Sáng kiến kinh nghiệm: Cách giải phương trình vô tỉ trong trường THCS - Nguyễn Hiếu Thảo

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm: Cách giải phương trình vô tỉ trong trường THCS - Nguyễn Hiếu Thảo

1. Sáng kiến kinh nghiệm sáng kiến kinh nghiệm phương trình vô tỉ cách giải phương trình vô tỉ trong trường thcs phần thứ nhất đặt vấn đề. I - Cơ sở lí luận. Mục tiêu của giáo dục và đào tạo đã được nghị quyết TƯ2 khoá VIII xác định là: '' Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài''. Như vậy song song với việc nâng cao mặt bằng dân trí cho toàn dân , đào tạo nhân lực có tay nghề cao cho các ngành nghề thì việc '' phát hiện và bồi dưỡng nhân tài '' được Đảng và Nhà nước ta rất quan tâm. Như các bạn đã biết Toán học là một môn khoa học nói chung, nhưng lại giữ một vai trò rất chủ đạo trong các nhà trường cũng như đối với các ngành khoa học khác. Hiện nay đầu tư sâu cho bộ môn Toán là mục tiêu của nhiều ngành giáo dục của các nước trên thế giới cũng như ngành giáo dục của Việt Nam ta. Toán học như một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mà nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say, ham muốn khám phá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này. Các bậc phụ huynh cũng như các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ ước học giỏi bộ môn này, tuy nhiên để đạt được điều đó thật chẳng dễ dàng gì. Hiện nay, trong các nhà trường đặc biệt là nhà trường THCS, ngoài việc dạy kiến thức cơ bản cho HS thì việc dạy cách học, cách nghiên cứu và phát triển kiến thức cho các em rất được chú trọng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ môn Toán, bản thân mỗi người giáo viên phải tự mình tìm ra những phương pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán của các em, từ đó tìm ra được những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để có thể bồi dưỡng các em trở thành những học sinh giỏi, có ích cho xã hội. Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc nắm được các phương trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phương trình đó đối với những đối tượng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phương trình đó ở dạng khó hơn, phức tạp hơn đối với đối tượng học sinh khá - giỏi. Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm Với rất nhiều những chuyên đề được đề cập đến khi dạy đại số cấp THCS nói chung và phương trình đại số nói riêng, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu hơn về phương trình vô tỉ với các dạng của nó và các phương pháp giải, cho đối tượng là những HS có nhu cầu ham muốn được khám phá loại phương trình này một cách sâu hơn đối với đại trà các em học sinh chỉ giải các phương trình vô tỉ ở dạng đơn giản trong sách giáo khoa Toán 9. Sau đây tôi xin mạnh dạn trình bày những suy nghĩ cũng như những gì mà tôi tìm hiểu, tham khảo được về phương trình vô tỉ mong các bạn cùng thầy cô đóng góp ý kiến cho tôi. II - Cơ sở thực tiễn. Trong chương trình Toán THCS, các bài toán về phương trình vô tỉ được đề cập đến nhưng không nhiều, nhưng nó lại có rất nhiều dạng và có vai trò rất quan trọng. Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống một số kiến thức khác như : phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, ĐKXĐ của một số loại biểu thức...Nó nâng cao khả năng vận dụng, phát triển khả năng tư duy cho HS, ngoài ra nó còn là một trong những kiến thức được sử dụng thi đầu vào khối PTTH dưới dạng bài tập khó. Trên thực tế ,với kinh nghiệm bản thân trong quá trình giảng dạy tôi thấy HS thường mắc một số khuyết điểm sau khi giải phương trình vô tỉ: - Thiếu hoặc sai ĐKXĐ của phương trình (chủ yếu là ĐKXĐ của căn thức). - Chỉ giải được dạng phương trình đơn giản trong SGK. -Khi bình phương hai vế của phương trình để làm mất CBH thường các em không tìm ĐK để cả hai vế đều dương. - ở dạng phức tạp hơn thì các em chưa có điều kiện nghiên cứu nên kĩ năng giải rất hạn chế, các em thường không