Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 14/02/2023 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh:................................... Họ và tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất:.................................................................................. Giám thị thứ hai:.................................................................................... Câu 1. (5,0 điểm) a a 1 1 a 1. Với a 0 và a 1, rút gọn biểu thức P . a a 2 a 1 a 2 a 2. Cho phương trình m 1 x3 3m 1 x2 x 4m 1 0 (với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. 2023 2023 2022 2 3. Cho đa thức P x x 2 a2023x a2022 x ... a2 x a1x a0. Tính giá trị 2 2 của biểu thức Q a0 a2 a4 ... a2020 a2022 a1 a3 a5 ... a2021 a2023 . Câu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình 2x2 3x 2 2x 1 2x2 x 3. 2 2 2xy x y 1 2. Giải hệ phương trình x y 2 2x 3y x y x Câu 3. (3,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa mãn x2 y 1 y2 x 1 1. 2. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu ab bc ca thức P . ab 3c bc 3a ca 3b Câu 4. (6,0 điểm) Cho 3 điểm phân biệt cố định A, B,C cùng nằm trên đường thẳng d (điểm B nằm giữa A và C ), gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường tròn tâm O luôn đi qua hai điểm B và C (điểm O không thuộc d ). Kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn tâm O ( M , N là các tiếp điểm). Đường thẳng MN cắt OA tại điểm H và cắt BC tại điểm K. 1. Chứng minh tứ giác OMNI nội tiếp và AH.OA AN 2. 2. Khi đường tròn tâm O thay đổi, chứng minh MN luôn đi qua điểm K cố định. 3. Tia AO cắt đường tròn tâm O tại hai điểm P,Q (điểm P nằm giữa A và O ). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng HQ. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD và cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. Câu 5. (2,0 điểm) Cho một bảng ô vuông kích thước 10x10 gồm 100 ô vuông đơn vị (cạnh bằng 1). 1. Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một trong các số 1; 0; 1. Xét các tổng của tất cả các số đã điền trên mỗi hàng, mỗi cột và hai đường chéo của bảng đã cho. Hỏi các tổng đó có thể nhận bao nhiêu giá trị và chứng minh trong đó có hai tổng bằng nhau. 2. Điền vào mỗi ô vuông đơn vị một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô chung cạnh hoặc chung đỉnh là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh trong bảng đã cho tồn tại một số được điền ít nhất 17 lần. ----------HẾT----------