Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 3: Phương trình - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 3: Phương trình - Năm học 2018-2019

1. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Chuyên đề 3: PHƯƠNG TRÌNH Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019) 4 8 Giải phương trình x2 4x 9. x2 x Lời giải Với điều kiện x 0 , ta viết lại phương trình thành: 2 2 4 2 2 2 x 2 4 x 9 x 4 x 5 0 (*) x x x x 2 2 t 1 Đặt t x , phương trình (*) trở thành: t 4t 5 0 x t 5 2 2 x 1 Với t 1, ta có x 1 x x 2 0 x x 2 2 5 33 Với t 5 , ta có x 5 x2 5x 2 0 x x 2 5 33 Vậy phương trình có các nghiệm 2;1; . 2 Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019) Giải phương trình: x 1 6x 14 x2 5 Lời giải 7 Điều kiện: x . 3 Ta có: x 1 6x 14 x 2 5 x 1 2 6x 14 2 x 2 9. x 3 6 x 3 x 3 x 3 0. x 1 2 6x 14 2 1 6 x 3 x 3 0. x 1 2 6x 14 2 x 3 0 1 6 x 3 0 x 1 2 6x 14 2 Trang 1
2. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x 3 1 6 . x 3 * x 1 2 6x 14 2 7 VT * 2 7 Ta có: x PT * VN . 16 3 VP * 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3. Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) 2 2 Giải phương trình 2 1 x x 2x 1 x x 1. Lời giải Điều kiện: x2 2x 1 0. 2 1 x x2 2x 1 x x2 1 2(1 x) x2 2x 1 x2 2x 1 (1) Đặt x2 2x 1 y. (y 0) 2 y 2 PT (1) trở thành y 2(1 x)y 4x 0 y 2x Với y 2 thì x2 2x 1 2 x 1 6. (thỏa mãn điều kiện) Với y 2x thì x2 2x 1 2x (vô nghiệm) Phương trình có tập nghiệm 1 6; 1 6. Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - chuyên 2018-2019) x2 a) Giải phương trình: x2 4 8 x2 4 b) Với a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: (b2 c2 a2 )x2 4bcx (b2 c2 a2 ) 0 . Lời giải x2 x2 4 8 x2 a) Ta có: 4 x2 4 x2 4 16 2x2 (1) ĐK: 2 x 2 2 Trang 2
3. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Đặt y x2 4 (y 0) x2 y2 4 Phương trình (1) trở thành: y2 4 4y 16 2 y2 4 y 2 2 8 2y2 y 2 8 2y2 y 2 8 2y2 (do y 0 y 2 0) 2y2 y 6 0 (y 2)(2y 3) 0 2y 3 0 (do y 2 0) 3 y 2 2 3 2 3 2 25 5 Với y , ta có: x 4 x x 2 2 4 2 5 Kết hợp với điều kiện x 2 5 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x . 2 b) Ta có: (b2 c2 a2 )x2 4bcx (b2 c2 a2 ) 0 (1) Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác nên: a,b,c 0; b c a 0; a b c 0; a c b 0 (2) Xét 2 trường hợp: + TH1: b2 c2 a2 0 Phương trình (1) trở thành: 4bcx 0 x 0 (do b,c 0) Phương trình (1) có nghiệm + TH2: b2 c2 a2 0 Phương trình (1) là phương trình bậc hai Xét ' (2bc)2 (b2 c2 a2 )2 (2bc b2 c2 a2 )(2bc b2 c2 a2 ) b c 2 a2 a2 b c 2 a b c b c a a b c a c b Kết hợp với (2) ' 0 Phương trình (1) có nghiệm * Kết luận: Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm. Trang 3
4. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) Giải phương trình 2x2 3x 1 1 3x 2 x2 1. Lời giải Điều kiện 2x2 3x 1 0; 1 3x 0. Đặt a 2x2 3x 1; b x2 1; a;b 0 . Khi đó ta được 2b2 a2 1 3x. Phương trình đã cho trở thành: a 2b2 a2 2b 2b2 a2 2b a 2b2 a2 2b a 2 2 a2 2ab b2 0 a b. 2 2 2 x 0 Với a b ta được 2x 3x 1 x 1 x 3x 0 x 3. Thử lại ta được nghiệm phương trình là: x 0; x 3. Câu 6. Tuyển sinh Thừa Thiên Huế - chuyên Toán quốc học 2018-2019) a) Xác định các giá trị của m để phương trình x2 2mx 6m 9 0 ( x là ẩn số) có hai 1 1 1 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện . x1 2x2 3 b) Giải phương trình 3 3x2 x 1 3 3x2 7x 2 3 6x 3 3 2. Lời giải a) Điều kiện để phương trình x2 2mx 6m 9 0 ( x là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt là: ' m2 6m 9 0 m 3 2 0 m 3. 2 2 2 x m m 3 x 2m 3 Khi đó x 2mx 6m 9 0 x m m 3 . x m 3 m x 3 Trường hợp 1: x1 3, x2 2m 3, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 0 , vô nghiệm. x1 2x2 3 3 2 2m 3 3 2 2m 3 Trường hợp 2: x1 2m 3, x2 3, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 3 m . x1 2x2 3 2m 3 6 3 2m 3 6 2 3 Vậy m . 2 b) Ta có 3 3x2 x 1 3 3x2 7x 2 3 6x 3 3 2 Trang 4
5. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 3 3x2 x 1 3 6x 3 3 3x2 7x 2 3 2 Đặt a 3 3x2 x 1,b 3 6x 3,c 3 3x2 7x 2,d 3 2. Phương trình đã cho trở thành: a b c d a b 3 c d 3 a3 b3 3ab a b c3 d 3 3ab c d (2) Mà a3 b3 c3 d 3 3x2 7x 4 và a b c d nên (2) trở thành: a b 3ab a b 3cd a b 0 a b ab cd 0 . ab cd x 1 Trường hợp a b , ta có a3 b3 3x2 x 1 6x 3 3x2 7x 4 0 4 . x 3 Trường hợp ab cd , ta có ab 3 cd 3 3x2 x 1 6x 3 2 3x2 7x 2 1 x 6 18x3 9x2 5x 1 0 6x 1 3x2 x 1 0 . 1 13 x 6 1 4 1 13 Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm: x ; x 1; x ; x . 6 3 6 Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa – chuyên Toán Lam Sơn 2018-2019) Giải phương trình: x2 x 4 2 x 1(1 x) . Lời giải Điều kiện xác định: x 1. Ta có: x2 x 4 2 x 1(1 x) x2 2x x 1 x 1 2(x x 1) 3 0 Đặt x x 1 y (điều kiện y 1). 2 y 1 Phương trình trở thành y 2y 3 0 y 3 (do y 1) y 3 1 x 3 1 x 3 x 2 Khi đó : x x 1 3 x 1 3 x 2 x 2 x 7x 10 0 x 5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2 . Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre – chuyên Toán - 2018-2019) a) Cho phương trình x2 2mx m 4 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương 1 trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa 2 2 đạt giá trị lớn nhất. x1 x2 b) Giải phương trình: x3 1 x2 3x 1. Lời giải Trang 5
6. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 2 2 1 15 a) m m 4 m 0 , với mọi m phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm 2 4 phân biệt với mọi m 1 2 2 Nhận xét: 2 2 đạt giá trị lớn nhất x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất x1 x2 2 2 2 2 Ta có x1 x2 x1 x2 2x1x2 4m 2m 8 2 1 31 31 2 2 31 1 2m với mọi m Giá trị nhỏ nhất của x1 x2 bằng m 2 4 4 4 4 b) ĐKXĐ: x 1 Pt đã cho tương đương: x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 x 1 (*) Đặt a x 1,a 0 và b x2 x 1,b 0 2 2 1 3 (do x x 1 x 0 , với mọi x ) 2 4 Pt (*) trở thành: b2 2a2 ab b 2a b a 0 b 2a (do b a 0) Với b 2a ta được x2 x 1 2 x 1 5 37 x 2 2 x 5x 3 0 5 37 x 2 5 37 Thử lại ta nhận nghiệm x 2 Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định – chuyên Toán - 2018-2019) a) Giải bất phương trình: 3x 2 7x 8 b) Cho phương trình: (m 1)x2 2(2m 3)x 5m 25 0 (m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho phương trình có nghiệm là số hữu tỉ. Lời giải a) Giải bất phương trình: 3x 2 7x 8 (1) 2 2 2 2 x x x x (1) 3 3 3 3 2 2 9x 12x 4 7x 8 9x 5x 4 0 (x 1)(9x 4) 0 (9x 9)(9x 4) 0 2 2 x x 3 2 4 3 x 4 3 9 9x 4 0 9x 9 1 x 9 2 4 Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm S x ¡ | x  3 9  Trang 6
7. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 b) Phương trình: (m 1)x2 2(2m 3)x 5m 25 0 (3) Có '  (2m 3)2 (m 1)( 5)(m 5) 9m2 42m 34 (3m 7)2 15 (3) có nghiệm hữu tỉ với m ¢ khi và chỉ khi ' chính phương, suy ra: (3m 7)2 15 n2 (n ¢ ) (3m – 7 – n)(3m – 7 + n) = 15 (m,n ¢ ) (4) Phương trình (4) tương đương với 8 hệ phương trình: 3m 7 n 15 3m 7 n 1 3m 7 n 5 (4.1), (4.2), (4.3), 3m 7 n 1 3m 7 n 15 3m 7 n 3 3m 7 n 3 (4.4) 3m 7 n 5 3m 7 n 15 3m 7 n 1 3m 7 n 3 (4.5), (4.6) (4.7), 3m 7 n 1 3m 7 n 15 3m 7 n 5 3m 7 n 5 (4.8) 3m 7 n 3 Giải 8 hệ trên, suy ra hệ phương trình (3) có nghiệm hữu tỉ khi: m = 1 hoặc m = 5 Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam – chuyên Toán - 2018-2019) Giải phương trình x 9 3 9 x 3 2x. Lời giải x 9 0 Đk: 9 x 9. 9 x 0 Với đk trên, pt đã cho tương đương với x 9 x 3 2x x 9 3 x 0 9 x 2 x 9 3 * a 2b 3 1 Đặt a 9 x,b 9 x ta có a,b 0.Từ (*), ta có hệ phương trình 2 2 a b 18 2 2 2 b 3 / 5 Thay (1) vào (2) suy ra 2b 3 b 18 b 3 Với b 3 loại. 3 216 Với b x . 5 25 216  Thử lại, phương trình có tập nghiệm S ;0. 25  Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019) Giải phương trình: 2 3 x 2 x 5 . Lời giải Điều kiện xác định 2 x 3. Đặt x 2 t t 0 , suy ra x t2 2 . Trang 7
8. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Ta được phương trình theo t : 2 5 t2 t 5 1 1 2 5 t2 5 t 4 5 t2 5 t 2 t2 2t 1 0 t 1 Thử lại thấy t 1 thỏa mãn phương trình 1 . t 1 x 1. Vậy phương trình có một nghiệm x 1. Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình: 7 x y 3 x2 xy y2 . Lời giải Ta có 7 x y 3 x2 xy y2 3 x y3 . 3 2 2 9 2 Và 7 x y 3x2 xy y2 3 x y x y x y 4 4 0 x y 3 Suy ra x y 0 hoặc x y 3 . Thay vào phương trình, ta được x2 3x 2 0 . Giải ra ta được x 1, x 2 . Thử lại ta được 3 nghiệm nguyên của phương trình: 0;0 , 1;2 , 2;1 . Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Điện Biên - chuyên 2018-2019) Cho phương trình: x2 m2 x m 1 0 (1), m là tham số. Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình (1) có nghiệm nguyên. Lời giải Phương trình có nghiệm nguyên khi m4 4m 4 là số chính phương. + Với m 0 , hoặc m 1 thì 0 (loại). + Với m 2 thì 4 22 (thỏa mãn). + Với m 3 thì 2m(m 2) 5 2m2 4m 5 0 (2m2 4m 5) 4m 4 m4 2m2 1 m4 2 2 m2 1 m2 không chính phương. Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Trang 8
9. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Điện Biên - chuyên 2018-2019) Giải phương trình x 16 6 2x 1 2 5 x . Lời giải 1 ĐK: x 5. 2 (*) 2x 1 6 2x 1 9 1 2 5 x 5 x 0 . 2 2 2x 1 3 0 2x 1 3 1 5 x 0 . 1 5 x 0 2x 1 3 x 4(TM ) . 5 x 1 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x 4 . Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019) Giải phương trình 10 x 2 x 4 3x2 6x 21. Lời giải x 2 x 4 0 x 2 x 4 0 x 2 x 4 0 Điều kiện xác định 2 2 3x 6x 21 0 3 x 2x 8 3 3 x 2 x 4 3 0 x 2 x 4 0 x 4 hoặc x 2 . 10 x 2 x 4 3x2 6x 21 10 x 2 x 4 3 x 2 x 4 3 . Đặt t x 2 x 4 , t 0 . Phương trình trở thành t 3 10t 3t 2 3 3t 2 10t 3 0 1 . t 3 x 1 3 2 n + t 3 x 2 x 4 3 x2 2x 8 9 . x 1 3 2 n 3 82 x n 1 1 2 1 3 + t x 2 x 4 x 2x 8 . 3 3 9 3 82 x n 3 Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019) 2 4 4 Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x 2mx 4 0 . Xác định m để x1 x2 32 Lời giải Ta có ' m2 4 . 2 Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ' 0 m 4 0 m 2 hoặc m 2 . Trang 9
10. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 b c Theo định lý viet ta có S x x 2m ; P x .x 4 . 1 2 a 1 2 a 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 x1 x2 32 x1 x2 2x1 x2 32 S 2P 2P 32 S 4S P 2P 32 16m4 16m2.4 2.42 32 16m4 64m2 32 32 m2 m2 4 0 2 m 2 Kết hợp với điều kiện có nghiệm ta có m 2 hoặc m 2 . Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019) Cho phương trình x2 2m 3 x m2 1 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số) a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x1 x2 3. Lời giải a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m . Ta có ac 1. m2 1 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị m . b) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn x1 x2 3. Do phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu và x1 x2 Suy ra x1 0 , x2 0 x1 x1, x2 x2 x x 3 x x 3 2m 3 3 m 3 1 2 1 2 Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019) 2 Giải phương trình x2 9 12x 1. Lời giải Biến đổi tương đương phương trình ta được 2 x2 9 12x 1 x4 18x2 81 12x 1 2 x4 18x2 81 36x2 12x 1 x2 9 6x 1 2 x2 9 6x 1 x2 6x 8 0 x 2 x2 9 6x 1 x2 6x 10 0 x = 4 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 2;4 . Trang 10