có cơ sở kiến thức để phát triển phương pháp giải. - Có rất ít tài liệu đề cập sâu về dạng phương trình này. - Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức về phương trình vô tỉ trong các tiết dạy là rất khó. Có nhiều tài liệu, chuyên đề viết về phương trình của khối THCS nhưng với phương trình vô tỉ cũng chưa nhiều. Để giúp các em HS nắm đúng, nắm chắc từng dạng và phương pháp giải từng dạng, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm ''phương trình vô tỉ và các cách giải'' áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em HS khi gặp dạng phương trình này và là cuốn tài liệu có thể dùng để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp. Với kinh nghiệm còn rất hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều, sáng kiến kinh nghiệm 2 Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu
3. Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến thật chân tình của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc để sáng kiến này có thể được áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩy chất lượng học tập của các em HS. iii - nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu về khái niệm của phương trình một ẩn, khái quát và cách giải phương trình đó. - Kỹ năng giải các phương trình: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình chứa hệ số ba chữ, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình tích, phương trình thương, phương trình bậc cao... - Kỹ năng giải các phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc 1, bậc 2, phương trình vô tỉ... - Làm các bài tập minh hoạ. - Một số phương pháp giải và các dạng bài tập thường gặp. iv - Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 9 trường THCS. - Học sinh thi học sinh giỏi của trường và của huyện. v- phương pháp nghiên cứu: - Tìm đọc các tài liệu tham khảo và nghiên cứu kĩ SGK -Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tượng học sinh: Khá, giỏi - trung bình - yếu, kém. - Đưa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện. - Tham khảo các trường bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm có nhiều kinh nghiệm. - Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh. -Dạy thực nghiệm một tiết trên 2 lớp 9 của trường. vi - Phạm vi nghiên cứu và thời gian nghiên cứu: - Giới thiệu nghiên cứu phương trình vô tỉ trong chương trình đại số lớp 9 (Trường THCS). - Làm trắc nghiệm trong 3 tháng học kỳ I. - Kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học. Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm vi - điều tra cơ bản: * Tổng số học sinh khối 9: - 78 học sinh/2 lớp 9 - đại trà. - 5 học sinh đội tuyển Toán giỏi trường chuẩn bị tham dự thi HSG huyện. * Phân loại: - Khá, giỏi: 20 học sinh. - Trung bình: 45 học sinh. - Yếu , Kém: 13 học sinh. * Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 78/78 học sinh có đủ. phần thứ hai giải quyết vấn đề i - Kiến thức cần sử dụng Để giải quyết tốt các vấn đề về phương trình vô tỉ thì HS cần nắm chắc một số kiến thức cơ bản sau: 1. + Khái niệm về phương trình, nghiệm của phương trình, ĐKXĐ của phương trình + Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai phương trình tương đương. + Cách giải các loại phương trình cơ bản như: Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình bậc hai một ẩn số... + Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức số. 2 . Học sinh nắm chắc: + Định nghĩa phương trình vô tỉ. + Các bài giải phương trình vô tỉ nói chung. + Các kiến thức cơ bản về căn thức. + Các phương pháp giải phương trình vô tỉ. + Các dạng phương trình vô tỉ, cách giải từng dạng. + Những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ. 4 Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu
5. Sáng kiến kinh nghiệm II - Một số khái niệm 1 - Khái niệm về phương trình một ẩn: a - Khái niệm: cho A(x), B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A(x) = B(x) gọi là phương trình một ẩn. Trong đó: + x được gọi là ẩn. + A(x), B(x) gọi là hai vế của phương trình. + Quá trình tìm x gọi là giải phương trình. + Giá trị tìm được của x gọi là nghiệm của phương trình. + : Tập hợp nghiệm của phương trình. + Tập xác định: Tập xác định của phương trình (thường viết tắt là TXĐ) b - Tập xác định của phương trình: Là tập những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa. c - Các khái niệm về hai phương trình tương đương: + Là hai phương trình có cùng một tập hợp nghiệm. Hoặc : Nghiệm của phương trình này cũng là nghiệm của phương trình kia và ngược lại. 2. Phương trình vô tỉ: a) Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn ở dưới dấu căn. Ví dụ: 1. x + 1 - 3 x + 2 = 4. 2. -3 x 2 1 -2x + 5 = 0 b) Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung): + Tìm tập xác định của phương trình. + Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình đã học. + Giải phương trình vừa tìm được. + So sánh kết quả với tập xác định và kết luận. 3. Các kiến thức cơ bản về căn thức + Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức chứa trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm. + Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phương trình đảm bảo nhận được phương trình tương đương. + A2 = A (với mọi biểu thức A) Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm iii - các dạng phương trình vô tỉ cơ bản và cách giải: 1 - Dạng 1 (x) = g (x) (1). Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ. Sơ đồ cách giải: (x) = g (x) g(x) 0 (2). f(x) = [g(x)]2 (3). Giải phương trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phương trình (1). Ví dụ 1: Giải phương trình: x 5 = x - 7 (1) Giải x 7 0(2) Phương trình (1)  2 (x 5) (x 7) (3) Giải phương trình (3) : x - 5 = x2 -14x + 49  x2 -15x + 54 = 0  (x - 6)(x - 9) = 0 => x = 6 hoặc x = 9 Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = 9 thoả mãn Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 9 Ví dụ 2: Giải phương trình: x 5 = 1 - x (1) Giải Phương trình (1)  1 - x 0  x 1 (2) x + 5 = (1 - x)2 x2 - 3x - 4 = 0 (3) Giải phương trình (3) : (x + 1)(x - 4) = 0 => x = -1 hoặc x = 4 Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = -1 thoả mãn Vậy x = -1 là nghiệm của phương trình (1). 2 - Dạng 2 (x)+ h(x)= g(x) (1). Sơ đồ cách giải. -Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình: f(x) 0 g(x) 0 (2). h(x) 0 Với điều kiện (2) hai vế của phương trình không âm nên ta bình phương hai vế, ta có: 1 f (x)g(x) =  g(x)2 - (x) - h(x)  (3) 2 Phương trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới:  g(x)2 - f(x) - h(x)  0 (4) Bình phương hai vế của phương trình (3) được phương trình mới đã biết cách giải. 6 Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu
7. Sáng kiến kinh nghiệm Đối chiếu nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận. Ví dụ 1: Giải phương trình: x 3 + 1 x = 2 (1) Giải Điều kiện có nghĩa: x + 3 0  x - 3  -3 x 1 (*) 1 - x 0 x 1 Với điều kiện (*) phương trình có hai vế không âm nên bình phương hai vế ta có: x + 3 + 1 - x + 2 x 3 . 1 x = 4 x 3 . 1 x = 0 => x = 1 hoặc x = -3 Cả 2 nghiệm đều thoả mãn ĐK (*) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là : x = -3 hoặc x = 1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x 3 = 5 - x 2 x 3 + x 2 = 5 (1) Giải Điều kiện : x + 3 0 x -3 x 2 (*) x- 2 0 x 2 Với điều kiện (*) bình phương cả hai vế của phương trình (1) ta có : 2x + 1 + 2 x 3 . x 2 = 25 2 x 3 . x 2 = 24 - 2x x 3 . x 2 = 12 - x (2) Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x 0 x 12 (**) Bình phương hai vế của (2) ta có: (x + 3)(x - 2) = (12 - x)2  x2 + x - 6 = 144 - 24x + x2 25 x = 150 x = 6 thoả mãn điều kiện (*) và (**) Vậy nghiệm của phương trình là x = 6. 3 - Dạng 3 (x) + h(x) = g(x) (1) Dạng 3 chỉ khác dạng 2 ở vế phải là g(x) nên cách giải tương tự như dạng 2. Ví dụ 1: Giải phương trình x 1 = 12 x + x 7 (1) Giải Điều kiện x + 1 0 12 - x 0 7 x 12 (*) x - 7 0 Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu 7
