Đề thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Đề 12 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Đề 12 (Có đáp án)

1. ĐỀ 12 1 5 Bài 1. Cho hàm số y x2 có đồ thị là P và hàm số y x 1 có đồ thị là d . 4 4 a) Vẽ P và d trên cùng mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm của P và d bằng phép tính. Bài 2. Cho phương trình: x2 m 1 x 2m 6 0. a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị m. b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m. c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 2 x1 1 x2 1 8. Bài 3. Có ba loại đồ uống được phục vụ tại một tiệc cưới. Cứ 2 người thì dùng một chai bia, 3 người dùng hết một chai nước hoa quả, 4 người dùng hết một chai rượu. Tổng số có tất cả 78 chai đồ uống đã được phục vụ. Hỏi có bao nhiêu vị khách tham gia bữa tiệc. Bài 4. Một máy bay cất cánh theo phương có góc nâng là 230 so với mặt đất. Hỏi muốn đạt độ cao 250m so với mặt đất thì máy bay phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét? (làm tròn đến mét). Bài 5. Một hỗn hợp dung dịch gồm nước và muối trong đó có 6% muối (về khối lượng). Hỏi phải thêm bao nhiêu kg nước vào 50kg dung dịch trên để có được một dung dịch mới có 3% muối. Bài 6. Một cửa hàng có hai loại quạt, giá tiền như nhau. Quạt màu xanh được giảm giá hai lần, mỗi lần giảm 10% so với giá đang bán. Quạt màu đỏ được giảm giá 20%. Hỏi sau khi giảm giá như trên thì loại quạt nào rẻ hơn? Bài 7. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 140 (m). Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng 5 của khu vườn là . Để thuận tiện cho việc 2 chăm sóc, thu hoạch và đi lại trong khu vườn, người ta làm một lối đi xung quanh khu vườn dọc theo chiều rộng x (cm) và dọc theo chiều dài y (cm). Biết rằng x 2y và diện tích phần còn lại sau khi đã làm lối đi 828 m2 (như hình vẽ). Tính tỉ số k giữa chu vi của phần đất còn lại và chu vi ban đầu của khu vườn này. Bài 8. Từ điểm A nằm ngoài O , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B,C là hai tiếp điểm), gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp và OA  BC. b) Kẻ đường kính BK của O , AK cắt O tại E. Chứng minh AB2 AE.AK và tứ giác OHEK nội tiếp. c) Chứng minh: CE  HE và O· KH O· AE. d) Tia BK và tia AC cắt nhau tại F, kẻ CI  BK I BK , AK và CI cắt nhau tại M. Gọi N là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm F,M , N thẳng hàng. Trang 1
2. ĐỀ 12 LỜI GIẢI CHI TIẾT 1 5 Bài 1. Cho hàm số y x2 có đồ thị là P và hàm số y x 1 có đồ thị là d . 4 4 a) Vẽ P và d trên cùng mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm của P và d bằng phép tính. Lời giải a) Vẽ P và d trên cùng mặt phẳng tọa độ. x 4 2 0 2 4 x 0 4 x2 5 y 4 1 0 1 4 y x 1 1 4 4 4 b) Tìm tọa độ giao điểm của P và d bằng phép tính. Phương trình hoành độ giao điểm của P và d : 2 x 5 2 x 1 x 1 x 5x 4 0 . 4 4 x 4 1 Với x 1, y . Với x 4, y 4. 4 1 Như vậy P cắt d tại hai điểm có tọa độ như sau: 1; , 4; 4 . 4 Bài 2. Cho phương trình: x2 m 1 x 2m 6 0. a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị m. b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m. c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 2 x1 1 x2 1 8. Trang 2
