SKKN Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS

Nội dung text: SKKN Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS

1. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số (do Thường trực HĐ ghi): 1. Tên sáng kiến: Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn môn Toán THCS 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: Qua nhiều năm giảng dạy môn toán THCS, chúng tôi nhận thấy rằng hầu hết học sinh mỗi khi gặp bài toán liên quan đến luỹ thừa là tỏ vẻ e sợ, đặc biệt là luỹ thừa với số mũ lớn, số mũ tổng quát. Khi đó học sinh lớp 6, lớp 7 mới được tiếp xúc với toán luỹ thừa, trong sách giáo khoa yêu cầu ở mức độ vừa phải, nhẹ nhàng. Chính vì thế mà khi giáo viên chỉ cần thay đổi yêu cầu của đề bài là học sinh đã thấy khác lạ, khi nâng cao lên một chút là các em gặp khó khăn chồng chất: Làm bằng cách nào? làm như thế nào? chứ chưa cần trả lời các câu hỏi: làm thế nào nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: a. Mục đích của giải pháp: Để nâng cao và mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh THCS bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tòi, học hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, chúng tôi muốn trình bày một số ý kiến “Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS” nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo sự say mê cho các bạn yêu toán nói chung và toán luỹ thừa nói riêng. b. Nội dung giải pháp: b.1. Tính mới của giải pháp: Trong toán học, “Toán luỹ thừa’’ là một mảng kiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài toán về luỹ thừa không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với học sinh lớp 6, lớp 7, các em mới được làm quen với môn đại số và mới được tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi đại số, ít phương pháp, kĩ năng tính toán Để học tốt bộ môn toán nói chung và “Toán luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng là luôn biết rèn nếp suy 1
2. 2x = 6 2x = 0 x = 3 x = 0 Vậy x = 3 hoặc x = 0 . d ) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – 2 = -4 hoặc x – 2 = 4 x = -2 x = 6 Vậy x = -2 hoặc x = 6 Bài tập 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x5 Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết, số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy phải làm cách nào đây ? Nhiều học sinh sẽ “ tìm mò’’ được x = 0 hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao ? Giáo viên có thể gợi ý : x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 x 2 0 x 0 x 0 => => => 3 3 x 1 0 x 1 x 1 Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau : Bài tập 3 . Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Hướng dẫn : Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành : x10 = x20 x 0 x10 0 x 0 Giải tương tự bài 2 ở trên ta được : => => x 1 10 10 x 1 0 x 1 x 1 Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y. +) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 1 3 +) Với x = 1 ta có : 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 2 3 +) Với x = -1 ta có : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0 Vậy y = 1 ; y= 2 ; y=0 3 3 Bài tập 5 : Tìm x và y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*) 3
3. x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 2 3 3 4 2 4 2 Thật là một bài toán phức tạp! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp, bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài. 1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp: Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số. Bài tập 1: Tìm n N biết: a) 2008n = 1 c) 32-n. 16n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a a) 2008n = 1 => 2008n = 20080 => n = 0 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên: b) 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n. (1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 => n = 2 Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d, c) 32-n. 16n = 1024 (25)-n. (24)n = 1024 2-5n. 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 5. 3n-1 = 162 =>6. 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n – 1 = 3 5
4. 630 n = 31 Bây giờ, học sinh không những biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự ra các bài toán dạng tương tự. 1. Tìm các số nguyên n sao cho: a) 9 . 27n = 35 b) (23 : 4) . 2n = 4 c) 3-2. 34. 3n = 37 d) 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: a) 125.5 5n 5.25 b) (n54)2 = n c) 243 3n 9.27 d) 2n+3 2n =144 3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng : a) 2x+1. 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng : 411. 2511 2n. 5n 2012.512 Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa. 2.1 Tìm một chữ số tận cùng * Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau : +) Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó. +) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó. +) Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9 +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của các số : 2000 2008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 . Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án: 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0. 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1. 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5. 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6. Bài tập 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7
5. Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0. Giải: 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( 1 )6.17 = 1 .17 = 7 244 =(242)2 = 5762 = 6 1321 = (134)5.13 = ( 1 )5.13 = 1 . 13 = 3 Vậy M = 7 + 6 - 3 = 0 => M  10 Đến đây, sau khi làm bài 2, bài 3, giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát sau: Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng: a. A = 24n – 5 (n N, n ≥ 1) b. B = 24n + 2+ 1 (n N) c. C = 74n – 1 (n N) Hướng dẫn: a) Có : 24n = (24)n = 16 có chữ số tận cùng bằng 6 => 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1 b) B = 24n + 2+ 1 (n N) Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4 => B = 24n + 2+ 1 có chữ số tận cùng là 5 c) C = 74n – 1 Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1 Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0. Bài 6: Chứng tỏ rằng, các số có dạng: n a) A = 22 1 chia hết cho 5 (n N, n ≥ 2) n b) B = 24 4 chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1) n c) H = 92 3 chia hết cho 2 (n N, n ≥ 1) Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng n như bài 5, nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 22 , n n 24 , 92 , học sinh không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: n n n a 2 22n , 24 24n , 92 92n Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau: a) Với n N, n ≥ 2, ta có : n 2 n 2 2n 2 n 2 22 = 22 .2 24 162 có chữ số tận cùng là 6 n => A = 22 1 có chữ số tận cùng là 5 9
6. Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát: Bài tập 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 512k; 512k+1 (k N*) 99 b) 992n; 992n+1;9999 ; (n N*) 66 c) 65n; 65n+1;666 ; (n N*) Gợi ý: a) 512k = (512)k = ( 01 )k 512k+1 = 51. (512)k = 51. ( 01 )k b) 992n = (992)n = ( 01 )n 992n+1 = 99. (992)n = 99. ( 01 )n 99 99 9999 , ta có 9999 là một số lẻ => 9999 có dạng 992n+1 (Với n N, n > 1) 99 => 9999 = 99.(992)n = 99 . ( 01 )n (Với n N, n > 1 c) 65n = ( 65)n = ( 76 )n 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( 76 )n 66 66 666 , ta có 6666 là một số có tận cùng là 6 => 666 có dạng 65n+1 (n N, n > 1) 66 => 666 = 6 . ( 76 )n 2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên. *Phương pháp: Chú ý một số điểm sau. +) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó. +) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625. Bài tập 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước. 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 Vậy : 52000 có ba chữ số tận cùng là 625. có bốn chữ số tận cùng là 0625. Bài tập 2: Tìm ba chữ số tận cùng của: a) 23n . 47n (n N*) b) 23n+3 . 47n+2 (n N) 11
7. * Phương pháp: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh) +) Lưu ý một số tính chất sau : Với a, b, m, n N , ta có: a > b a n > bn  n N* m > n  am > an (a > 1) a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n 0) Với A, B là các biểu thức ta có: An > Bn  A > B > 0 Am > An => m > n và A > 1 m 2300 < 3200 b) Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 13