Toán học Lớp 9 - Quỹ tích. Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích

Nội dung text: Toán học Lớp 9 - Quỹ tích. Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích

1. Toán lớp 9: QUỸ TÍCH PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH I). Định nghĩa: Một hình H được gọi là tập hợp điểm ( Quỹ tích) của những điểm M thỏa mãn tính chất A khi và chỉ khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất A . II). Phương pháp giải toán: Để tìm một tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo các bước sau: Bước 1: Tìm cách giải: + Xác định các yếu tố cố định, không đổi, các tính chất hình học có liên quan đến bài toán + Xác định các điều kiện của điểm M + Dự đoán tập hợp điểm. Bước 2: Trình bày lời giải: A. Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H B. Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M để chứng minh điểm M chỉ thuộc một phần B của hình H ( Nếu có) C. Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc B . Ta chứng minh điểm M thoả mãn các tính chất A D. Kết luận: Tập hợp các điểm M là hình B . (Nêu rõ hình dạng và cách dựng hình B ) III). MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS
2. I). TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A, B cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng AB Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox . B là điểm chuyển động trên tia Oy , Tìm tập hợp trung điểm M của AB a) Phần thuận: y + Xét tam giác vuông OAB ta có : B z OM MA MB nên M tam giác OAM cân tại M . Mặt khác OA cố định O x suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn M1 A thẳng OA . b) Giới hạn: + Khi B trùng với O thì M  M1 là trung điểm OA + Khi B chạy xa vô tận trên tia OB thì M chạy xa vô tận trên tia M1z c) Phần đảo . Lấy M bất kỳ thuộc tia M1z , AM cắt Oy tại B . Suy ra MO MA M· AO M· OA. Mặt khác O· BM B· OM (cùng phụ với góc M· AO M· OA ) MO MB . Suy ra MO MA MB . Hay M là trung điểm của AB . d) Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực của đoạn OA .
3. II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy khác góc bẹt và cách đều hai cạnh của góc xOy là tia phân giác của góc xOy . y z M O x Ví dụ 1) Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A cố định . B là điểm chuyển động trên tia Oy . Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C . Giải: y z a) Phần thuận: B Dựng CH,CK lần lượt vuông góc với Ox,Oy K C thì vCAH vCBK CH CK . C1 A H x Mặt khác góc xOy cố định O suy ra C tia phân giác Oz của góc xOy b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh. c) Kết luận:Tập hợp điểm C là tia phân giác Oz của góc xOy III). TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
4. Ta thường gặp các dạng tập hợp cơ bản như sau: 1. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cố định A, B là đường thẳng AB 2. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua điểm cố định A tạo với đường thẳng (d) một góc không đổi 3. Tập hợp các điểm M cách đường thẳng (d) cho trước một đoạn không đổi h là các đường thẳng song song với (d) và cách đường thẳng (d) một khoảng bằng h Ví dụ 1: Cho tam giác ABC .Tìm tập hợp các điểm M sao cho S MAB a 0 cho trước. SMAC Hướng dẫn: A Phần thuận: M Gọi D là giao điểm của AM và BC . H D Vẽ BH,CK lần lượt vuông góc B C K với AM , H, K AM S BH S DB Ta có: MAB ABD a . SMAC CK SACD DC BD a 1 a Suy ra 1 DB BC D là điểm cố định . CD a a 1 Vậy điểm M nằm trên đường thẳng (d) cố định đi qua A, D . Phần còn lại dành cho học sinh. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và điểm K chuyển động trên cạnh AC, P là điểm chuyển động trên trung tuyến BD của tam giác ABC sao cho
5. SAPK SBPC . Gọi M là giao điểm của AP, BK Tìm tập hợp các điểm M . Hướng dẫn: Bài toán liên quan đến diện tích nên ta A F dựng các đường cao E K I M1 MF  AC, BE  AC, AH  BD,CI  BD M D H Ta dễ chứng minh được: P B C M S MK MF S AH AD 2 ABK , ABD 1 SAMK BK BE SBDC CI DC SAPB AH Mặt khác ta cũng có: 1. Từ giả thiết ta suy ra SAPK SAPB . SBPC CI S MK 1 Nhưng APK 1 BM BK SAPB BM 2 Vậy tập hợp điểm M là đường trung bình song song với cạnh AC của tam giác ABC trừ hai trung điểm M1, M 2 của tam giác ABC điểm I . Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau . Một điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB ( M không trùng với O,A,B) . Đường thẳng CM cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở điểm P . Chứng minh rằng điểm P luôn chạy trên một đoạn thẳng cố định: Hướng dẫn: C Điểm M,N cùng nhìn đoạn OP dưới một góc vuông nên tứ giác MNPO nội M O A B N P D
6. tiếp suy ra M· NO M· PO M· DO . Từ đó suy ra MODP là hình chữ nhật . Do đó MP OD R . Vậy điểm P nằm trên đường thẳng song song với AB cách AB một khoảng không đổi R Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm giữa hai tiếp tuyến tại A,B của (O) Ví dụ 4: Cho nữa đường tròn đường kính BC trên nữa đường tròn lấy điểm A ( Khác B,C ) . Kẻ AH vuông góc với BC(H BC) . Trên cung AC lấy điểm D bất kỳ (khác A,C) . Đường thẳng BD cắt AH tại điểm I.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi D thay đổi trên cung AC . Hướng dẫn: D A Ta có: B· DC 900 , B· AH A· CB µ · · K cùng phụ với góc B . Mặt khác ADB ACB I (cùng chắn cung AB ). Suy ra C B H O B· AI A· DI suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI . Mặt khác AC cố định AC  AB nên tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI luôn thuộc đường thẳng AC . IV. TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRÒN, CUNG CHỨA GÓC. 1. Nếu A, B cố định. Thì tập hợp các điểm M sao cho ·AMB 900 là đường tròn đường kính AB ( Không lấy các điểm A, B ) 2. Nếu điểm O cố định thì tập hợp các điểm M cách O một khoảng không đổi R là đường tròn tâm O bán kính R .
