Đề cương ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chủ đề: Căn thức bậc hai, bậc ba - Năm học 2020-2021 - Nguyễn Thị Thanh Thủy

Nội dung text: Đề cương ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chủ đề: Căn thức bậc hai, bậc ba - Năm học 2020-2021 - Nguyễn Thị Thanh Thủy

1. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 ĐỀ CƯƠNG ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN NĂM HỌC 2020 - 2021 CHỦ ĐỀ: CĂN THỨC BẬC HAI, CĂN BẬC BA A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. I. CĂN BẬC HAI. 1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a. 2. Ký hiệu:  a > 0: a : Căn bậc hai của số a a : Căn bậc hai âm của số a  a = 0: 0 0 3. Chú ý: Với a 0: ( a )2 ( a )2 a 4. Căn bậc hai số học:  Với a 0: số a được gọi là căn bậc hai số học của a  Phép khi phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số a không âm. So sánh các căn bậc hai số học: Với a 0, b 0: a b a b II. CĂN THỨC BẬC HAI. 1. Định nghĩa. ✓ Nếu A là một biểu thức đại số thì A gọi là căn thức bậc hai của A. A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. ✓ A các định (có nghĩa) khi A 0  Chú ý: a) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức: A(x) là một đa thức A(x) luôn có nghĩa. A( x ) có nghĩa B(x) 0 B( x ) A( x ) có nghĩa A(x) 0 1 có nghĩa A(x) > 0 A( x ) b)Với M > 0, ta có: X 2 M 2 X M M X M X 2 M 2 X M X M hoặc X M 2. Hằng đẳng thức ( A )2 A 2 a khi a 0 ✓ Định lí: Với mọi số a, ta có: a a a khi a 0 ✓ Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có: 2 A khi A 0 A A A khi A 0 3.Các phép tính Khai phương một tích: A.B A. B (A 0,B 0) Nhân các căn bậc hai: A. B A.B (A 0,B 0) A A Khai phương một thương: (A 0, B 0) B B A A Chia hai căn bậc hai: (A 0, B 0) B B Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A2B A B Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 1 Trường THCS Trần Hưng Đạo
2. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 + Với A < 0 và B ≥ 0 thì A2B A B Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B A2B + Với A < 0 và B ≥ 0 thì A B A2B B. DẠNG BÀI TẬP Tổng quát I. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng Loại 4: Chứng minh đẳng thức số. II. DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC. Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng. III. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ Bài toán 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ hơn, Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước. Bài toán 3: Tìm a nguyên để biểu thức nguyên. Chi tiết I. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. A khi A 0 1. Phương pháp: A2 A A khi A 0 Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Dễ dàng đặt thừa số chung. 2. Ví dụ minh hoạ: Bài tập 1: Rút gọn M 45 245 80 Giải M 45 245 80 32.5 72.5 42.5 3 5 7 5 4 5 6 5 Bài tập 01. Rút gọn các biểu thức sau: A (2 3 5 27 4 12) : 3 Giải. A (2 3 5 27 4 12) : 3 (2 3 5.3 3 4.2 3) : 3 5 3 : 3 5 3. Hệ thống bài tập áp dụng Bài tập 01: Rút gọn biểu thức : A 5 8 50 2 18 Bài tập 02. Rút gọn các biểu thức sau: A (2 3 5 27 4 12) : 3 Bài tập 03. Rút gọn biểu thức : A 27 2 12 75 Bài tập 04. Rút gọn biểu thức: A= 12 27 48 Bài tập 05.. Rút gọn biểu thức: B 2 3 3 27 300 Bài tập 06 .Rút gọn các biểu thức sau: A (2 3 5 27 4 12) : 3 Bài tập 07. Rút gọn các biểu thức sau: A 125 4 45 3 20 80 Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 2 Trường THCS Trần Hưng Đạo
3. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 Bài tập 08. Rút gọn biểu thức: A 3 2 4 18 Bài tập 09. Rút gọn các biểu thức sau: A 2 3 4 27 5 48 Bài tập 10. Rút gọn các biểu thức sau : M (3 50 5 18 3 8) 2 Bài tập 11. Rút gọn biểu thức sau 2 9 25 5 4 Bài tập 12. Tính 2 32 5 27 4 8 3 75 Bài tập 13. Rút gọn biểu thức: A 2 3.52 3. 3.22 3.32 Bài tập 14. Tính: A 2 5 3 45 500 Bài tập 15. Rút gọn các biểu thức sau : M (3 50 5 18 3 8) 2 Bài tập 16. Rút gọn các biểu thức sau: A 3 12 27 Bài tập 17. Rút gọn: B 20 45 2 5 Bài tập 18. Rút gọn biểu thức A 3( 27 4 3) Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” A khi A 0 1. Phương pháp: A2 A A khi A 0 Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Sử dụng các hằng đẳng thức: A2 2AB B2 A B 2 A2 2AB B2 A B 2 A2 B2 A B A B Với m, n > 0 thỏa mãn m + n = A và m . n = B ta có: A 2 B m n 2 m.n ( m n ) 2 2. Ví dụ minh hoạ: Bài tập 1. a) Rút gọn biểu thức sau: N 6 2 5 6 2 5 2 3 2 3 b) Rút gọn biểu thức: A 2 2 Giải a) N 6 2 5 6 2 5 5 2 5 1 5 2 5 1 ( 5 1)2 ( 5 1)2 | 5 1| | 5 1| 5 1 5 1 2 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 b)A 2 2 4 4 1 ( ( 3 1)2 ( 3 1)2 ) 2 1 1 (| 3 1| | 3 1|) ( 3 1 3 1) 1 2 2 3. Hệ thống bài tập áp dụng Bài tập 01. Rút gọn biểu thức sau : B (3 2 6) 6 3 3 Bài tập 02. Rút gọn biểu thức sau B ( 5 1) 6 2 5 1 Bài tập 03. Rút gọn các biểu thức: A 7 2 10 20 8 2 Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 3 Trường THCS Trần Hưng Đạo
4. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 Bài tập 04. Tính B (2 3)2 3 2 2 Bài tập 05: Rút gọn biểu thức : B 21 2 3 6 2 5 6 2 3 3 5 Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng 1. Phương pháp: A AB A A B Với A.B ≥ 0 và B 0 thì + Với B > 0 thì B B B B C C( A  B) Với A ≥ 0 và A B2 thì A B A B2 C C( A  B) Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A B thì A B A B 2. Ví dụ minh hoạ: Bài tập 01. (PP cơ bản: khai phương, rút gọn..) 1 1 3 4 1 Rút gọn biểu thức sau A= 2 200 : 2 2 2 5 8 Giải 1 1 3 4 1 1 2 3 4 1 A 2 200 : 2 102.2 : 2 2 2 2 5 8 2 2 2 5 8 1 3 2 2 8 2 .8 2 2 12 2 64 2 54 2 4 2 Bài tập 02. (PP quy đồng) 1 1 2 2 6 Rút gọn biểu thức A 3 1 3 1 2 Giải 3 1 3 1 2(2 3) 2 3 A 2 3 3 2 3 2 ( 3 1)( 3 1) 2 3 1 Bài tập 03. (PP đặt thừa số chung) 3 3 Rút gọn biểu thức : P ( 3 1) 2 3 Giải 3 3 3( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1 P ( 3 1) ( 3 1) 1 2 3 2 3 2 2 Bài tập 04. (PP liên hợp và đặt thừa số chung): 1 8 10 Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: A 2 1 2 5 Giải 1 8 10 2 1 2(2 5) A 2 1 2 1 2 1 2 5 1 2 5 Bài tập 05. (PP liên hợp và hằng đẳng thức trong căn): 2 3 2 3 Rút gọn biểu thức : A 7 4 3 7 4 3 Giải. Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 4 Trường THCS Trần Hưng Đạo
5. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 2 3 2 3 A 7 4 3 7 4 3 2 3 2 3 (2 3)2 (2 3)2 2 3 2 3 2 3 2 3 (2 3)2 (2 3)2 ( 3 2 2 3)(2 3 2 3) 8 3 3. Hệ thống bài tập áp dụng 5 Bài tập 01. Rút gọn biểu thức : P 2 5 5 2 1 1 Bài tập 02: Rút gọn biểu thức : B 3 7 3 7 1 1 Bài tập 03. Rút gọn biểu thức : P 5 2 5 2 1 1 Bài tập 04. Rút gọn biểu thức sau B 3 2 3 2 2 1 Bài tập 05. Tính: . 18 2 2 3 1 Bài tập 06. Rút gọn biểu thức A 7 4 3 2 3 Loại 4: Chứng minh đẳng thức số. 1. Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi để biến đổi VT hoặc VP để được đẳng thức bằng nhau. 2. Ví dụ minh hoạ: Bài tập 01: Chứng minh các đẳng thức sau: 2 a/ 2 2 3 2 1 2 2 2 6 9 b/ 2 3 2 3 6 4 4 c/ 2 2 8 2 5 2 5 Giải: a) Biến đổi vế trái ta có : 2 VT 2 2 3 2 1 2 2 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9 VP Vậy đẳng thức đã được chứng minh. b) Biến đổi vế trái ta có : 2 2 3 2 3 VT 2 3 2 3 2 2 2 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1 2 2 Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 5 Trường THCS Trần Hưng Đạo
6. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 6 VP 2 2 2 Vậy đẳng thức đã được chứng minh. 4 4 c/ 2 2 8 2 5 2 5 Biến đổi vế trái ta có : 4 4 22 22 VT 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 2 2 5 4 2 5 4 8 VP 5 4 Vậy đẳng thức đã được chứng minh. 3. Hệ thống bài tập áp dụng Bài tập 01: Chứng minh: a) (2 3) (2 3) 1 b) 9 17 . 9 17 8 c)( 2014 2013) .( 2014 2013) =1 d) 2 2( 3 2) (1 2 2)2 2 6 9 Bài tập 02: Chứng minh các số sau đây là số nguyên: 3 3 2 2 6 6 a)A 3 2 6 1 15 4 12 b) B 6 11 6 1 6 2 3 6 2 3 2 3 2 3 2 2 c) C 2 3 3 1 Bài tập 03: Chứng minh rằng: a)9 4 5 ( 5 2)2 b) 9 4 5 5 2 c)23 8 7 (4 7)2 d) 17 12 2 2 2 3 II. DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC. Lí thuyết: Cho x 0, y 0. Ta có các công thức biến đổi sau: 1. x ( x )2 ; x x ( x )3 2. x x x( x 1) 3. x y y x xy( x y ) 4. x y ( x y )( x y ) 5. x 2 xy y ( x y )2 6. x x y y ( x )3 ( y )3 ( x y )( x  xy y ) Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức 1. Ví dụ minh hoạ. Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 6 Trường THCS Trần Hưng Đạo
7. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 1 a a 1 a Bài 1: Rút gọn biểu thức: P ( a).( )2 (với a 0;a 1) 1 a 1 a Giải: Với a 0 a 1 ta có: 1 a a 1 a P ( a).( )2 1 a 1 a 2 (1 a)(1 a a2 ) 1 a a 1 a (1 a)(1 a) 1 (1 a)2. 1 (1 a)2 2. Hệ thống bài tập áp dụng. (a b)2 (a b)2 Bài tập 01. Rút gọn biểu thức M với ab ≠ 0 ab Bài tập 02. Rút gọn biểu thức B x 1 2 x 2 1 x 2 với 2 ≤ x < 3 2 x x 1 x 2 Bài tập 03. Rút gọn biểu thức: A ( ) : (1 ) với x ≥ 0, x ≠ 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 Bài tập 04: Cho biểu thức A (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A. x 1 x 1 Bài tập 05. Rút gọn biểu thức: D (1 x)2 . x 1 2 x - 1 2 x x 1 x Bài tập 06: Rút gọn biểu thức Q ( )( ) ( với x>0;x 1) x 1 x 1 x 1 x x . Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: 1. Ví dụ minh hoạ: 1 1 Bài 1. Rút gọn biểu thức : B 1 x 1 x Giải (1 x) (1 x) 2x B (1 x)(1 x) 1 x2 2. Hệ thống bài tập áp dụng. 4 2 x 5 Bài tập 01. Rút gọn biểu thức: B với x ≥ 0, x ≠ 1 x 1 1 x x 1 x 2 x 1 Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: B với x 0 và x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 Bài tập 03. Cho biểu thức G = .Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G. x 1 x 1 2 x 2 x Bài tập 04. Cho biểu thức: P điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P x 1 x 1 Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 7 Trường THCS Trần Hưng Đạo
8. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 x 2 x 4 Bài tập 05. Rút gọn biểu thức A ( ) : với x 0 và x 4 x 2 x 2 x 2 1 1 x 2 Bài tập 06. Rút gọn biểu thức B ( ) với x > 0 và x ≠ 4.. x 2 x 2 x 1 1 a 1 Bài tập 07. Rút ngắn biểu thức: P ( ) : a 1 a 1 a 1 Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng. 1.Ví dụ minh hoạ: x 2 2x 2 Bài 1.Rút gọn biểu thức P với x > 0, x 2 2 x x 2 x 2 Giải: Với điều kiện đã cho thì x 2 2( x 2) x 2 P 1 2x( 2 x) ( x 2)( x 2) 2 x x 2 2. Hệ thống bài tập áp dụng x y y x 1 Bài tập 01. Chứng minh rằng: : x y ; với x>0;y 0 và x y xy x y a b b a a b Bài tập 02. Rút gọn biểu thức: B ab a b a a a 5 a Bài tập 03. Rút gọn biểu thức A 3 3 với a ≥ 0, a ≠ 25 a 1 a 5 III. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ Sau khi rút gọn bài toán chứa căn xong chúng ta thường gặp các ý phụ. Các bài toán ý phụ của bài toán chứa căn gồm: Bài toán 1: Tìm ẩn để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước. (lớn hơn, nhỏ hơn, bằng một giá trị cho trước) 1.Phương pháp: Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình hoặc bất phương trình. Sau đó ta đi giải phương trình hoặc bất phương trình đó. 2. Ví dụ minh họa. Bài 1. Cho hai biểu thức: x x x 1 A = 9 4 5 5 và B = (x 0, x 1) x x 1 a. Rút gọn biểu thức A và B. b. Tìm giá trị của x để 3A + B = 0. Ta có: A = 9 4 5 5 ( 5 2) 2 5 5 2 5 5 2 5 2 (vì 5 2 0 ) x x x 1 x.( x 1) ( x 1).( x 1) B = x x 1 x x 1 x 1 x 1 2 x b. Với x 0, x 1 ta có B = 2 x ; A = -2 Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 8 Trường THCS Trần Hưng Đạo
9. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 Khi đó : 3A + B = 0 6 2 x 0 2 x 6 x 3 x 9( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy với x = 9 thì 3A + B = 0 Bài 2 a) Rút gọn các biểu thức sau A = 2 3 6 2 x 1 1 x B = (với x > 0) x x x b) Tìm giá trị của x để B < 0 x 1 1 x x 1 x 1 1 x x x B = x x x x x 1 x x 1 x 1 = x 1 x 1 Với x > 0 ta có B = x 1 x 1 0 Khi đó : B 0) x 1 0 x 0 Vậy với 0 < x< 1 thì B < 0 3. Hệ thống bài tập áp dụng 2 x x 1 x 1 Bài 1: Cho hai biểu thức A 50 3 8 2 1 và B (Đk: x 0; x 1) x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A,B. b) Tìm các giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng giá trị biểu thức B Bài 2 2 Cho hai biểu thức A = 2 20 80 4 2 3 3 1 x x x x B = 1 1 , với 0 ≤ x ≠ 1 1 x 1 x a) Rút gọn A; B b) Tìm giá trị của x để A = 4 B 2 x x 1 3 11 x Cho biểu thức A = ( x 0, x 9 ) x 3 x 3 9 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A < 1. 5 5 Bài 3.Cho hai biểu thức A = - 6 2 5 5 1 1 1 x và B = : , với x > 0, x 1 x - x x 1 x - 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức A và B b) Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức B nhỏ hơn giá trị của biểu thức Bài 4 Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 9 Trường THCS Trần Hưng Đạo
10. Giáo án ôn thi vào lớp 10 Năm học 2020 - 2021 2 3 3 1 1 1 2 Cho hai biểu thức A = 1 3 và B (1 ).( ) 1 3 x x 1 x 1 x 1 ( với x 1 x 0) a)Rút gọn biểu thức A và B ; b)Tìm các giá trị của x để A và B là hai biểu thức đối nhau 5 5 Bài 5.Cho hai biểu thức A = - 6 2 5 5 1 1 1 x và B = : , với x > 0, x 1 x - x x 1 x - 2 x 1 a.Rút gọn biểu thức A và B b.Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức B nhỏ hơn giá trị của biểu thức A. 2 x x 1 3 11 x Bài 6.Cho biểu thức A = ( x 0, x 9 ) x 3 x 3 9 x 1.) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm x để A < 1. Bài 7 x 2 x 1 2 x 1 Cho hai biểu thức A và B = (x>0) x x x x a) Rút gọn biểu thức B. A 3 b)Tìm giá trị của x để . B 2 Bài toán 2. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước. 1. Phương pháp Thay vào biểu thức rút gọn. 2.Ví dụ minh họa. Cho biểu thức : 1.Rút gọn biểu thức A = 5 2 3 32 200 : 8 x 1 1 4 1 2.Cho biểu thức B = : với x ≥ 0, x ≠ 4. x 2 x 2 4 x x 2 a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị của B khi x = 9 4 5 x 1 1 4 1 B= : ( x 0; x 4) x 2 x 2 4 x x 2 x 1 . x 2 x 2 4 1 = : x 4 x 4 x 4 x 2 x 3 x 2 x 2 4 1 = : x 4 x 2 2 x 2 =  x 2 = x 2 x 2 . x 2 Thay x = 9 4 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức B ta được: Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ 10 Trường THCS Trần Hưng Đạo