3. Lời giải a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị m. Phương trình x2 m 1 x 2m 6 0 có các hệ số a 1, b m 1 , c 2m 6. 2 2 2 2 Biệt thức b 4ac m 1 4.1. 2m 6 m 10m 25 m 5 0 m ¡ . Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m. Vì phương trình luôn có nghiệm với mọi m (chứng minh ở câu a) nên theo hệ thức Vi-et ta có b x x m 1 1 2 a (giả sử các nghiệm là x1; x2 ): . c x x 2m 6 1 2 a c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 2 x1 1 x2 1 8. Trước hết, từ câu a và câu b, ta nhận thấy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 b x x m 1 1 2 a thỏa hệ thức Viet . c x x 2m 6 1 2 a 2 2 2 2 Theo đề bài x1 1 x2 1 8 x1 x2 2 x1 x2 6 0 2 2 x1 x2 2x1x2 2 x1 x2 6 0 hay m 1 2 2m 6 2 m 1 6 0 m 4 7 m2 8m 9 0 . m 4 7 Vậy m 4 7 hay m 4 7 là những giá trị cần tìm. Bài 3. Có ba loại đồ uống được phục vụ tại một tiệc cưới. Cứ 2 người thì dùng một chai bia, 3 người dùng hết một chai nước hoa quả, 4 người dùng hết một chai rượu. Tổng số có tất cả 78 chai đồ uống đã được phục vụ. Hỏi có bao nhiêu vị khách tham gia bữa tiệc. Lời giải Gọi x là số vị khách tham gia bữa tiệc (điều kiện x 0 ). Theo đề bài, cứ 2 người thì dùng một chai bia, 3 người dùng hết một chai nước hoa quả, 4 người dùng hết một chai rượu. Như vậy, x • Số chai bia đã dùng: (chai). 2 x • Số chai nước hoa quả đã dùng: (chai). 3 x • Số chai rượu đã dùng: (chai). 4 Tổng số chai đồ uống đã dùng là 78. Do đó ta có phương trình sau: x x x 1 1 1 78 x 78 x 72 (nhận). 2 3 4 2 3 4 Vậy số vị khách đã tham gia bữa tiệc là 72 người. Trang 3
4. Bài 4. Một máy bay cất cánh theo phương có góc nâng là 230 so với mặt đất. Hỏi muốn đạt độ cao 250m so với mặt đất thì máy bay phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét? (làm tròn đến mét). Lời giải Gọi các điểm như hình vẽ: A : Vị trí bắt đầu cất cánh. C : Vị trí máy bay ở độ cao 250m so với mặt đất. B : Hình chiếu vuông góc của C trên mặt đất. B· AC : góc nâng 260. Tam giác ABC vuông tại B nên: BC AC.sin BAC BC 250 AC 570 (m). sin BAC sin 260 Vậy để máy bay đạt độ cao 250 mét thì nó phải bay một đoạn dài 570 mét. Bài 5. Một hỗn hợp dung dịch gồm nước và muối trong đó có 6% muối (về khối lượng). Hỏi phải thêm bao nhiêu kg nước vào 50kg dung dịch trên để có được một dung dịch mới có 3% muối. Lời giải Cách 1: • Khối lượng muối trong dung dịch ban đầu (khi chưa thêm nước): 6%.50 3 (kg). • Khi pha loãng dung dịch, khối lượng chất tan (muối) không thay đổi. Vì vậy, khối lượng 3 dung dịch (khi đã thêm nước): 100 (kg). Nghĩa là khối lượng nước đã thêm vào là: 3% 100 50 50 (kg). Cách 2: Gọi x là khối lượng nước cần thêm vào ( x 0, đơn vị: kg). Công thức tính nồng độ chất tan mct C%.mdd trong Hóa học C% 100% mct . mdd 100% 6.50 • Khối lượng muối trong dung dịch ban đầu (chưa thêm nước): m 3 (kg). ct 100 3. 50 x • Khối lượng muối trong dung dịch sau (đã thêm nước): m 1,5 0,03x (kg). ct 100 • Khi pha loãng dung dịch, khối lượng chất tan (muối) không thay đổi nên ta có phương trình 3 1,5 0,03x x 50 (kg). Bài 6. Một cửa hàng có hai loại quạt, giá tiền như nhau. Quạt màu xanh được giảm giá hai lần, mỗi lần giảm 10% so với giá đang bán. Quạt màu đỏ được giảm giá 20%. Hỏi sau khi giảm giá như trên thì loại quạt nào rẻ hơn? Lời giải Giả sử giá tiền của hai loại quạt như nhau, đều là x (điều kiện x 0 ). Xét quạt màu xanh, quạt này được giảm giá hai lần, mỗi lần giảm 10% so với giá đang bán. • Giá tiền của quạt màu xanh sau lần giảm giá thứ nhất: x 10%x 0,9x. • Giá tiền của quạt màu xanh sau lần giảm giá thứ hai: 0,9x 10%.0,9x 0,81x. Xét quạt màu đỏ, quạt này được giảm 20% nên giá của nó sau khi giảm là: x 20%x 0,8x. Dễ thấy 0,8 0,81 0,8x 0,81x (do x 0). Vậy sau khi giảm giá thì quạt màu đỏ rẻ hơn. Trang 4