8. Sáng kiến kinh nghiệm Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai vế không âm nên ta bình phương hai vế, ta được : ( x 1 )2 = ( 12 x + x 7 )2 < x + 1 = 12 - x + x - 7 + 2. 12 x . x 7 2 12 x . x 7 = x - 4 (2) Với (*) thì hai vế của phương trình (2) không âm ta bình phương hai vế của (2) ta được: Phương trình (2) < 4 (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16 5x2 - 84x + 352 = 0 (3) Ta có : ' = 1764 - 1760 = 4 > 0 ' = 2 Phương trình (3) có hai nghiệm: x1 = 8,8 ; x2 = 8 đều thoả mãn ĐK (*) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x1 = 8,8 ; x2 = 8 Ví dụ 2 : Giải phương trình 5x 1 - 3x 2 = x 1 (1) Giải 1 Điều kiện: 5x - 1 0 x 5 2 3x - 2 0 x x 1 (*) 3 x - 1 0 x 1 Phương trình (1) có dạng : 5x 1 = 3x 2 + x 1 Với ĐK (*) bình phương 2 vế của phương trình (1) ta có : 5x - 1 = x - 1 + 3x - 2 + 2 3x 2 . x 1 x + 2 = 2. 3x 2 . x 1 Với x 1 cả hai vế của phương trình này không âm , bình phương 2 vế của phương trình ta được: (x + 2)2 = 4.(x - 1)(3x - 2)  x2 + 4x + 4 = 12x2 - 20x + 8 = 0 11x2 - 24x + 4 = 0 2 (x - 2)(11x - 2) = 0 x = 2 hoặc x = 11 Theo ĐK (*) thì phương trình chỉ có nghiệm x = 2 Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình 4 - Dạng 4: (x)+ h(x) = g(x)+ k(x) (1) Sơ đồ lời giải: Điều kiện: f(x) 0; h(x) 0, g(x) 0; k(x) 0 Bình phương hai vế ta có: f(x) + h(x) + 2 (x).h(x) = g(x) + k(x) + 2 g(x).k(x) 8 Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu
9. Sáng kiến kinh nghiệm F(x)- G(x) = H(x)phương trình trở về dạng 3 đến đây ta giải tương tự dạng 3. Ví dụ : Giải phương trình x 1 + x 10 = x 2 + x 5 (1) Giải Điều kiện: x + 1 0 x -1 x + 10 0 x -10 x -1 (*) x + 2 0 x -2 x + 5 0 x -5 Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta có : x + 1 + x +10 + 2. x 1 x 10 = x + 2 + x + 5 + 2 x 2 . x 5 2 + x 1 x 10 = x 2 . x 5 Với ĐK : x -1 cả hai vế của phương trình là không âm tiếp tục bình phương ta có : 4 + (x + 1)(x + 10) + 4 x 1 . x 10 = (x + 2)(x + 5) 4 + x2 + 11x + 10 + 4 x 1 . x 10 = x2 + 7x + 10 -x - 1 = x 1 . x 10 (2) Phương trình (2) có ĐK: x -1 (**) Từ (*) và (**) ta có x = -1 là nghiệm của phương trình 5 - Dạng 5 (x) + h(x) + n (x).h(x) = g(x) (1) Sơ đồ cách giải. Điều kiện: f(x); h(x) 0. Đặt t= (x) + h(x) (t 0) => t2 = f(x) +h(x) +2 (x) h(x)từ đó ta giải tiếp => (x) h(x) =( t2 - f(x) - h(x)):2 Ví dụ : Giải phương trình x 1 + 3 x - x 1 . 3 x = 2 (1) Giải Điều kiện : x + 1 0 3 - x 0 -1 x 3 (*) Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu 9
10. Sáng kiến kinh nghiệm Đặt t = x 1 + 3 x ( t > 0) , ta có : t2 = x + 1 + 3- x+ 2 x 1 . 3 x => 2 x 1 . 3 x = t2 - 4 (**). Khi đó phương trình (1) có dạng: 2t - ( t2 - 4 ) = 4 t2 -2t = 0 t .( t - 2) = 0 (2) Phương trình (2) có hai nghiệm là t1 = 0; t2 = 2. Nghiệm t = 2 thoả mãn ĐK : t > 0 Khi t = 2 theo (**), ta có : 2 x 1 . 3 x = 22 - 4 x 1 . 3 x = 0 = > x = -1 hoặc x = 3 Cả 2 nghiệm này đều thoả mãn ĐK (*) Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = 3 6.Dạng 6. x a 2 b 2a x b + x a 2 b 2a x b = cx + m (1) Cách giải Điều kiện: x - b 0 x b (*) Đặt: t = x b ( t 0) => t2 = x - b t2+ b = x Thay x vào phương trình dưới dấu căn ta có : t2 + a2 2at = (t a)2 Phương trình (1) có dạng : t a + t a = c.(t2+ b) + m (2) Giải phương trình (2) bằng cách xét 2 trường hợp : t a và 0 t a ta có 2 phương trình là : ct2- 2t + bc + m = 0 (3) Và : ct2- 2a + bc + m = 0 (4) ta được nghiệm t và đối chiếu với ĐK: t 0 để nhận nghiệm từ đó suy ra : x = t2+ b là nghiệm của phương trình (1) Ví dụ: Giải phương trình x 23 x 6. x 9 + x 6. x 9 = (1) 6 Giải ĐK: x - 9 0 x 9 (*) Đặt: t = x 9 => x = t2 + 9 .Khi đó phương trình (1) có dạng: 2 6.( (t 3) + (t 3) 2 ) = t2 + 9 +23 6.( t 3 + t 3 ) = t2+ 32 t2- 12t + 32 = 0 (t 3 ) (2) t2- 4 = 0 (0 t 3) (3) Giải phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là t = 8 hoặc t = 4 +Nếu t = 8 => x = 82 + 9 = 73 +Nếu t = 4 => x = 42 + 9 = 25 10 Nguyễn Hiếu Thảo - Trường THCS Thị trấn Mường Tè - Lai Châu