Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và bài toán liên quan - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 1: Căn bậc hai và bài toán liên quan - Năm học 2018-2019

1. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019) a 1 ab a a 1 ab a T a) Rút gọn biểu thức 1 : 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 b) Cho x 3 2. Tính giá trị của biểu thức: H x5 3x4 3x3 6x2 20x 2023 Lời giải a) Rút gọn biểu thức T a 0 Điều kiện: b 0 ab 1 a 1 ab a 2 ab a 1 Ta có 1 . ab 1 ab 1 ab 1 a 1 ab a 2 a 1 1 . ab 1 ab 1 ab 1 2 ab a 1 2 a 1 Do đó T : ab. ab 1 ab 1 b) Ta có x 3 2 2 x 3 2 2 x 3 4 4x x 2 3 x 2 4x 1 0. Ta có: H x 5 4x 4 x 3 x 4 4x 3 x 2 5 x 2 4x 1 2018. x 3 x 2 4x 1 x 2 x 2 4x 1 5 x 2 4x 1 2018 Vì x 2 4x 1 0 nên H 2018. Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định 2018-2019) 1 1 x Cho biểu thức A : , với x 0 x x x 1 x 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tìm các giá trị của x để A 2 Lời giải Trang 1
2. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 a) Điều kiện: x 0 1 1 x A : x x x 1 x 2 x 1 2 1 x x 1 A x x 1 x x 1 x 2 1 x x 1 1 x x 1 1 x A x x 1 x x x b) Với điều kiện: x 0 1 1 x 1 2 A 2 2x x 3x 2 x 2 x 2 3 2 1 Kết hợp với điều kiện x 0 , Vậy với 0 x thì A 3 2 Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - Chuyên 2018-2019) x x y Cho biểu thức: Q 1 : với x y 0 . 2 2 2 2 2 2 x y x y x x y a. Rút gọn Q. b. Xác định giá trị của Q khi x 3y . Lời giải a) Rút gọn Q: x x y Q 1 : 2 2 2 2 2 2 x y x y x x y x x x2 y2 x x2 y2  x2 y2 x2 y2 y x x2 x2 y2 x2 y2 y x2 y2 x y x2 y2 x2 y2 2 x y x y. x y x y x y Trang 2
3. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x y Vậy Q với x y 0 x y b) Thay x 3y (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được: 3y y 2y 2 Q 3y y 4y 2 2 Vậy Q khi x 3y . 2 Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - Chuyên 2016-2017) Đơn giản biểu thức x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 với x 0. Lời giải Ta có: x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 2 2 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 2. Vậy với x 0 thì x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 2 Câu 5.(Tuyển sinh tỉnh Bến Tre - chuyên Toán 2018-2019) a b a b a b Cho biểu thức P với a,b là hai số thực dương. 1 ab 1 a) Rút gọn biểu thức P :  a b a b b) Tính giá trị của biểu thức P khi a 2019 2 2018 và b 2020 2 2019 . Lời giải a) ab a b a b 1 ab a b P a b 1 ab 1 ab Trang 3
4. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 1 P : a b a b a b a b a b a2 b2 a b a b b) 2 a 2018 1 2 b 2019 1 P 2018 1 2019 1 2018 2019 Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định – chuyên Toán - 2018-2019) 2 a b ab a b a3 b3 Cho biếu thức : T : , với a b,a 0,b 0 a b a b a b a) Rút gọn biểu thức T b) Chứng tỏ T > 1 Lời giải a) Rút gọn T: Với a b,a 0,b 0 , ta có: a b ab a3 a b b a b3 a3 b3 a b ab a b a b T :  a b a b a b a b ab a b a b ab ab a b ab Vậy : T , với a b,a 0,b 0 . ab b) Chứng tỏ T > 1 a b ab Ta có: T , với a b,a 0,b 0 . (kết quả câu 1.a) ab 2 2 a b ab a b T 1 1 ab ab (vì ab 0, a b 0 với a b,a 0,b 0 ) Vậy T > 1 Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam – chuyên Toán - 2018-2019) 1 a 1 a 1 1 Q 1 a2 2a 1 (với 0 a 1). 2 2 1 a 1 a 1 a 1 a a a 1) Rút gọn Q. 2) So sánh Q và Q3. Lời giải Với 0 < a < 1, ta có: 1 a 1 a 1 1 Q . 1 a2 2a 1 2 2 1 a 1 a 1 a 1 a a a Trang 4
5. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 2 2 1 a 1 a 1 a 1 2 . a 1 1 a 1 a 2 a2 a 1 a 1 a 1 a 2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 . a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 . 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a a 1 a 1 a 2 1 a 1 a 1 a 1 a . 1 a 1 a 1 a 2a 2 1 a 1 a 1 a 1 a . 1 a 1 a 1 a 2a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 2a 1 a 1 a 2a 1 a 1 a a 1. 2a 2a Do 1 a 0 0 a 1 1 1 a 1 2 0. Xét Q3 Q a 1 a 1 2 1 0 .Vậy Q3 Q. Câu 8.(Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019) Rút gọn biểu thức: 3 5 13 48 A . 6 2 Lời giải 2 3 5 2 3 1 3 4 2 3 A 6 2 6 2 2 2 3 3 1 4 2 3 3 1 1 . 6 2 2 3 1 2 3 1 2 Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Điện Biên - chuyên 2018-2019) x 2 x 3 3x 4 x 5 Cho biểu thức P ,(x 0; x 25) . x 1 5 x x 4 x 5 a) Rút gọn P. Tìm các số thực x để P 2 . b) Tìm các số tự nhiên x là số chính phương sao cho P là số nguyên. Lời giải Trang 5
6. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 a) Rút gọn P. Tìm các số thực x để P 2 . x 2 x 3 3x 4 x 5 x 2 x 3 3x 4 x 5 P x 1 5 x x 4 x 5 x 1 5 x x 1 x 5 ( x 2)( x 5) ( x 3)( x 1) (3x 4 x 5) ( x 1)( x 5) x 3 x 2 ( x 1)( x 2) x 2 . ( x 1)( x 5) ( x 1)( x 5) x 5 x 2 x 2 x 5 Ta có P 2 2 2 0 . x 5 x 5 x 12 + Với x 5 0 x 25 . + Với x 12 x 144 . b) Tìm các số tự nhiên x là số chính phương sao cho P là số nguyên. Ta có x là số chính phương nên x ¥ , và x 5 5. x 2 7 Khi đó P 1 ¢ . x 5 x 5 x 5 là ước của 7. Suy ra x 5 1;1;7 . +) x 5 1 x 16 +) x 5 1 x 36 +) x 5 7 x 144 Vậy giá trị của x cần tìm là 16;36;144 . Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019) 5 Rút gọn biểu thức A 29 12 5 . 5 2 5 Lời giải 5 5 2 5 A 29 12 5 20 2.2 5.3 9 2 5 3 5 2 5 5 2 5 5 5 2 2 5 3 5 2 5 2 Câu 11.(Tuyển sinh tỉnh Dak Nông - chuyên 2018-2019) x 4 1 Cho biểu thức P 1 : x 3 x 2 2x 3 x 1 Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. Lời giải Trang 6
7. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 1 ĐK: x 0; x ; x 1; x 4 . 4 x 4 1 P 1 : x 3 x 2 2x 3 x 1 x 2 x 2 1  x 1 2 x 1 x 1 x 2 x 2 1  x 1 2 x 1 x 2 x 1  2 x 1 x 1 2 x 1  2 x 1 4x 1. Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên - chuyên 2018-2019) x 1 1 Cho các biểu thức A : ; B x4 5x2 8x 2025 với x > 0; x 1 x x x x x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị của x để biểu thức T B 2A2 đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải a) x 1 1 x 1 x(1 x)(1 x x) A : . x 1 x x x x x2 x x(x x 1) 1 b) T B 2A2 x4 5x2 8x 2025 2(x 1)2 x4 5x2 8x 2025 2x2 4x 2 x4 7x2 4x 2023 (x4 8x2 16) (x2 4x 4) 2003 (x2 4)2 (x 2)2 2003 2003 (x) GTNN của T là 2003 khi x 2 Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn - chuyên 2018-2019) 3x 13 x 4 x 4 5 Rút gọn biểu thức P với x 0, x 9 . x 2 x 3 x 1 x 3 Lời giải Trang 7
8. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 3x 13 x 4 x 4 x 3 5 x 1 2x x 3 P x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 2 x 3 2 x 3 x 1 x 3 x 3 Câu 14.(Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang - chuyên 2018-2019) x 4 x 4 x x 1 1 1. Cho biểu thức A : (với x 0; x 1). x x 2 1 x x 1 1 x a) Rút gọn biểu thức A . 1 2018 b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để A . 2018 Lời giải 2 x 4 x 4 x x x 2 x x 1 a) + Biến đổi x x 2 1 x x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 = x 1 x 1 x 1 1 1 2 x + Biến đổi x 1 1 x x 1 x 1 2 2 x 2 x 1 x 1 + Ta có A : . x 1 x 1 x 1 x 1 2 x x 1 + Vậy A , với điều kiện x 0, x 1. x 1 2018 1 1 1 1 b) A 1 1 2018 x 2018 x 2018 x 2018 0 x 2018 Vì x 0, x 1 và x nguyên nên x 2;3;4;...;2018 . Suy ra có 2017 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán. Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương - chuyên 2018-2019) Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 P ... . 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2025 2024 2024 2025 Trang 8
9. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Lời giải 1 1 1 1 P ... 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2025 2024 2024 2025 Với n N * , ta có: 1 1 n 1 n n n 1 n 1. n. n 1 n n 1 n n 1 n 1 1 n 1. n. n 1 n n 1. n n n 1 Áp dụng kết quả trên, ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 P ... 1 2 2 3 3 4 2024 2025 1 1 1 44 1 1 2025 45 45 Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) 3 x 2 x x 2 x 1 Cho biểu thức P (với x 0; x 1). x x 2 x 1 x 2 x 3 a. Chứng minh P . x 2 3 b. Chứng minh rằng nếu x 0; x 1 thì P . 2 Lời giải 2 3x 6 x x 2 x 1 x 1 a. Ta có P x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3x 6 x x 4 x 4 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 3 . x 1 x 2 x 2 Trang 9
10. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x 3 1 b. P 1 . x 2 x 2 1 1 1 3 3 Với x 0; x 1 ta có x 2 2 1 P . x 2 2 x 2 2 2 Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình - chuyên 2018-2019) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: P 5x 3 2018.3 x Lời giải Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: P 5x 3 2018.3 x +) Biểu thức P có nghĩa khi: 5x 3 0 3 x 5 3 +) Vậy x 5 Câu 18.(Tuyển sinh tỉnh Thái Bình- chuyên 2018-2019) 2 x y y x x y 4 xy Cho biểu thức: P y (với x 0; y 0; x y ) xy x y a) Rút gọn biểu thức P . b) Chứng minh rằng P 1 . Lời giải a) Rút gọn biểu thức P . xy x y x 2 xy y +) P y xy x y 2 x y +) P x y y x y +) P x y x y y +) P 2 y y b) Chứng minh rằng P 1 P 1 2 y y 1 y 2 y 1 0 Trang 10