Ôn thi vào Lớp 10 môn Toán học - Chuyên đề 2: Thấu kính-Talet-Pitago-Hệ thức lượng

Nội dung text: Ôn thi vào Lớp 10 môn Toán học - Chuyên đề 2: Thấu kính-Talet-Pitago-Hệ thức lượng

1. CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ TS10 HỒ CHÍ MINH Chuyên đề 2: Thấu kính-Talet-Pitago-Hệ thức lượng Câu 1. Giữa hai tòa nhà (kho và phân xưởng) của một nhà máy người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất. Tìm độ dài AB của băng chuyền. B Lời giải Theo bài toán ta có hình vẽ sau: H A 8 Ta cần tính đoạn AB. Dựng AH vuông BC tại H. 4 Xét tam giác AHB vuông tại H: D 10 AH DC 10, HB BC –AD 8 4 4 C AB AH2 HB2 102 42 116 10.78m Câu 2. Một vật sáng AB đặt vuông góc với trục chính của một thấu kính 5 hội tụ, cho ảnh thật A’B’= AB. Biết khoảng cách AA’ = 49 cm. 2 Xác định vị trí của vật (OA), vị trí của ảnh (OA’) và tiêu cự của thấu kính? Lời giải 5 A' B ' 5 Theo giả thiết: AA' 49 AO OA' 49 và A'B' AB 2 AB 2 OA AB OA 2 2 OAB : OA' B '(g.g) OA OA' OA' A' B ' OA' 5 5 OA OA' 49 OA 14 Do đó ta có hệ phương trình: 2 OA OA' 0 OA' 35 5 Vậy OA = 14 cm và OA’ = 35 cm Câu 3. Vật sáng AB vuông góc với trục chính của thấu kính phân kì có tiêu cự 12 cm, biết OA = 15cm. a) Tính OA’? b) Nếu AB = 8cm. Tính A’B’? Lời giải Theo giả thiết: OF OF ' 12, OA 15 OA AB OA OI a) OAB : OA' B '(g.g) (vì AB = OA' A' B ' OA' A' B ' OI) F 'O OI F 'OI : F ' A' B '(g.g) F ' A' A' B ' F 'O OA OI ( vì cùng bằng ) F ' A' OA' A' B '
2. F 'O OA 12 15 20 OA' 6.7cm F 'O OA' OA' 12 OA' OA' 3 OA AB 15 8 32 b) Từ A' B ' 3.6cm OA' A' B ' 20 A' B ' 9 3 Câu 4. Một vật sáng AB đặt vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ có tiêu cự 14 B' cm. Biết AB cách thấu kính một khoảng 7 I B cm. F F' A a) Tính khoảng cách từ ảnh tới thấu kính? A' O b) Tính tỉ số chiều cao của ảnh và vật? Lời giải Theo giả thiết: OF OF ' 14, OA 7 OA AB OA OI c) OAB : OA' B '(g.g) (vì AB = OI) OA' A' B ' OA' A' B ' F 'O OI F 'O OA OI F 'OI : F ' A' B '(g.g) ( vì cùng bằng ) F ' A' A' B ' F ' A' OA' A' B ' F 'O OA 14 7 OA' 14cm F 'O OA' OA' 14 OA' OA' Vậy khoảng cách từ ảnh tới thấu kính bằng 14 cm OA AB 7 AB AB 1 A' B ' a) Từ 2 OA' A' B ' 14 A' B ' A' B ' 2 AB Vậy tỉ số chiều cao của ảnh và vật là 2. Dạng : Định lý Pytago – Định lý Thales – Hệ thức lượng Câu 5. Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây diều từ tay bạn tới diều là 100m và bạn đứng cách nơi diều thả diều theo phương thẳng đứng là 60m. Tính độ cao của con diều so với mặt đất, Biết tay bạn học sinh cách mặt đất 2m. Giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ. Áp dụng định lý Pytago cho ABC vuông tại C , ta có: BC 1002 602 6400 80 m . AC 2 BC 2 AB2 BC AB2 AC 2 Ta có: BC BC CD 80 2 82 m . Vậy độ cao của con diều so với mặt đất là: 82m. Câu 6. Một người có mắt cách mặt đất 1,5m, người đó đứng cách tòa nhà 20m nhìn thấy điểm A trên nóc tòa nhà. Hỏi khoảng cách từ mắt người đó đến điểm A là bao nhiêu m? Biết tòa nhà đó cao 16,5m. Giải:
