìm bán kính. Bài 2. Một hình trụ có chiều cao là 25cm và diện tích toàn phần là 1200 cm2. Tính thể tích của hình trụ đó. Hướng dẫn giải Gọi bán kính đáy hình trụ là R, chiều cao hình trụ là h. Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 1200 cm2 nên 2 R h R 1200 . Suy ra R 25 R 600 R2 25R – 600 0 . Phương trình có hai nghiệm: R1 15 (chọn); R2 – 40 (loại). Vậy bán kính đáy hình trụ là 15cm. Thể tích hình trụ là: V R2h .152.25 5625 (cm3) Nhận xét: Ta đã biết chiều cao nên muốn tính thể tích hình trụ chỉ cần tìm bán kính đáy. Do đó ta tìm bán kính đáy từ công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ.
4. 4 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu Bài 3. Một hình trụ với ABCD là một mặt cắt song song với trục. Diện tích mặt cắt là 96cm2, AB = 8cm. Biết tâm O cách AB là 3cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. Hướng dẫn giải Mặt cắt ABCD là một hình chữ nhật. Diện tích mặt cắt là 96cm2 nên AB.AD = 96cm2. 96 96 Suy ra AD 12(cm) AB 8 Vậy chiều cao của hình trụ là 12cm. Trong mặt phẳng đáy, vẽ OH  AB. Ta có HA = HB = 8 : 2 = 4 (cm). Xét AOH vuông tại H có OA2 OH 2 AH 2 32 42 25 . Suy ra OA = 5cm. Vậy bán kính đáy là 5cm. 2 Diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq 2 Rh 2. .5.12 120 (cm ). Thể tích của hình trụ là: V R2h .52.12 300 (cm3). Nhận xét: Để xác định đúng chiều cao và bán kính đáy của hình trụ trong ví dụ này, ta dựa vào mặt cắt ABCD. Từ số đo diện tích là 96cm2 và AB = 8cm, ta tìm ra chiều cao. Từ khoảng cách OH = 3cm ta tìm được bán kính nhờ định lí Py-ta-go. Bài 4. Một hình trụ có diện tích toàn phần bằng 432 cm2 và chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy. Chứng minh rằng diện tích xung quanh bằng 10 lần diện tích đáy. Hướng dẫn giải Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h. Vì chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy và diện tích toàn phần bằng 432 cm2 nên ta có hệ phương trình h 5.R (1) 2 R(h R) 432 (2) Giải hệ này bằng phương pháp thế: Thế h 5R vào phương trình (2) ta được:
5. 5 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu 2 R 5R R 432 R2 = 36 R = 6. Giá trị R = 6 bị loại. R 6 Vậy h 30 2 Diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq 2 Rh 2. .6.30 360 (cm ). Diện tích đáy của hình trụ là: S R2 .62 36 (cm2). S 360 Ta thấy xq 10 (lần). S 36 Do đó diện tích xung quanh gấp 10 lần diện tích đáy. Bài 5. Cho hình trụ có bán kính đáy là 10cm và diện tích xung quanh là 420 cm2. Vẽ một đường sinh PQ cố định. Lấy điểm M trên đường tròn đáy, có chứa điểm Q. Xác định vị trí của điểm M để PM lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Hướng dẫn giải Gọi bán kính hình trụ là R và chiều cao hình trụ là h. S 420 Ta có: S 2 Rh suy ra h xq 21(cm) xq 2 R 2 10 Ta có PQ là đường sinh nên PQ = 21cm và PQ vuông góc với mặt phẳng