Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Năm học 2018-2019

1. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Chuyên đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1.(Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019) 1 Cho các số dương x, y, z thỏa xyz  Chứng minh rằng: 2 yz zx xy xy yz zx. x2 y z y2 z x z2 x y Dấu “=” xảy ra khi nào? Lời giải yz zx xy 1 xy yz zx Ta sẽ chứng minh . x2 y z y2 z x z2 x y 2 xyz 1 1 1 Đặt a ,b ,c thì bất đẳng thức trở thành x y z a2 b2 c2 1 a b c . b c c a a b 2 a2 b c b2 c a c2 a b Ta có: a; b; c. b c 4 c a 4 a b 4 Cộng vế theo vế ta được đpcm. 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z 3 . 2 Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019) x2 y2 a) Cho x,y là hai số dương. Chứng minh rằng: x y y x b) Xét các số thực a,b,c với b a c sao cho phương trình bậc hai ax 2 bx c 0 có hai nghiệm thực m,n thỏa mãn 0 m,n 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của (a b)(2a c) biểu thức M a(a b c) Lời giải a) Với x,y là hai số dương x2 y2 x y y x x3 y3 xy(x y) (x y)(x2 xy y2 ) xy(x y) Trang 1
2. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x2 xy y2 xy x2 2xy y2 0 (x y)2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 0. b) Giả thiết phương trình ax 2 bx c 0 có hai nghiệm m,n 0 m 1,0 n 1 nên b c a 0. Theo định lí Viete, ta có: m n và m.n a a b c 1 2 (a b)(2a c) a a 1 m n 2 mn Từ đó suy ra: M . a(a b c) b c 1 m n mn 1 a a 1 m n .2 Vì 2 mn 2 và mn 0 nên M 2. 1 m n Vậy giá trị lớn nhất của M là 2 đạt được khi mn 0 hay c 0. Do 0 m 1,0 n 1 nên mn 1, suy ra: 1 m n 1 n m 1 mn 1 0 mn 1 m n . 3 1 m n 3 M . Do đó 1 4 1 m n 1 m n 3 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là đạt được khi m n 1 hay a b c 0 và a c. 4 Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) 1 1 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng 1 1 ... 1 2018. 12 22 22 32 20172 20182 b) Cho các số thực dương a,b thỏa mãn a b 1. 2 1 Chứng minh rằng 3 a b a b 4ab a 3b b 3a . 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 a) Đặt S 1 1 ... 1 . 12 22 22 32 20172 20182 2 1 1 1 1 2 * Ta có 1 2 2 1 (n ¥ ) n (n 1) n n 1 n(n 1) Trang 2
3. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 2 1 1 1 1 1 1 . n n 1 n n 1 Áp dụng đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 1 1 1 S 1 1 ... 1 = 2018 2018. 1 2 2 3 2017 2018 2018 (điều phải chứng minh) 1 1 b) Bất đẳng thức đã cho tương đương 2. a 3b b 3a Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số dương ta có a a a b 1 a a b . (1) a 3b a b a 3b 2 a b a 3b b 1 2b 1 1 2b . . (2) a 3b 2 a 3b 2 2 a 3b a b 1 3 a 1 1 3 a Từ (1) và (2) suy ra . (3) a 3b 2 2 a b a 3b 2 2 a b 1 1 3 b Chứng minh tương tự ta cũng có . (4) b 3a 2 2 a b 1 1 Từ (3) và (4) suy ra 2. (điều phải chứng minh) a 3b b 3a 1 Dấu " " xảy ra khi a b . 4 Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - chuyên 2018-2019) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x2 y2 z2 2 . 2 2 2 x3 y3 z3 Chứng minh: 3. x2 y2 y2 z2 z2 x2 2xyz Lời giải Vì x, y, z 0; x2 y2 z2 2 nên: 2 2 2 x3 y3 z3 3 (1) x2 y2 y2 z2 z2 x2 2xyz x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 2yz 2zx 2xy z2 x2 y2 x2 y2 z2 1 1 1 3 x2 y2 y2 z2 z2 x2 2yz 2zx 2xy Trang 3
4. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x2 y2 z2 x2 y2 z2 (2) y2 z2 z2 x2 x2 y2 2yz 2zx 2xy z2 z2 Lại có: (x y)2 0 x2 y2 2xy x2 y2 2xy y2 y2 z2 z2 Tương tự, ta có: ; z2 x2 2zx x2 y2 2xy (2) đúng (1) đúng (đpcm) Câu 5.(Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2016-2017) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x y x z 1; y z. 1 1 1 Chứng minh 4. x y 2 y z 2 z x 2 Lời giải Đặt x y a; x z b ta được ab 1; a b. 1 1 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 4 a2 b2 a b 2 a2 b2 1 4 a2b2 a2 b2 2ab 1 a2 b2 4 a2 b2 2 1 a2 b2 2 2. a2 b2 2 Do ab 1; a b nên a2 b2 2ab hay a2 b2 2 0. 2 2 1 2 2 1 Mặt khác a b 2 2 2 2 a b 2 . a b 2 a2 b2 2 1 tức là a2 b2 2 2 . a2 b2 2 1 1 1 Vậy 4. x y 2 y z 2 z x 2 Câu 6. (Tuyển sinh Thừa Thiên Huế - chuyên Toán quốc học 2018-2019) 1 1 1 49 Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng . 16x 4y z 16 Lời giải Trang 4
5. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 1 1 1 49 1 4 16 Ta có 49. 16x 4y z 16 x y z 2 Với hai số thực không âm a,b ta có a b 0 a b 2 ab. Dấu "=" xảy ra khi a b a b. Áp dụng kết quả trên, ta có: 1 1 1 49x 2 .49x 49x 14. (1) x x x 1 1 Dấu "=" xảy ra khi 49x x . x 7 4 Trương tư, ta có: 49y 28. (2) y 4 2 Dấu "=" xảy ra khi 49y y . y 7 16 Và 49z 56. (3) z 16 4 Dấu "=" xảy ra khi 49z z . z 7 1 4 16 Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được: 49 x y z 98 x y z 1 4 16 1 2 4 49. Dấu "=" xảy ra khi x ; y ; z . x y z 7 7 7 Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre – chuyên Toán - 2018-2019) 4 1 Cho hai số thực dương a,b thỏa a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  a b Lời giải Ta có a b 1 b 1 a . Do a,b 0 0 a 1 4 1 4 1 a a Khi đó T 5 a 1 a a 1 a 4 1 a a Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ; ta được: a 1 a 4 1 a a T 2 . 5 9 a 1 a 4 1 a a 2 Đẳng thức xảy ra 4 1 a a2 3a2 8a 4 0 a 1 a a 2 KTM 2 a TM 3 Trang 5
6. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 2 1 Vậy minT 9 a và b 3 3 Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định – chuyên Toán - 2018-2019) 2 2 1 1 1 25 Cho hai số dương a, b thỏa mãn a 1. Chứng minh rằng: a b . b a b 2 Lời giải 1 1 Ta có: a 1 1 a ab 1 b v(a > 0, b > 0) b b (x y)2 lại có HĐT: 2(x2 y2 ) (x y)2 (x y)2 x2 y2 (1) , 2 dấu”=” xãy ra khi và chỉ khi x= y và có HĐT: (x y)2 (x y)2 4xy (x y)2 4xy (2), dấu”=” xãy ra khi và chỉ khi x= y - Áp dụng (1), ta có: 2 2 2 2 1 1 1 ab 1 b 2 2 a b 1 b 1 1 1 1 a b a a a a b (1’), a b 2 2 2 2 1 1 1 dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: a b và a 1 a b b 2 1 a a b - Áp dụng (2), ta có: a 4 1 4 4 (2’), b b b a 1 1 dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: a và a 1 b b Từ (1’) và (2’) suy ra: 2 2 1 1 (1 4)2 1 1 a b . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a hay b a b 2 b a 2 2 1 1 25 1 Vậy a b , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a = và b = 2. a b 2 2 Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam – chuyên Toán - 2018-2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx x y z. x2 y2 z2 Chứng minh rằng 1. x3 8 y3 8 z3 8 Lời giải x 2 x2 2x 4 x2 x 6 Ta có x3 8 x 2 x2 2x 4 2 2 y2 y 6 z2 z 6 Tương tự y3 8 ; z3 8 . 2 2 Trang 6
7. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x2 y2 z2 x2 y2 z2 - Suy ra 2. 2 2 2 . (*) x3 8 y3 8 z3 8 x x 6 y y 6 z z 6 2 a2 b2 c2 a b c - Chứng minh rằng a,b,c,u,v, w 0 1 u v w u v w - Áp dụng (1) và (*) ta thu được 2 x2 y2 z2 2 x y z 2 2 2 (2) x3 8 y3 8 z3 8 x y z x y z 18 Ta cần chứng minh 2 x y z 2 1 x2 y2 z2 x y z 18 x2 y2 z2 4 xy yz zx 18 x y z x y z 2 x y z 2 xy yz zx 18 0 . (3) Lại do xy yz zx x y z nên ta đi kiểm tra x y z 2 3 x y z 18 0 x y z 3 x y z 6 0 . (4) Thật vậy ta có quan hệ x y z 2 3 xy yz zx 3 x y z nên x y z 3, từ đó (4) đúng. Từ (2), (3), (4) suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” x y z 1 Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019) Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng: a3 b a) a . a2 b2 2 a3 b3 c3 a b c b) . a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 Lời giải a3 b a) a . a2 b2 2 a3 a(a2 b2 ) ab2 ab2 ab2 b Ta có : 2 a a a a2 b a2 b2 a2 b2 2ab 2 Trang 7
8. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 a3 b3 c3 a b c b) . a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 b3 c Tương tự theo câu a), ta có: b b2 c2 2 c3 a c c2 a2 2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3 a b c 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 2 a3 a3 2 a3 Ta có: . a2 ab b2 a2 b2 3 a2 b2 a2 b2 2 b3 b3 2 b3 . b2 bc c2 b2 c2 3 b2 c2 b2 c2 2 c3 c3 2 c3 . c2 ac a2 c2 a2 3 c2 a2 c2 a2 2 Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có: a3 b3 c3 2 a3 b3 c3 a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . a ab b b bc c c ca a 3 a b b c c a 3 Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Dak Nông - chuyên 2018-2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 4. 1 1 Chứng minh rằng 1. xy xz Lời giải Vì x + y + z = 4 nên suy ra x = 4 – (y + z) 1 1 1 1 1 1 1 Mặt khác: 1 1 x do x dương. (*) xy xz x y z y z Thay x = 4 – (y + z) vào (*) ta có : 2 2 1 1 1 1 1 1 4 y z 2 y 2 z 0 y z 0 y z y z y z Luôn đúng với mọi x, y, z dương, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : y = z = 1, x = 2. Trang 8
9. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Khánh Hòa - chuyên 2018-2019) Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc . Chứng minh rằng 1 a2 1 b2 1 c2 1. a b Lời giải 1 1 1 1 1 1 Ta có a b c abc 1. Đặt x , y , z bc ca ab a b c Khi đó x, y, z 0 và xy yz zx 1. Vì vậy: 1 a2 1 b2 1 z2 1 c2 1 1 x2 1 y2 1 a b z 1 z2 1 x2 1 1 y2 1 1 x2 1 y2 0 z 1 z2 z 1 x2 1 y2 1 x2 1 1 y2 1 0 (4) z 2 2 Ta có: 1 x2 1 y2 1 x2 y2 x2 y2 1 xy x y x y 1 z2 1 z2 z x y 1 z2 4 1 x2 1 1 y2 1 0 z 1 z2 xz yz 1 z2 1 x2 1 1 y2 1 0 z 1 z2 1 xy 1 z2 1 x2 1 1 y2 1 0 z xy 1 z2 1 x2 1 1 y2 1 0,x, y, z 0. z Ta có điều phải chứng minh. Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắk - chuyên 2018-2019) 1) Cho các số thực x, y không âm. Chứng minh rằng x3 y3 x2 y xy2 . 2) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1. a5 b5 ab b5 c5 bc c5 a5 ca Lời giải 1) Bất đẳng thức: x3 y3 x2 y xy2 x2 (x y) y2 (x y) 0 (x y)2 (x y) 0 , đúng x, y 0 . Trang 9
10. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 2) Chứng minh a5 b5 a2b3 a3b2 a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2 ) 0 (a b)2 (a b)(a2 ab b2 ) 0, a,b 0 (*) a b c Áp dụng (*): a5 b5 a2b2 (a b) a5 b5 ab ab. c ab c (1) a5 b5 ab a b c bc a ca b Tương tự (2) ; (3) b5 c5 bc a b c c5 a5 ca a b c Cộng (1), (2), (3) ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a b c . Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên - chuyên 2018-2019) Cho a,b là hai số thay đổi thỏa mãn a 0 và a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8a2 b A b2 . 4a Lời giải b Ta có A 2a b2 4a 1 a 2 1 1 2 1 2 1 Do a o và b 1 a nên A 2a b 2a b a b a 4a 4a 4 4a 4 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và : a 1 4a 4a 2 2 1 1 3 3 Và theo giả thiết a 1 b ta có : A 1 b 1 b b 4 2 2 2 a b 1 1 1 Dấu '' " a a b . 4a 2 1 b 2 3 1 Vậy Min A khi a b . 2 2 Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam - chuyên 2018-2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx x y z. Trang 10