5. Bài 7. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 140 (m). Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng 5 của khu vườn là . Để thuận tiện cho việc 2 chăm sóc, thu hoạch và đi lại trong khu vườn, người ta làm một lối đi xung quanh khu vườn dọc theo chiều rộng x (cm) và dọc theo chiều dài y (cm). Biết rằng x 2y và diện tích phần còn lại sau khi đã làm lối đi 828 m2 (như hình vẽ). Tính tỉ số k giữa chu vi của phần đất còn lại và chu vi ban đầu của khu vườn này. Lời giải Gọi 5z, 2z z 0 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu. Chu vi hình chữ nhật là 140 (m) nên ta có phương trình 2 5z 2z 140 14z 140 z 10. Như vậy, hình chữ nhật ban đầu có kích thước: chiều dài là 50 (m), chiều rộng là 20 (m). Diện tích của phần đất còn lại sau khi làm lối đi 828 m2 , tức là: 2 x 43 50 2x 20 2y 828 50 2x 20 x 828 2x 90x 172 0 x 2 Ta chỉ nhận x 2 vì nếu x 43 thì 2x 86 50 (không thỏa). Hình nhữ nhật còn lại sau khi làm lối đi có kích thước: chiều dài là 50 2x 46 (m), chiều rộng là 20 2y 20 x 18 (m). Chu vi hình chữ nhật này là: 2 46 18 128 (m). 128 32 Vậy tỉ số k giữa chu vi phần đất còn lại và chu vi ban đầu của khu vườn là: k . 140 35 Bài 8. Từ điểm A nằm ngoài O , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B,C là hai tiếp điểm), gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp và OA  BC. b) Kẻ đường kính BK của O , AK cắt O tại E. Chứng minh AB2 AE.AK và tứ giác OHEK nội tiếp. c) Chứng minh: CE  HE và O· KH O· AE. d) Tia BK và tia AC cắt nhau tại F, kẻ CI  BK I BK , AK và CI cắt nhau tại M. Gọi N là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm F,M , N thẳng hàng. Lời giải Trang 5
6. a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp và OA  BC. • Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp: Xét tứ giác OBAC có O· BA O· CA 900 ( AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn O ). Do đó O· BA O· CA 1800. Như vậy tứ giác OBAC có tổng của hai góc đối bằng 1800 nên OBAC là tứ giác nội tiếp. • Chứng minh OA  BC. Ta có: AB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Ngoài ra, OB OC (cùng là bán kính đường tròn O ). Suy ra AO là đường trung trực của đoạn BC. Do đó AO  BC. b) Chứng minh AB2 AE.AK và tứ giác OHEK nội tiếp. • Chứng minh AB2 AE.AK : Tam giác ABK vuông tại B, có BE là đường cao ( B· EK 900 : chắn nửa đường tròn) nên AB2 AE.AK (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1) • Chứng minh tứ giác OHEK nội tiếp: Tam giác ABO vuông tại B, có BH là đường cao nên: AB2 AH.AO (Hệ thức lượng) (2) AE AH Từ 1 , 2 suy ra: AB2 AE.AK AH.AO . AO AK Xét tam giác AEH và tam giác AOK : AE AH AO AK AEH ∽ AOK ·AHE ·AKO (hai góc tương ứng) · · HAE KAO : goc chung Suy ra tứ giác OHEK nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong). c) Chứng minh: CE  HE và O· KH O· AE. • Chứng minh CE  HE : Theo kết quả câu b, tứ giác OHEK nội tiếp H· EK B· OH (góc ngoài bằng góc đối trong). Mặt khác, ta có B· OH C· BA (cùng phụ với B· AO ). Do đó H· EK C· BA. Hơn nữa, K· EC K· BC (góc nội tiếp cùng chắn cung K»C ) Từ đó, ta có: H· EC H· EK K· EC C· BA K· BC 900. Vậy CE  HE . Trang 6
7. • Chứng minh O· KH O· AE. Xét tứ giác nội tiếp OHEK có: O· HK O· EK (góc nội tiếp cùng chắn O»K ) Mà O· EK O· KE ( OEK cân tại O ) Suy ra O· HK O· KE. Suy ra OHK ∽ OKA (do có thêm góc chung K· OA) O· KH O· AE (Hai góc tương ứng). d) Chứng minh ba điểm F,M , N thẳng hàng. Ta sẽ chứng minh tứ giác CMHE nội tiếp để suy ra H· MC 900. Thật vậy, ta có: H· EM B· OH (tứ giác OHEK nội tiếp) và H· CM B· OH (cùng phụ với O· BH ) Do đó H· EM H· CM , suy ra tứ giác CMHE nội tiếp, khi đó H· MC 1800 H· EC 900 (góc H· EC 900 chứng minh ở câu b). Xét tam giác IBC có: HM và BI cùng vuông góc với IC nên HM P BI mà H là trung điểm của BC nên M là trung điểm của IC. Theo định lí Talet, do IC P AB (cùng vuông góc với BK ) nên ba điểm F,M , N thẳng hàng. Trang 7