đáy. Suy ra PQ  QM. Xét PQM vuông tại Q, ta có: PM2 = PQ2 + QM2 = 212 + QM2 = 441 + QM2. Do đó PM lớn nhất QM lớn nhất QM là đường kính QM = 20cm. Vậy max PM 441 400 841 29(cm) khi QM là đường kính của đường tròn đáy. Lưu ý: Trong hình trụ, đường sinh vuông góc với đáy nên vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy, do đó PQ  QM. Bài 6. Một hình trụ có thể tích là V (m3) và diện tích toàn phần là S (m2). Gọi R là bán V 1 kính đáy hình trụ và h là chiều cao của nó. Biết thương bằng (m), chứng minh S 2 1 1 rằng 1 h R
6. 6 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu Hướng dẫn giải V 1 Ta có V = R2h; S = 2 R(h + R). Theo đề bài ta có: S 2 R 2h 1 R h 1 1 Suy ra Rh = R + h 1 1 2 R(h R) 2 Rh h R 2 Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao. Cắt hình trụ này bằng một 5 mặt phẳng chứa trục ta được một mặt cắt có diện tích là 80cm2. Tính diện tích toàn phần của hình trụ. Hướng dẫn giải Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h. Mặt cắt chứa trục là một hình chữ nhật có một cạnh là 2R và cạnh kề là h. 2 R h (1) Theo các điều kiện trong đề bài ta có: 5 2R h 80 (2) 2 Thế R từ (1) vào (2) ta được: 2 hh 80 hay 4h2 = 400 h = 10. 5 Giá trị h = 10 bị loại. Vậy chiều cao của hình trụ là 10cm. 2 Bán kính đáy là R 10. 4(cm) 5 2 Diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp 2 R h R 2 .4 10 4 112 (cm ). 3 Bài 8: Một hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích của nó là 4 768 cm3. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. Hướng dẫn giải Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h. 3 3 Vì chiều cao bằng đường kính nên chiều cao bằng bán kính đáy. 4 2 3 Vậy h R 2
7. 7 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu 3 3 3 Ta có V R2h mà h R nên V R 2  R R3 2 2 2 3 Theo đề bài ta có: R3 786 R3 512 R 3 512 8 (cm). 2 3 Vậy h 8 12 (cm). 2 2 Do đó diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq 2 Rh 2 .8.12 192 (cm ). Bài 9: Một hộp bánh hình trụ có chiều cao nhỏ hơn bán kính đáy là 1,5cm. Biết thể tích của hộp là 850 cm3, tính diện tích vỏ hộp. Hướng dẫn giải * Tìm hướng giải Diện tích vỏ hộp chính là diện tích toàn phần của hình trụ. Tìm được bán kính đáy sẽ tìm được chiều cao do đó sẽ tìm được diện tích toàn phần. * Trình bày lời giải Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hộp bánh hình trụ. Ta có h R –1,5. Vì thể tích của hộp là 850 cm3 nên: R2h 850 . Suy ra R2(R – 1,5) = 850 R3 – 1,5R2 – 850 = 0 2R3 – 3R2 – 1700 = 0 2R3 – 20R2 + 17R2 – 170R + 170R – 1700 = 0 2R2(R – 10) + 17R(R – 10) + 170(R – 10) = 0 (R – 10)(2R2 + 17R + 170) = 0 R 10 0 (1) 2 2R 17R 170 0 (2) Phương trình (1) có nghiệm R = 10 (thoả mãn). Phương trình (2) vô nghiệm. Vậy bán kính đáy hộp là 10cm. Chiều cao của hộp là: 10 – 1,5 = 8,5 (cm). Diện tích vỏ hộp là: S 2 pR h R 2. .10 8,5 10 370 (cm2).
