Kế hoạch ôn tập học kỳ 2 Toán học Lớp 9

Nội dung text: Kế hoạch ôn tập học kỳ 2 Toán học Lớp 9

1. KẾ HOẠCH ƠN TẬP MƠN TỐN 9 HỌC KỲ II CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa – Định lý Ký hiệu tốn học Hình vẽ Hệ quả 1. Gĩc ở tâm: Trong một (O,R) cĩ: ·AOB ở tâm chắn ¼AmB đường trịn, số đo của gĩc ·AOB = sđ ¼AmB ở tâm bằng số đo cung bị chắn. (O,R) cĩ: B· AC nội tiếp chắn B»C 2. Gĩc nội tiếp: 1 B· AC = sđ B»C . * Định lý: Trong một 2 đường trịn, số đo của gĩc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. * Hệ quả: Trong một a) (O,R) cĩ: đường trịn: a) Các gĩc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng B· AC »  nhau. » n.t»iếp chắn BC BC EF E· DF n.tiếp chắn E»F  B· AC E· DF  b) (O,R) cĩ: b) Các gĩc nội tiếp cùng B· A C n . t iếp chắn B»C  chắn một cung hoặc chắn  B· AC B· DC (O,R)· cĩ: » các cung bằng nhau thì BDC n.tiếp chắn BC  bằng nhau. · » B A C n . t i e áp c h a én B C  E· DF n.tiếp chắn E»F  B· AC E· DF B»C E»F c) (O,R) cĩ:  B· AC n.tiếp chắn B»C  1 c) Gĩc nội tiếp (nhỏ hơn  B· AC B· OC · » hoặc bằng 900) cĩ số đo BOC ở tâm chắn BC 2
2. bằng nửa số đo của gĩc ở d) (O,R) cĩ: tâm cùng chắn một cung. B· AC nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BC B· AC = 900. d) Gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn là gĩc vuơng. (O,R) cĩ: B· Ax tạo bởi tia tiếp tuyến và dây 1 3. Gĩc tạo bởi tia tiếp cung chắn »AB B· Ax = sđ »AB . tuyến và dây cung: 2 * Định lý: Trong một đường trịn, số đo của gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và (O,R) cĩ: dây cung bằng nửa số đo B· Ax tạo bởi tt &dcchắnA»B   B· Ax A· CB của cung bị chắn. · » ACB nội tiếpchắn AB  * Hệ quả: Trong một đường trịn, gĩc tạo bởi (O,R) cĩ: tia tiếp tuyến và dây cung B· EC cĩ đỉnh bên trong đường trịn 1 và gĩc nội tiếp cùng chắn B· EC = (sđ B»C sđ A»D) một cung thì bằng nhau. 2 4. Gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn: (O,R) cĩ: * Định lý: Gĩc cĩ đỉnh ở B· EC cĩ đỉnh bên ngồi đường bên trong đường trịn trịn bằng nửa tổng số đo hai 1 B· EC = (sđ B»C sđ A»D) cung bị chắn. 2 5. Gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn: * Định lý: Gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. 6. Cung chứa gĩc: * Tập hợp các điểm cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới
3. một gĩc khơng đổi là a) A· DB ·AEB ·AFB cùng nhìn hai cung trịn chứa gĩc . đoạn AB A, B, D, E, F cùng thuộc một đường trịn. * Đặc biệt: a) Các điểm D, E, F cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ b) A· CB A· DB ·AEB ·AFB 900 AB, cùng nhìn đoạn AB cùng nhìn đoạn AB A, B, C, D, dưới một gĩc khơng đổi E, F thuộc một đường trịn đường Các đểm A, B, D, E, F kính AB. cùng thuộc một đường trịn. b) Các điểm C, D, E, F cùng nhìn đoạn AB dưới * Tứ giác ABCD cĩ A, B, C, D một gĩc vuơng Các đểm (O) A, B, C, D, E, F thuộc ABCD là tứ giác nội tiếp (O). đường trịn đường kính AB. * Tứ giác