Đề thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 23/02/2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, trong 02 trang Họ và tên thí sinh:...............................................Số báo danh:....................................... Họ và tên, chữ ký: Cán bộ coi thi thứ nhất:.................................................................... Cán bộ coi thi thứ hai:...................................................................... Câu 1 (5,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: a 2 2 a 2 a 7 3 a 2 1 1 P . : 3 3 a 2 11 a a 3 a 2 2 a 2 2. Cho phương trình: x2 (2m 1)x m 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số). a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất 16(x1x2 x1 x2 ) của biểu thức A 2 2 . 16(x1 x2 ) 32x1x2 9 Câu 2 (4,0 điểm) 1. Giải phương trình sau: 2x2 12 13 x3 2x2 3 x2 y2 10 2. Giải hệ phương trình sau: 2 2 x 2xy 3y 2x 10y 4 0 Câu 3 (3,0 điểm) 1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 2022. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q . a 2 b 2 c 2 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n, biết tập hợp tất cả các ước nguyên dương của n 1 d d d ... d n (k 9) 1 2 3 k là d1; d2; d3;...;dk thỏa mãn d7 10d5 1 16d d n 7 9 Câu 4 (6,0 điểm) 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh 2a. Gọi F là trung điểm của AD, E là điểm thuộc đoạn FD. Đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G. Tính độ dài đoạn DE theo a, biết 1 tỉ số diện tích của tam giác EFG và diện tích hình vuông ABCD bằng . 84
2. 2. Cho tam giác ABC là tam giác nhọn, không cân, AB AC, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đường thẳng PO cắt đường thẳng AM tại D, đường thẳng NO cắt đường thẳng AM tại E, đường thẳng BD cắt đường thẳng CE tại F. a) Chứng minh bốn điểm B, C, O, F cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh tam giác FEO đồng dạng với tam giác NEM. c) Chứng minh rằng O· PF O· NF . Câu 5 (2,0 điểm) Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7 x 7 (gồm 7 hàng và 7 cột ). Cho phép đặt các con rô bốt vào bảng sao cho mỗi ô vuông có không quá một con rô bốt. Hai con rô bốt trong bảng được gọi là phát hiện ra nhau nếu chúng cùng nằm trên một hàng hoặc cùng trên một cột. 1. Đặt 10 con rô bốt vào 4 hàng tùy ý trong 7 hàng sao cho: Một hàng có 1 con rô bốt, một hàng có 2 con rô bốt, một hàng có 3 con rô bốt và một hàng có 4 con rô bốt. Chứng minh rằng luôn chọn được 4 con rô bốt ( trong 10 con đã đặt vào bảng) đôi một không phát hiện ra nhau. 2. Chứng minh rằng khi đặt 22 con rô bốt vào bảng thì luôn chọn được 4 con rô bốt đôi một không phát hiện ra nhau. ------HẾT------