8. 8 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu Bài 10: Một hình trụ có diện tích toàn phần gấp hai lần diện tích xung quanh. Biết bán kính đáy hình trụ là 6cm. Tính thể tích hình trụ. Hướng dẫn giải Gọi bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ đó là h. Vì diện tích toàn phần bằng hai lần diện tích xung quanh nên 2 Rh 2 R2 4 Rh. Suy ra 2 R2 2 Rh R = h = 6cm. Thể tích của hình trụ là: V R2h .62.6 216 (cm3). Bài 11: Một chậu hình trụ cao 20cm. Diện tích đáy bằng nửa diện tích xung quanh. Trong chậu có nước cao đến 15cm. Hỏi phải thêm bao nhiêu nước vào chậu để nước vừa đầy chậu? Hướng dẫn giải Gọi R là bán kính đáy chậu và h là chiều cao của chậu. 1 Vì diện tích đáy bằng nửa diện tích xung quanh nên R 2 .2 Rh 2 R = h = 20cm. Thể tích của chậu là: V R2h .202.20 8000 (cm3). 2 3 Thể tích nước trong chậu là: V1 .20 .15 6000 (cm ). 3 Thể tích nước phải thêm vào chậu là: V2 V –V1 8000 – 6000 2000 (cm ). Bài 12:Một hình trụ có thể tích là 200cm 3. Giảm bán kính đáy đi hai lần và tăng chiều cao lên hai lần ta được một hình trụ mới. Tính thể tích của hình trụ này. Hướng dẫn giải Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h. 2 Thể tích của hình trụ này là: V1 R h. R Nếu giảm bán kính đáy đi hai lần và tăng chiều cao lên hai lần thì bán kính đáy là 2 và chiều cao là 2h . 2 2 R R h 200 3 Thể tích hình trụ về sau là: V2 (2h) 100 cm 2 2 2
9. 9 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu Bài 13: Một viên than tổ ong có dạng hình trụ, đường kính đáy là 114mm, chiều cao là 100mm. Viên than này có 19 lỗ “tổ ong” hình trụ có trục song song với trục của viên than, mỗi lỗ có đường kính 12mm. Tính thể tích nhiên liệu đã được nén của mỗi viên than (làm tròn đến cm3). Hướng dẫn giải Thể tích viên than (kể cả 19 lỗ) là: 2 2 3 3 V1 R1 h 57 .100 1020186 mm 1020 cm Thể tích 19 lỗ “tổ ong” là: 2 2 3 3 V2 19 R 2h 19. 6 .100 214776 mm 215 cm Thể tích nhiên liệu đã được nén của mỗi viên than là: 3 V = V1 – V2 = 1020 – 215 = 805 (cm ). Bài 14: Một cây gỗ hình trụ có đường kính đáy là 4dm và dài 5m. Từ cây gỗ này người ta xẻ thành một cây cột hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông lớn nhất. Tính thể tích phần gỗ bị loại bỏ đi. Hướng dẫn giải 2 2 3 Thể tích cây gỗ hình trụ là: V1 R h 3,14.2 .50 628 (dm ). Diện tích đáy hình vuông của hình lăng trụ đứng là: AC 2 42 S AB2 8 (dm2). 2 2 3 Thể tích hình lăng trụ đứng là: V2 = S.h = 8.50 = 400 (dm ). Hình 23.9 Thể tích phần gỗ bị loại bỏ đi là: 3 V = V1 – V2 = 628 – 400 = 228 (dm ). Bài 15: Hai mặt của một cổng vòm thành cổ có dạng hình chữ nhật, phía trên là một nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của cổng. Biết chiều rộng của cổng là 3,2m, chiều cao của cổng (phần hình chữ nhật) bằng 2,8m và chiều sâu của cổng bằng 3,0m. Tính thể tích phần không gian bên trong cổng (làm tròn đến phần mười m3). Hướng dẫn giải
10. 10 Chủ đề Hình học không gian Toán 9: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu Phần không gian bên trong cổng gồm một hình hộp chữ nhật và một nửa hình trụ. 3 Thể tích phần hình hộp chữ nhật là: V1 = 3,2 . 2,8 . 3,0 = 26,9 (m ). Thể tích phần nửa hình trụ là: 1 1 V R 2h 3,14.(1,6)2.3,0 12,1(m3). 2 2 2 Thể tích phần không gian bên trong cổng là: 3 V = V1 + V2 = 26,9 + 12,1 = 39,0 (m ). Bài 16: Một hình trụ có thể tích bằng 125 cm3. Biết diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ này. Hướng dẫn giải Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Vì diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy nên ta có: 2 Rh 2 R2 h R. Theo đề bài, thể tích hình trụ bằng 125 cm3 nên R2h 125 . Suy ra R3 = 125 (vì h = R). Do đó R3 = 125 R = 5cm. Vậy h = 5cm.