Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải toán bất đẳng thức - Nguyễn Hiếu Thảo

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải toán bất đẳng thức - Nguyễn Hiếu Thảo

1. SKKN PP giải toán bất đẳng thức Phần I: Đặt vấn đề. 1. Mục đích phạm vi Hệ thống cho học sinh một số vấn đề về lý thuyết. Phát huy khả năng suy luận, tư duy lôgíc, óc phán đoán, sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi giải các bài tập về bất đẳng thức trong chương trình Đại số lớp 8. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường phổ thông, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. 2. Lý do chọn đề tài. 2.1. Cơ sở lý luận: Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của người thày dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn Toán trong công việc đầy khó khăn này. Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phương pháp suy luận khoa học là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo, không dừng lại ở mỗi bài toán đã giải hãy tìm thêm các kết quả thu được sau mỗi bài toán tưởng chừng như đơn giản. Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng là điều kiện để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua việc áp dụng công thức để chứng minh các bài toán về bất đẳng thức. 2.2. Cơ sở thực tiễn Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các bất đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này đối với bài khác của bất đẳng thức này đến bất đẳng thức khác là một trong những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn Đại số ở trường THCS tôi nhận thấy các bài tập về phần bất đẳng thức đều mang đậm một nội dung phong phú và đa dạng. ở những bài tập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo, phát hiện để mang lại những kết quả đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc. Tuy nhiên để làm được điều đó thì đòi hỏi ở thày và trò một quá trình làm việc nghiêm túc mang tính sáng tạo. Việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh có thể diễn ra theo nhiều hướng, nhiều mức độ khác nhau, nâng cao dần sự tiếp thu của học sinh. Có thể là một trong những mức độ sau đây: 1. Với những giả thiết ban đầu, tìm ra kết luận mới cho bài toán. Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 1
2. SKKN PP giải toán bất đẳng thức 2. Thay đổi thêm bớt một số điều kiện để tìm ra kết luận mới cho có tính khái quát hơn. 3. Khai thác bài toán theo hai chiều "khi và chỉ khi". Dựa trên những lý luận về yêu cầu giải một bài toán và xuất phát từ thực tế giảng dạy trong nhà trường tôi đã cố gắng và tìm hiểu nghiên cứu để từ đó gợi ý hướng dẫn các em học sinh từng bước hình thành phương pháp suy nghĩ, khả năng thực hiện yêu cầu này trong các bài tập cụ thể. Trên cơ sở những ví dụ đã chọn tôi viết sáng kiến kinh nghiệm :"Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua giảng dạy phần chứng minh bất đẳng thức" áp dụng cho học sinh lớp 8. pHần 2. Nội dung - Biện pháp thực hiện A. Cơ sở lý thuyết. I- Những kiến thức cần nhớ: Trước hết để chứng minh được các bất đẳng thức toán học thì học sinh phải nắm được định nghĩa và các tính chất sau đây: 1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a b (hay dạng a b; a b; a b) là bất đẳng thức Nếu a b a - b 0; Nếu a b a - b 0; 2. Tính chất: - Nếu a b b a; - Nếu a b, c a + c b + c; - Nếu a b, c 0 ac bc; - Nếu a b, c 0 ac bc; 1 1 - Nếu a b và a, b 0 a b A(x) 2 0  A(x) dấu "=" A(x) = 0; - A(x) 2 0  A(x) dấu "=" A(x) = 0; Trên cơ sở định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức xây dựng đường lối tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. a) m là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu như hai điều kiện sau đồng thời xảy ra: 1. f(x) m  x (D) Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 2