ABCD nội tiếp (O) µA Cµ 1 8 0 0 µ µ 0 7. Tứ giác nội tiếp: B D 1 8 0 * Định nghĩa: Một tứ giác * Tứ giác ABCD cĩ: cĩ bốn đỉnh nằm trên một µA Cµ 1800 ABCD là tứ giác dường trịn được gọi là tứ n.tiếp giác nội tiếp đường trịn. Hoặc: * Định lý: Trong một tứ µ µ 0 giác nội tiếp, tổng số đo B D 180 ABCD là tứ giác hai gĩc đối diện bằng n.tiếp 1800. C = 2 R = d * Định lý đảo: Nếu một tứ giác cĩ tổng số đo hai gĩc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đĩ nội tiếp được đường trịn. 8. Độ dài đường trịn, cung trịn: * Chu vi đường trịn:
4. Rn d 2 S  R2 1800 4 * Độ dài cung trịn: R2n .R S 360 2 9. Diện tích hình trịn, hình quạt trịn: * Diện tích hình trịn: Sviên phân = Squạt - SABC * Diện tích hình quạt trịn: 2 2 S (R1 R2 ) * Diện tích hình viên phân: Sxq 2 Rh Stp = Sxq + 2.Sđáy 2 Stp 2 Rh 2 R * Diện tích hình vành khăn: V S.h R2h HÌNH KHƠNG GIAN 1.Hình trụ: S: diện tích đáy; h: chiều cao * Diện tích xung quanh: S R.l * Diện tích tồn phần: xq Stp = Sxq + Sđáy * Thể tích: 2 Stp R R 2.Hình nĩn: * Diện tích xung quanh: 1 Vnĩn = Vtrụ 3 * Diện tích tồn phần:
5. 1 2 S: diện V R h tích 3 * Thể tích: đáy; h: chiều cao, 2 2 l: đường sinh l h R Sxq (R1 R2 )l Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ 2 2 Stp (R1 R2 )l (R1 R2 ) 2. Hình nĩn cụt: * Diện tích xung quanh: 1 V h(R2 R2 R R ) 3 1 2 1 2 * Diện tích tồn phần: S 4 R2 d 2 * Thể tích: 4 V R3 3 3. Hình cầu: * Diện tích mặt cầu: * Thể tích:
6. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R.. Các phân giác của các gĩc ·ABC , ·ACB lần lượt cắt đường trịn tại E, F. 1. CMR: OF  AB và OE  AC. 2. Gọi M là giao điểm của của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC. CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác này. HD: 1. CMR: OF  AB và OE  AC: + (O,R) cĩ: A· CF n.tiếp chắn »AF  A B· CF n.tiếp chắn B»F  »AF B»F OF  AB A· CF B· CF (CF làphân giác)  F + (O,R) cĩ: M N E · »  ABE n.tiếp chắn AE O C· AE n.tiếp chắnC»E  »AE C»E OE  AC I A· BE C· AE (BE làphân giác)  B C 2. CMR: Tứ giác AMON nội tiếp: OF  AB tại M O· MA 900  D  O· MA O· NA 1800 Tứ AMON nội tiếp. · 0 OE  AC tại N ONA 90  * Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AMON: 2 OA OA 2 R2 Tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính OA S . . . 2 4 4 Bài 2: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H. 1. CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp. 2. Khi BM = a . Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a. 4 A B HD: 1. CMR: Tứ giác AHND và MHNC nội tiếp: + ABM = BCN (c.g.c) B· AM C· BN x + C· BN A· BH A· BC 900 A· HB 900 (ĐL tổng 3 gĩc của AHB) H M AM  BN tại H ·AHN M· HN 900 . + Tứ giác AHND cĩ: ·AHN ·ADN 1800 AHND là tứ giác nội tiếp. · · 0 + Tứ giác MHNC cĩ: MHN MCN 180 MHNC là tứ giác nội Dtiếp. N C 2. Khi BM = a . Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a: 4 a a 3 a + Khi BM = CN = DN = . 4 4 4
7. 2 2 2 2 3a 5a + AND vuơng tại D AN AD DN a = . 4 4 2 AN 2 5a 25 a2 + Diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AHND: S :4 . 4 4 64 Bài 3: Cho ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O. Đường cao BH và CK lần lượt cắt (O) tại E và F. a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp. b) CMR: OA  EF và EF // HK. HD: a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp: + BH  AC B· HC = 900 nhìn đoạn BC H đường trịn đường kính BC (1). + CK  AB B· KC = 900 nhìn đoạn BC K đường trịn đường kính BC (2). + Từ (1) và (2) B, H, C, K đường trịn đường kính BC Tứ giác BKHC nội tiếp đường trịn đường kính BC. b) CMR: OA  EF và EF // HK: + Đường trịn đường kính BC cĩ: K· BH n.tiếp chắn H¼K   K· BH K· CH A· BE A· CF · ¼ KCH n.tiếp chắn HK + Đường trịn (O) cĩ: A· BE n.tiếp chắn »AE C· AE n.tiếp chắn »AF  »AE C»F AE AF (1) A· BE C· AF (cmt)  + Mặc khác: OE = OF = R (2) Từ (1) và ( 2) OA là đường trung trực của EF OA  EF . + Đường trịn đường kính BC cĩ: B· CK n.tiếp chắn B»K   B· CK B· HK B· CF B· HK (3) · » BHK n.tiếp chắn BK + Đường trịn (O) cĩ: B· CF n.tiếp chắn B»F   B· CF B· EF (4) · » BEF n.tiếp chắn BF  B· HK B· EF  Từ (3) và (4)  EF // HK . · · BHK và BEF đồng vị  Bài 4: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuơng gĩc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F. a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường trịn.
8. b) CMR: DE.HE = BE.CE. c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC. HD: a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng thuộc một đường trịn: + B· AD = 900 nhìn đoạn BD A đường trịn đường kính BD (1) + B· HD = 900 nhìn đoạn BD H đường trịn đường kính BD (2) + B· CD = 900 nhìn đoạn BD C đường trịn đường kính BD (3) Từ (1), (2) và (3) A, B, H, C, D đường trịn đường kính BD. A B b) CMR: DE.HE = BE.CE: H + DEC và BEH cĩ: E D· EC B· EH ( đối đỉnh)   DEC BEH (g.g) · · 0 DCE BHE 90  DE EC D C F DE.HE = BE.CE. BE EH c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC: BC a • Khi E là trung điểm của BC EB EC . 2 2 • DEC vuơng tại C DE EC2 CD2 A B 2 a 2 a 5 DE = a . 2 2 H BE.CE E • Từ: DE.HE = BE.CE (cmt) EH DE ? a a a 5 a 5 F EH . : . D C 2 2 2 10 a 5 a 5 3a 5 • DH = DE + EH = + = . 2 10 5 Bài 5: Cho hình vuơng cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K. 1. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh: KM  DB. 3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB. HD: 1. CMR: BHCD là tứ giác nội tiếp: + B· HD = 900 nhìn đoạn BD H đường trịn đường kính BD (1) A B + B· CD = 900 nhìn đoạn BD C đường trịn đường kính BD (2) Từ (1) và (2) B, H, C, D đường trịn đường kính BD. H 2. Chứng minh: KM  DB: M + BDK cĩ : D C K
9. DH  BK  BC  DK  M là trực tâm của BDK KM là đường cao thứ ba KM  DB DH cắt DK tại M 3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB: K· CB K· HD 900  + KCB và KHD cĩ:  KCB KHD (g.g) · BKD : chung  KC KH KC . KD = KH . KB (đpcm). KB KD