Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 14/03/2018 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang Câu 1 (4,0 điểm): a 1 a a 1 a 2 a a a 1 Cho biểu thức: M với a 0; a 1 a a a a a a a) Rút gọn biểu thức M. b) Chứng minh M 4. 9 c) Tìm các giá trị của a để biểu thức N có giá trị nguyên. M Câu 2 (5,0 điểm): a) Giải phương trình: x2 4x 3 2x2 8x 1 x3 4x2 4x 4 x2 y 4x b) Giải hệ phương trình: 4 2 2 x y 2x y y 4 c) Cho phương trình: x2 2x m 3 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm các giá trị của m x1 x2 1 để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn 2 2 . x1 2x2 x2 2x1 2 Câu 3 (3,0 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 xy y2 x2y2 b) Tìm các số tự nhiên n sao cho n2 12n 1975 là số chính phương. Câu 4 (6,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AK, BD, CI của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là một điểm thay đổi trên cung nhỏ BC của (O), M khác B và C . Gọi N, P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC . a) Chứng minh AO vuông góc với ID . b) Chứng minh các tứ giác AHCP và AHBN là các tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng. d) Tìm vị trí của điểm M để đoạn thẳng NP có độ dài lớn nhất. Câu 5 (2,0 điểm): 1 a) Chứng minh x4 1 (x2 4) với mọi số thực x. 17 9 b) Cho a; b là các số thực thỏa mãn (a 1)(b 1) 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a 4 1 b4 1 ------HẾT----- Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:.......................................... Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:................................................................................................ Giám thị 2:................................................................................................