3. SKKN PP giải toán bất đẳng thức 2.  x 0 (D) : f(xo) = m. Khi đó kí hiệu m = max f(x) b) m gọi là giá trị nhỏ nhất trên miền (D) của f(x) nếu như hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn: 1. f(x) m  x (D). 2.  x 0 (D) sao cho f(xo) = m. Khi đó kí hiệu m = min f(x) II. Một số bài toán minh hoạ Đầu tiên cho học sinh nắm biết được: A(x) 2 0  A(x) dấu "=" A(x) = 0; - A(x) 2 0  A(x) dấu "=" A(x) = 0; (a b)2 0 dấu "=" a = b; (ay - bx)2 0 dấu "=" ay = bx; Trên cơ sở các bất đẳng thức đó học sinh xây dựng các bất đẳng thức sau: */ Cách xây dựng: Từ : (a - b)2 0 a 2 + b2 - 2ab 0 a2 + b2 2ab (1) 1. Cộng hai vế của (1) với a2 + b2 ta được: 2(a2 + b2) (a + b)2 a2 + b2 a + b 2 ( ) 2 2 2. Cộng hai vế của (1)với 2ab ta được: a + b 2 (a + b)2 4ab ab ( ) 2 3. Cho a, b 0 từ (a + b)2 4ab 1 1 (a + b)2 4ab 1 1 1 + a b a +b Từ 2(a2 + b2) (a + b)2 (a + b)  2(a2 + b 2 ) (*) (*) là bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 3
4. SKKN PP giải toán bất đẳng thức với a, b 0; thì từ (a + b)2 4ab a + b  2ab Bất đẳng thức Cô-si Để vận dụng một số cách thành thạo các bất đẳng thức trên cho học sinh làm một số bài tập sau: Bài toán 1.1: Cho a, b 0; c 0; Chứng minh rằng: a + b a + c b + c A = + + 6 c b a Hướng dẫn: a b b c a c A = + + + + + c c a a b b a c b c a b A = ( + ) + ( + ) + ( + ) 6 c a c b b a (Lưu ý:a, b 0; c 0; ) a c b c a b + 2; + 2; + 2; c a c b b a Nâng dần mức độ bài toán 1. 1 thành bài 1.2. Bài toán 1.2: Cho a, b , c 0; Chứng minh rằng: (a + b)2 (a + c)2 (b + c)2 A = + + 4(a + b + c) c b a Hướng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Côsi (a + b)2 (a + b)2 + 4c 2 4c = 4 (a + b ) c c Tương tự: (a + c)2 + 4b 4 (a + c) b (b + c)2 + 4a 4 (b + c) a Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh. Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 4
5. SKKN PP giải toán bất đẳng thức Từ bài toán 1.2 bài toán 1.3 Bài toán 1.3: Cho a, b , c 0; Chứng minh rằng: (a + b) (a + c) (b + c) A = + + 4 c b a Hướng dẫn: (a + b) (a + b) = c c (a + b) với a, b , c 0 có c (a + b) (a + b + c) 2 1 2 dấu "=" c = a + b c (a + b ) a + b + c a + b 2 (a + b) dấu "=" c = a + b c (a + b ) a + b + c Tương tự: c + a c + a dấu "=" b = c + a b (c + b ) a + b + c b + c 2 dấu "=" a = b + c a (b + c ) a + b + c cộng vế của bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh. Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì: a, b , c 0; a + b + c 0; */ Ta có thể áp dụng bài toán 1.1 để giải bài toán sau đây: Bài toán 1.4: Cho a, b , c 0; Chứng minh rằng: (a + b) (a + c) (b + c) D = + + 3 2 c b a Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 5
6. SKKN PP giải toán bất đẳng thức Hướng dẫn: Ta có: (a + b) (a + c) (b + c) D2 = + + c b a (a+b) (b+c) (a + b)(b+c) (c+a)(b + c) + + + bc ac ab Theo kết quả bài toán 1.1 ta có: a + b a + c b + c + + 6 dấu "=" a = b = c c b a mặt khác ta lại có: (a + b)(c + a) a + bc (a + b)(b + c) b + ac (b + c)(a + c) c + ab a + bc b + ac c + ab D2 6 + 2 ( + + ) bc ac ab a b c D2 6 + 2 + 2 +2 + 2( + + ) bc ac ab a b c mà + + 3 bc ac ab D2 12 + 2 . 3 D2 18 D 3 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c; Khai thác bài toán này ta thấy: Cho a, b , c 0; thì : Min D = 3 2 khi và chỉ khi a = b = c với (a + b) (a + c) (b + c) D = + + c b a Ta có thể đưa bài toán sau về bài toán 1.1 Bài toán 1.5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh: Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 6