3. Vẽ hình và đặt tên các điểm như hình vẽ. Ta có: BE 1,5m; AD 16,5m; DE 20m . Từ B kẻ BC  AD . CD BE 1,5m Ta có: BCDE là hình chữ nhật . BC ED 20m Mà: AD AC CD AC AD CD 16,5 1,5 20 m . Áp dụng định lý Pytago cho ABC vuông tại C , ta có: BC 2 AC 2 AB2 202 152 AB2 AB 625 25 m . Vậy khoảng cách từ mắt người đó đến điểm A là 25m. Câu 7. Cho chiều cao của cột đèn bằng đoạn thẳng CD; Chiều cao của bạn An bằng đoạn thẳng AB = 1,6m; Bạn An đứng cách cột đèn 6m và góc tạo bởi điểm cao nhất của cột đèn và điểm cao nhất của bạn An với phương ngang là D· AH 600 . Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Giải: HC AB 1,6m Vì AHCB là hình chữ nhật . AH BC 6m Xét ADH vuông tại H , ta có: DH DH tan DAH tan 600 DH tan 600.6 6 3 m . AH 6 Ta có: DC DH HC 6 3 1,6 ; 12 m . Vậy cột đèn cao khoảng 12m. Câu 8. Một cột cờ cao 8m. Ở một thời điểm vào ban ngày mặt trời chiếu tạo thành bóng dài 12m. Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là bao nhiêu độ? Giải: Đặt tên các điểm như hình vẽ. Xét ABC vuông tại A , ta có: BA 8 3 tan BCA B· CA ; 36,870 . AC 12 4 Vậy góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất khoảng 36,870 . Câu 9. Một tàu chở hàng xuất phát từ bến cảng A đi đến hòn B, rồi từ B tiếp tục di chuyển đến hòn đảo C, cuối cùng từ D C C di chuyển sang hòn đảo D để bỏ hàng. Biết đường nối B đảo B và cảng A dài 100km và hợp với bờ biển một góc 0 35 , đường thẳng nối đảo B và C dài 120km / h và song A song với bờ biển, đường thẳng nối đảo C với D dài 0 50km / h và hợp với bờ biển một góc 45 . Nếu đi thẳng từ A đến D mất bao nhiêu thời gian biết thuyền luôn di chuyển với vận tốc 25km / h .
4. Lời giải D 50 120 C 450 B H 100 35o A E F G Nhìn vào hình vẽ ta có AE AB.cosA 100.cos350 FG CH CD.cosC 50.cos450 EF BC 120 Suy ra : AG AE EF FG 100.cos350 120 50.cos450 237(km) Mặt khác : GH BE AB.sin350 100.sin350 DH DC.sin 450 50.sin 450 GD GH DH 100.sin350 50.sin 450 93 km Tam giác AGD vuông tại G AD2 GD2 AG2 2372 932 64818 AD 255 km 255 Thời gian đi thẳng từ A đến D : t 10,2 h 25 Vậy thời gian đi từ A đến D hết 10, 2 giờ Câu 20: Nếu một con thuyền vượt qua một khúc sông lúc nước chảy mạnh với vận tốc 0,9 km/h mất khoảng 12 phút, biết đường đi của con thuyền đó tạo với bờ một góc 20 0 thì chiều rộng khúc sông là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ thập phân thứ hai). Lời giải
5. C 200 A B Lời giải 5 Đổi 12 phút = giờ 12 5 Quãng đường thuyền đi được : .0,9 0,375 km 12 Tam giác ABC vuông tại B có BC AC.sin A 0,375.sin 200 0,13 km Vậy khúc sông rộng khoảng 0,13 km Câu 10. Trong một lần đi thực nghiệm đến nước Ý, nhóm ba học sinh du học gồm An, Bình, Toàn đã đến thăm tháp nghiêng nổi tiếng Pisa và bắt đầu cùng nhau khám phá chiều dài của tháp. Các bạn bắt đầu phân công công việc.Trước tiên, bạn An đứng ở chân tháp nhìn lên đỉnh tháp, rồi dùng dụng cụ đo để đo góc từ chỗ mình đứng đế một vị trí trên đỉnh tháp (chẳng hạn như cây cờ trên đỉnh tháp) so với mặt đất. Sau đó, bạn di chuyển sang một vị trí khác, rồi tiếp tục đo góc từ mình đến điểm lúc nãy. Kết quả lần đo đầu tiên là 86o lần đo thứ hai là 90o .Bạn Bình đo khoảng cách di chuyển của bạn An là 4 m . Công việc còn lại của bạn Toàn là ghi chép và tìm ra chiều dài, bạn hãy tính chiều dài của tháp giúp bạn Toàn (làm tròn đến mét). Lời giải H 86o A B Mô phỏng vị trí bạn An ở vị trí thứ nhất và vị trí thứ hai như hình vẽ. Ta có AB 4 m , µA 86o . Vậy chiều dài của tháp chính là độ dài HB . HB Xét tam giác ABH vuông tại B , ta có: tan µA HB AB.tan µA 4.tan86o 57,2 m . AB Vậy chiều dài của tháp là 57,2 m .