7. 3. Tập hợp các điểm M tạo thành với 2 đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc M· AB không đổi 0 1800 là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB . Gọi tắt là ‘’cung chứa góc ‘’ M α A A B O α M Ví dụ 1. Cho tam giác cân ABC AB AC và D là một điểm trên cạnh BC . Kẻ DM / /AB ( M AC ). DN / /AC N AB . Gọi D' là điểm đối xứng của D qua MN . Tìm quỹ tích điểm D' khi điểm D di động trên cạnh BC . Hướng dẫn giải: A M D' N B D C Phần thuận: Từ giả thiết đề ra ta thấy NB ND ND' , do đó ba điểm 1 1 B,D,D' nằm trên đường tròn tâm N . Từ đó B· D'D B· ND B· AC (1). 2 2 Tương tự ta có ba điểm D',D,C nằm trên đường tròn tâm M . Nên
8. 1 1 D· D'C D· MC B· AC (2). Từ (1) và (2) suy ra B· D'C B· AC (không đổi). 2 2 Vì BC cố định, D' nhìn BC dưới một góc B· AC không đổi, D' khác phía với D (tức là cùng phía với A so với MN ) nên D' nằm trên cung chứa góc B· AC vẽ trên đoạn BC (một phần của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ). Phần đảo: Bạn đọc tự giải. Kết luận: Quỹ tích của điểm D' là cung chứa góc BAC trên đoạn BC . Đó chính là cung B¼AC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ví dụ 2. Cho đường tròn O và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn O ( A khác B , A khác C ). Tia phân giác của A· CB cắt đường tròn O tại điểm D khác điểm C . Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI DB . Đường thẳng BI cắt đường tròn O tại điểm K khác điểm B . a) Chứng minh rằng tam giác KAC cân. b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua một điểm J cố định. c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM AC . Tìm quỹ tích các điểm M khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn O . Hướng dẫn giải: M x D A K O B C J
9. 1 1 a) Ta có D· BK sđD¼A sđA¼K ;sđD· IB sđB»D sđK»C . 2 2 Vì sđB»D sđD¼A và DBI cân tại D nên sđK»C sđA¼K . Suy ra AK CK hay KAC cân tại K (đpcm). b) Từ kết quả câu a, ta thấy I là tâm đường tròn nội tiếp ABC nên đường thẳng AI luôn đi qua điểm J (điểm chính giữa của cung B»C không chứa A ). Rõ ràng J là điểm cố định. 1 c). Phần thuận: Do AMC cân tại A , nên B· MC B· AC . Giả sử số đo 2 B· AC là 2 (không đổi) thì khi A di động trên cung lớn BC thì M thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn BC về phía điểm O . Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn O cắt cung chứa góc vẽ trên đoạn BC tại điểm X . Lấy điểm M bất kỳ trên C»x (một phần của cung chứa góc và vẽ trên đoạn BC M#X;M#C . Nếu MB cắt đường tròn O tại A thì rõ ràng A thuộc cung lớn BC của đường tròn O . Vì B· AC 2 ; A· MC suy ra AMC cân tại A hay AC AM . Kết luận: Quỹ tích các điểm M là cung C»x , một phần của cung chứa góc vẽ trên đoạn BC về phía O trừ hai điểm C và X . Ví dụ 3. Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định. A là điểm di động trên đoạn thẳng BC . D là tâm của đường tròn đi qua A,B và tiếp xúc với (O;R) tại B ; E là tâm của đường tròn đi qua A,C và tiếp xúc với (O;R) tại C . Tìm tập hợp các giao điểm M khác A của hai đường tròn (D) và (E ). Hướng dẫn: a) Phần thuận:
10. (O) và (D) tiếp xúc tại B Þ O,B,D thẳng hàng; (O) và (E ) tiếp xúc ¶ µ ¶ ¶ tại C Þ O,E,C thẳng hàng. B1 = A1 (DB = DA), B1 = C1 (OB = OC ), ¶ ¶ ¶ ¶ µ ¶ A2 = C1 (EA = EC ). Suy ra B1 = A2,A1 = C1 , ¶ ¶ µ ¶ B1 = A2 Þ BO / / AE,A1 = C1 Þ DA / /OE . Do đó ADOE là hình bình hành. Gọi K là tâm hình bình hành ADOE Þ K là trung điểm O M của AO và DE . (D) cắt (E ) tại A ,M D I K E 1 1 2 1 B C Þ DE là trung trực của AM . A Gọi I là giao điểm của DE và AM . IK là đường trung bình của DAMO Þ IK / / MO Þ DOME là hình thang. Mà DM = OE (cùng bằng bán kính của (D)). Vậy D,M ,O,E là bốn đỉnh của hình thang cân. Do đó D,M ,O,E cùng thuộc một đường tròn. æ ö ç· · 1 · · · 1 · ÷ DMBC : DADE çMBC = ADE = ADM ,MCB = AED = AEM ÷, èç 2 2 ø÷ suy ra B·MC = D·AE = D·OE (không đổi). BC cố định. vậy M thuộc cung chứa góc B·OC . b) Giới hạn: