Đề thi HSG tỉnh Lớp 9 môn Toán học - Năm học 2008-2009 - Sở GD&ĐT Nghệ An

Nội dung text: Đề thi HSG tỉnh Lớp 9 môn Toán học - Năm học 2008-2009 - Sở GD&ĐT Nghệ An

1. Sở Gd&Đt Nghệ an kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 thcs năm học 2008 - 2009 Đề thi chính thức Môn thi: Toán - Bảng B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu 1 (4,5 điểm). a) Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 với k Z. Tỡm điều kiện của k để A chia hết cho 16. b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của phõn số mà tử số là một số cú ba chữ số, cũn mẫu số là tổng cỏc chữ số của tử số. Cõu 2 (5,5 điểm). a) Giải phương trỡnh: x2 x 2 1 16x 2 x2 y2 xy 9 b) Giải hệ phương trình: x y xy 3 Cõu 3 (3,0 điểm). Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 1 P x2 y2 z2 xy yz xz Cõu 4 (5,5 điểm). Cho đường trũn (O; R), hai đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. E là một điểm trờn cung nhỏ AD (E khụng trựng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N. a) Chứng minh rằng: AM.ED = 2 OM.EA OM ON b) Xỏc định vị trớ điểm E để tổng đạt giỏ trị nhỏ nhất. AM DN Cõu 5 (1,5 điểm). Cho tam giỏc ABC, lấy điểm C 1 thuộc cạnh AB, A 1 thuộc cạnh BC, B 1 thuộc cạnh CA. Biết rằng độ dài cỏc đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 khụng lớn hơn 1. 1 Chứng minh rằng: S (SABC là diện tớch tam giỏc ABC). ABC 3 - - - - - Hết - - - - - Họ và tên thí sinh:........................................................... Số báo danh: .......................................
2. Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS Năm học 2008 - 2009 hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Môn: toán - bảng B ---------------------------------------------- Câu Nội dung Điểm 1 4,5 a/ Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k Z Vì k Z ta xét các trường hợp: TH1: k chẵn A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 là một số lẻ 1,0 A không chia hết cho 2 A không chia hết cho 16 (loại) (1) 2,5 TH2: k lẻ, ta có: 1,0 A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn 0,5 A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5)  2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) và (2) với  k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 16 b/ Gọi tử số của phân số là abc (0 < a 9, 0 b 9, 0 c 9, a, b, c N) abc 90a 9c 90a 2,0 nên phân số đó có dạng P = 10 10 100 a b c a b c a suy ra Pmax = 100 khi b = c = 0, 0 < a 9, a N 2 5,5 a/ 1 Giải phương trình x2 - x - 2 1 16x 2 . ĐKXĐ: x 16 0,25 Khi đó phương trình x2 - x = 2( 1 16x 1) 1 Đặt: 1 16x 1 2y ( y ) 2,25 2 3,0 1 + 16x = 4y2 -4y + 1 4y 2 - 4y = 16x y2 - y = 4x (*) y2 y 4x Ta có: (x y)(x y 3) 0 2 x x 4y x y 1 1 x y 3 0 (loại vì x - và y ) 16 2 0,5 Với x = y thay vào (*) x2 - x = 4x
3. x2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0 x 5 (thoả mãn) x 0 (loại) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = 5 b/ x2 y2 xy 9 (x y)2 xy 9 Ta có : x y xy 3 (x y) xy 3 1,0 2 x y 3 (x + y) + (x + y) – 12 = 0 x y 4 Nếu x + y = 3 1,0 x 0 2,5 x + y = 3 x y 3 y 3 Hệ đã cho x + y + xy = 3 xy 0 x 3 y 0 Nếu x + y = -4 0,5 x y 4 Hệ đã cho (hệ vô nghiệm) xy 7 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0) 3 3,0 1 1 1 9 áp dụng bất đẳng thức: (với A, B, C > 0) A B C A B C 1,0 1 1 1 9 với x, y, z > 0 ta có: xy yz zx xy yz zx 1 9 P x2 y2 z2 xy yz zx 1 1 1 7 P ( ) 1,0 x2 y2 z2 xy yz zx xy yz zx xy yz zx 9 7 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx xy yz zx 9 7 9 21 = 2 2 2 30 1,0 (x y z) xy yz zx (x y z) (x y z) (Do 3(xy + yz + zx) (x + y + z)2 và x + y + z = 1) 1 Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi và x y z 3 1 Vậy Pmin = 30 x y z 3 4 C 5,5 M A 1 O B 1 N E D
4. a/ Xét COM và CED có: 0 1,0 Oˆ Eˆ 90  ˆ  C chung  COM S CED (g-g) CO OM (1) 3,0 CE ED Do AB, CD là 2 đường kính vuông 1,0 ˆ ˆ 0 góc với nhau E1 A1 45 ˆ ˆ 0 E1 A1 45  Xét AMC và EAC có:  ˆ C chung  S AC AM AMC EAC (g-g) CE AE mà AC 2 CO (do ACO vuông cân tại O) 1,0 AM 2 CO 2 OM (do (1)) AE CE ED AM.ED = 2 OM.AE (ĐPCM) b/ Tương tự câu a ta có: S BO ON 1,0 BON BEA BE EA S DN BD 2BO BND BDE DE BE BE DN 2 ON ON DN ON EA DE EA EA 2 DE DN 2 DE 2,5 OM ED Từ câu a ta có: AM.ED = 2 .OM.AE 0,5 AM 2 EA OM ON 1 . AM DN 2 OM ON OM ON 1 mà 2 . 2 2 1,0 AM DN AM DN 2 Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi: OM ON ED EA ED EA AM DN 2EA 2ED E là điểm chính giữa cung nhỏ AD OM ON Vậy giá trị nhỏ nhất của 2 AM DN
5. E là điểm chính giữa của cung nhỏ AD 5 1,5 A K H B1 C1 B C A1