7. SKKN PP giải toán bất đẳng thức a b c E = + + 3 b+c-a a+c-b c+a-b Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa bài toán trên về dạng quen thuộc bài 1.1. Đặt: x = b + c - a 0; y = a + c - b 0; z = a + b - c 0; y + z x + z x + y + + 6 x y z Bài toán 1.1 2a 2b 2c + + 6 b+c-a a+c-b c+a-b a b c 2 ( + + ) 6 b+c-a a+c-b c+a-b 2E 6 E 3 Sử dụng kết quả của bài toán 1.1 để làm bài tập sau: Bài toán 1.6: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh: a b c H = + + 3 b+c-a a+c-b c+a-b Hướng dẫn: Đặt: x = b + c - a ; y = a + c - b ; z = a + b - c ; Vì a, b, c là các cạnh của tam giác nên x, y, z 0; và x + y + z = a + b + c y + z x + z x + y a = ; b = ; c = 2 2 2 2 y + z x + z x + y H = ( + + ) 3 2 x y z áp dụng bài toán 1.4 Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 7
8. SKKN PP giải toán bất đẳng thức y + z x + z x + y ( + + ) 3 2 x y z 2. H = 3 2 H 3 2 Bài toán 2.1: Chứng minh rằng: 1 1 4 + a b a + b Với a, b 0; Hướng dẫn: Xét hiệu: 1 1 4 b(a+b) + a(a+b) - 4ab a2+ b2 - 2ab H = ( + )- = = a b a + b ab(a+b) ab(a+b) (a-b)2 0 (dấu "=" xảy ra a = b) ab(a+b) 1 1 4 Vậy + (dấu "=" xảy ra a = b) a b a + b Sử dụng kết quả bài 2.1 để làm bài toán 2.2 Bài toán 2.2: 1 1 1 1 1 1 + + 2 ( + + ) p - a p - b p - c a b c Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó. Hướng dẫn: Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a, b, c 0; p - a 0; p - b 0; p - c 0; áp dụng kết qủa bài toán 2.1 ta có: 1 1 4 4 + = p - a p - b 2p - a- b c 1 1 4 4 + = p -b p - c 2p - b- c a 1 1 4 4 + = p - c p - a 2p - c- a b Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được: Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 8
9. SKKN PP giải toán bất đẳng thức 1 1 1 1 1 1 2 ( + + ) 4 ( + + ) p - a p - b p - c a b c Dấu "=" xảy ra a = b = c; Bài toán 3.1: Cho a, b 0; a + b = 2. 4 4 H = (1 - )( 1- ) a2 b2 Tìm min H? Hướng dẫn: Ta có: a2 - 4 b2 - 4 H = ( )( ) a2 b2 a2b2 - 4a2 - 4b2 + 16 H = a2b2 - 4 (a2 + b2) + 16 H = 1 + (*) a2b2 Do a + b = 2 a 2 + b 2 = 4 - 2ab thay vào (*) - 4 (4 - 2ab) + 16 H = 1 + a2b2 - 16 + 8ab - 16 H = 1 + a2b2 mà a, b 0 và a + b = 2 a + b ab ( )2 theo Cô-si 2 8 H = 1 + ab 1 ab 8 H = 1 + 8 8 ab 4 4 Vậy H = (1 - )( 1- ) 9 a2 b2 Min H = 9 Khai thác bài toán 3.1 ta đưa ra bài toán 3.2 Bài toán 3.2 : Nếu cho a, b 0 và a + b = 3 9 9 H' = (1 - )( 1- ) a2 b2 Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 9
10. SKKN PP giải toán bất đẳng thức Tìm Min H'? */ Bằng cách làm tương tự bài toán 3.1 học sinh cũng chứng minh được: H' 9. min H' = 9 Ta có bài toán tổng quát như sau: Nếu a, b 0 và a + b = R thì bài toán tổng quát có dạng:. 2 2 M = (1 - )( 1- ) a2 b2 Tìm Min M? */ Kết quả : Min M = 9; Phần 3. Kết quả Thông qua một số bài toán về chứng minh bài toán về chứng minh bất đẳng thức học học sinh hiểu biết về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và từ những bài toán đơn giản, cơ bản học sinh đã khái quát lên được những bài toán mang tính chất tổng hợp hơn. Như vậy ta đi từ bài tập mang tính chất cơ bản rồi dần nâng cao lên thì hầu hết học sinh đều nắm được cách làm và hiểu bài. Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng, cụ thể tôi đã khảo sát chất lượng thực chất lớp 8A : Với một đề toán: (Thời gian là: 60') 2 Câu 1:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức (a + b) 4 ab; Câu 2: (2 đ) Cho a 2; b 2; Chứng minh rằng: ab a + b Câu 3: (6 đ) Chứng minh các bất đẳng thức: a + b a. ( )2 ab a,b 0 2 a + b + c b. ( )3 abc a,b,c 0 3 a + b + c + d c. ( )4 abcd a,b,c,d 0 4 */ Kết quả đạt được: - Kiểm tra lớp 8 A - Tổng số học sinh: 33 h/s; Giáo viên: Nguyễn Hiếu Thảo 10