6. Câu 11. Muốn dựng cái thang đến một bức tường biết góc tại bởi cái thang và mặt đất là 50o thì đảm bảo sự an toàn khi bắt thang. Tính chiều dài của thang, biết khoảng cách từ chân tường đến chân thang là 3,2 m . Lời giải H 50o A B Mô phỏng vị trí đặt cái thang như hình vẽ. Ta có AB 3,2 m , µA 50o . Vậy chiều dài của thang chính là độ dài AH . AB AB 3,2 Xét tam giác ABH vuông tại B , ta có: cos µA AH 4,98 m . AH cos µA cos50o Vậy chiều dài của tháp là 4,98 m . Câu 12. Tại vị trí A cách chân C của cột ăngten vô tuyến truyền hình 75 m , một người công nhân cao 1,65 m ở vị trí B quan sát thấy đỉnh D của cột ăngten một gọc 42o so với đường nằm ngang mặt đát AC . Hãy tính chiều cao CD của cột ăngten. Lời giải D B E A C Gọi E là hình chiếu của B trên CD . Xét tam giác vuông BED ta có: DE BE.tan 75.tan 42o 67,53 m . Chiều cao của cột ăngten vô tuyến: CD 1,65 67,53 69,18 m
7. Câu 13.Ở độ cao 920 m , từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm của hai đầu cầu những góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là 37o ,  31o . Hỏi chiều dài của cây cầu là bao nhiêu? Lời giải A 37o 31o H B C Mô phỏng vị trí như hình vẽ. Ta có AH 920 m , Bµ 37o , Cµ 31o . Vậy chiều dài của cây cầu là độ dài BC . HA HA 920 Xét tam giác AHB vuông tại H , ta có: tan Bµ HB 1220,88 m . HB tan Bµ tan 37o HA HA 920 Xét tam giác AHC vuông tại H , ta có: tan Cµ HC 1531,14 m . HC tan Cµ tan 31o BC HC HB 1531,14 1220,88 310,26 m Vậy chiều dài của cây cầu là 310,26 m . Câu 14. Một người đang đứng trên chiếc trực thăng ở độ cao 1080m so với mặt đất dùng ống nhòm nhìn về 0 0 cùng 1 phía đến 2 đầu của 1 cây cầu với góc nghiêng lần lượt là 32 và 39 so với phương thẳng đứng. Tính chiều dài cây cầu. (làm tròn 2 chữ số thập phân) Lời giải: Độ dài tính từ hình chiếu của máy bay theo phương thẳng đứng đến vị trí gần máy bay nhất là : 0 d1 1080 tan 32 674.858900062 Độ dài tính từ hình chiếu của máy bay theo phương thẳng đứng đến vị trí xa máy bay nhất là : 0 d2 1080 tan 39 874.566755851 Vậy chiều dài cây cầu là: 874.57 674.86 199.71 Câu 15. Một cách tính khoảng cách giữa hai bờ sông: chọn hai vị trí A và B trên bờ sông và điểm C cố định ở bên kia sông. Từ vị trí A dùng giác kế đo góc trên mặt đất để đo góc CAB =30 độ, sau đó chuyển đến vị trí B tiếp tục đo góc CBA= 40 độ, giả sử AB= 50m. Khoảng cách từ C đến AB được coi như tương đương khoảng cách giữa hai bờ sông. Hãy tính khoảng cách giữa hai bờ sông (kết qủa làm tròn 1 chữ số thập phân ) Lời giải
8. SinA SinB SinC SinC SinB Sin110 Sin40 Áp dụng định lý hàm Sin ta có : a b c AB AC 50 AC 50Sin40 AC 3 AC 34.2 CH 29.62 Sin110 2 Câu 16. Trong một cơn mưa,một cây tre cao 4m bị gió lớn làm gãy gập xuống, ngọn chạm đất và tạo với mặt đất một góc 370. Hỏi khi ngọn cây chạm đất thì ngọn cách gốc bao nhiêu m ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) Lời giải: Gọi chiều dài từ mặt đất đến đoạn gẫy gập là a (a>0) Gọi chiều dài tự ngọn cây chạm đất đến gốc cây là b (b>0) Thì ta có hệ phương trình a b tan 370 4 b 2 a2 b2 a 4 1 tan2 37 tan 37 Câu 17. Một cây tre cao bị gió thổi làm gãy gập, ngọn cậy chạm đất cách gốc 3m. và ngọn cây chạm đất tạo với mặt đất một góc 320 Hỏi cây tre cao bao nhiêu m? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Lời giải: Gọi chiều dài tự ngọn cây chạm đất đến gốc cây là 3 m Gọi chiều dài từ mặt đất đến đoạn gẫy gập là 3tan 32 Chiều dài của cây tre là: 2 3tan 320 32 3 4.87 Câu 18. Một cây tre cao bị gió thổi làm gãy gập, ngọn cậy chạm đất cách gốc 3m. và ngọn cây chạm đất tạo với mặt đất một góc 320 Hỏi cây tre cao bao nhiêu m? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Hướng dẫn giải: Ta có hình vẽ sau C 320 B 3m A Khi đó độ dài cây tre là BC + CA Xét tam giác BAC vuông tại A, ta có: CA CA tan C· BA tan 320 CA 3.tan 320 1,88 (m) BA 3 Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A, ta có: 2 BC CA2 BA2 3tan 320 32 3,54 (m) Vậy độ dài cây tre là BC CA 3,54 1,88 5,42 (m) Câu 19. Tính chiều cao của một ngọn núi, biết rằng tại hai điểm cách nhau 600m trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 480 và 340. Hướng dẫn giải: Dựa vào đề bài ta có hình vẽ:
9. C 340 480 D 600 m B x A Khí đó chiều cao của ngọn núi là x: Xét ABC vuông tại A, ta có: AC AC tan C· BA tan 480 AC x tan 480 (1) AB x Xét ACD vuông tại A, ta có: AC AC tan C· DA tan 320 AC 600 x tan 320 (2) AD 600 x Từ (1) và (2) ta có x tan 480 600 x tan 320 x 771,8515 Vậy AC x tan 480 771,8515.tan 480 857,23 Chiều cao ngọn núi xấp xỉ 857,23 m. Câu 20. Một bức tượng cao 3m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 640 và 420. Tính chiều cao của cái bệ. Theo đề bài, ta có hình vẽ D 3m C 640 x 420 B A Khi đó chiều cao của cái bệ là AC Xét ABC vuông tại A, ta có: AC x x tan C· BA tan 420 AB (1) AB AB tan 420 Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có: AC 3 x 3 x tan D· BA tan 640 AB (2) AB AB tan 640 x 3 x Từ (1) và (2) ta có : x 2,35 tan 420 tan 640 Vậy chiều cao của cái bệ là 2,35m Câu 21. Cô quản lý thư viện muốn đặt một số bàn giữa các kệ sách A, B, C sao cho các bàn được đặt chính giữa hai kệ sách tại vị trí M, N. Biết khoảng cách của 2 kệ sách A và C là 6m. Tính khoảng cách giữa 2 dãy bàn M, N?
10. AB BC Vì M và N là trung điểm của AB và AC nên AM MB , BN NC 2 2 AB AC AC 6 Suy ra MN MB BN 3m 2 2 2 2 Vậy khoảng cách giữa hai dãy bàn M và N là 3m Câu 22. Người ta muốn làm một lối đi theo chiều dài và chiều rộng như hình vẽ. Biết khu vườn hình chữ nhật có chiều dài là 30m chiều rộng là 12m và diện tích lối đi là 80 m2.Tính chiều rộng x của lối đi A x B 12 m D C N M x Q 30 m P SABCD AB.AD 12 x x SMNPQ MN.MQ 30x Do diện tích lối đi là 80 m2 nên ta có 2 x 40(l) SABCD SMNPQ 80 12 x x 30x 80 x 42x 80 0 x 2(n) Vì chiều rộng của lối đi phải bé hơn 30 mét nên nhận x = 2 mét Câu 23. Khi thiết kế một cái thang gấp để đảm bảo an toàn người thợ đã làm thêm một thanh ngang để giữ cố định ở chính giữa hai bên thang (như hình vẽ bên) sao cho hai chân thang rộng một khoảng là 80 cm . Hỏi người thợ đã làm thanh ngang đó dài bao nhiêu cm ?