Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 4: Hệ phương trình - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 4: Hệ phương trình - Năm học 2018-2019

1. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Chuyên đề 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019) 2 2 2 2 x xy y x y 185 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 x xy y x y 65 Lời giải 2 2 2 2 x xy y x y 185 1 2 2 2 2 x xy y x y 65 2 Cộng (1) và (2) theo vế, ta được: 2 x2 y2 x2 y2 250 x2 y2 25 Thay lại vào phương trình (1), ta được: 25 xy 25 185 xy 12 Ta có hệ: 2 2 144 4 2 x 9 2 2 x 25 x 25x 144 0 x y 25 x2 x2 16 12 xy 12 12 y y 12 x y x x x 3, y 4 x 3, y 4 x 4, y 3 x 4, y 3 Vậy hệ phương trình có các nghiệm: 3; 4 , 3; 4 , 4; 3 , 4; 3 , 3; 4 . Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019) (x2 1)(y2 1) 10 Giải hệ phương trình: (x y)(xy 1) 3 Lời giải (x2 1)(y2 1) 10 x2 y2 x2 y2 1 10 (x y)2 (xy 1)2 10 Ta có: (I) (x y)(xy 1) 3 (x y)(xy 1) 3 (x y)(xy 1) 3 x y u Đặt xy 1 v Trang 1
2. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 u2 v2 10 (u v)2 2uv 10 (u v)2 16 Khi đó, ta có: (I) uv 3 uv 3 uv 3 u 1 v 3 u v 4 u 3 uv 3 v 1 u v 4 u 1 uv 3 v 3 u 3 v 1 u 1 x y 1 Với HPTVN v 3 xy 4 x 1 u 3 x y 3 y 2 Với v 1 xy 2 x 2 y 1 x 1 u 1 x y 1 y 2 Với v 3 xy 2 x 2 y 1 x 0 u 3 x y 3 y 3 Với v 1 xy 0 x 3 y 0 Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: 1;2 , 2;1 , 1; 2 , 2;1 , 0; 3 , 3;0 Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) x 3y 2 y(x y 1) x 0 Giải hệ phương trình 4y 2 3 8 x x 14y 8. y 1 1 Lời giải Điều kiện x 8; y 1; x y 0. Trang 2
3. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x 3y 2 (x y)(y 1) 0 (1) Hệ đã cho tương đương 4y 2 3 8 x x 14y 8 (2) y 1 1 Nhận xét: y 1và y 0 không thỏa mãn, do đó x y x y x y (1) 2 0 1 x 2y 1. y 1 y 1 y 1 Thế vào (2) ta được phương trình 4 y 1 3 7 2y 4y2 10y 11 0 4 y 1 2 3 7 2y 1 4y2 10y 6 0 2 3 y 3 2y 1 0. (3) y 1 2 7 2y 1 7 2 2 2 3 3 Với 1 y thì ; ;2y 1 1 2 y 1 2 3 2 2 7 2y 1 4 2 3 2y 1 0 . y 1 2 7 2y 1 Do đó (3) y 3 0 y 3. x 7 thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của hệ là (x; y) (7;3). Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - chuyên 2018-2019) x2 y2 2y 1 Giải hệ phương trình: . xy x 1 Lời giải x2 y2 2y 1 (1) Ta có xy x 1 (2) Với x 0 , phương trình (2) trở thành 0 1 (vô lí). Với x 0 , ta có: x2 y2 2y 1 2 x2 (y 1)2 2 x2 y2 2y 1 1 1 xy x 1 y 1 y 1 x x 2 2 1 4 2 x 2 x 1 2x (do x 0) x 2 x2 1 0 x2 1 0 x 1 Trang 3
4. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 1 Với x 1 y 1 y 2 1 1 Với x 1 y 1 y 0 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x, y) (1; 2),( 1; 0) . Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2016-2017) x2 3y2 3x 1 0 Giải hệ phương trình 2 2 x y x 4y 5 0. Lời giải 2 2 x 3y 3x 1 0 1 Ta có: 2 2 x y x 4y 5 0 2 Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được 2x2 2y2 4x 4y 4 0 3 2 2 Phương trình (3) tương đương với x y x y 2 0 x y x 1 x y 2 y 1. Ta thấy x y 1 thỏa mãn (1) và (2). Hệ đã cho có duy nhất nghiệm x; y 1;1 . Câu 6. (Tuyển sinh Thừa Thiên Huế - chuyên Toán quốc học 2018-2019) 2x2 xy y2 5x y 2 0 Giải hệ phương trình . 2 2 x y x y 4 0 Lời giải Ta có: 2x2 xy y2 5x y 2 0 y2 x 1 y 2x2 5x 2 0 2 2 x 1 x 1 2 y 2x 5x 2 0 2 4 2 2 2 x 1 9x2 18x 9 x 1 3x 3 y 0 y 0 2 4 2 2 x 1 3x 3 x 1 3x 3 y y 0 2 2 2 2 y 2x 1 0 y 2x 1 y 2x 1 y x 2 0 . y x 2 0 y 2 x  Trường hợp y 2x 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x 1 2 x2 2x 1 x 2x 1 4 0 5x2 x 4 0 4 . x 5 Trang 4
5. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 4 13 Trường hợp này hệ đã cho có hai nghiệm: x; y 1;1 , x; y ; . 5 5  Trường hợp y 2 x, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x2 2 x 2 x 2 x 4 0 2x2 4x 2 0 x 1. Trường hợp này hệ đã cho có một nghiệm: x; y 1;1 . 4 13 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x; y 1;1 , x; y ; . 5 5 Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa – chuyên Toán Lam Sơn 2018-2019) 1 1 1 2 2 Giải hệ phương trình: x y . 2 2 x 1 y 1 xy 2 Lời giải x, y 0 Điều kiện xác định: xy 2 0 2 2 x 1 0; y 1 0 2 2 2 2 x y x y Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ: 2 2 2 2 2 2 (x y ) 2 x y x y 1 xy 4 0 x2 y2 x2 y2 (1) 2 2 x y xy 2 0 (2) 2 2 xy 1 Từ (2) ta có: x y xy 2 0 xy 2 4 +Với xy 2 , thay vào (1) suy ra x2 4 x2 2 x 2 . x2 Từ đó suy ra hệ có các nghiệm: (x; y) 2; 2 ; (x; y) 2; 2 (thỏa mãn điều kiện) 1 +Với xy 1, thay vào (1) suy ra x2 1 (vô nghiệm). x2 Vậy hệ có 2 nghiệm: (x; y) 2; 2 ; (x; y) 2; 2 . Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre – chuyên Toán - 2018-2019) 2 2 x 4y 2 Giải hệ phương trình:  x 2y 1 2xy 4 Lời giải 2 2 2 2 2 2 x 4y 2 x 4y 2 x 4y 2 2 2 x 2y 1 2xy 4 x 2y 2 4xy 8 x 2y x 4y 4xy 8 2 2 1 x 4y 2 x2 4y2 2 8y2 8y 2 0 y 3 2 x 2y 8 x 2 2y x 2 2y x 1 Trang 5
6. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định – chuyên Toán - 2018-2019) 4 4 x y 3 x y Giải hệ phương trình: . 6 x y 5 x y Lời giải 4 4 x y 3 x y Giải hệ phương trình: (2) 6 x y 5 x y Đặt S = x + y 0; P = xy 0, ta có: 4S 2 S 3 S 5S 6 0 8 P S 2; P (2) 4S 5 6 P S 5 S 3 S 3; P 2 S 8 8 Khi đó: S = 2; P khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trình: t 2 2t 0 vô nghiệm 5 5 3 ( ' 0 ) 5 S = – 3; P = 2 khi và chỉ khi x, y là nghiệm của phương trình: 2 t 3t 2 0 t1 1; t2 2 Vai trò của x, y trong hệ (2) như nhau, do vậy hệ (2) có hai nghiệm: (x = – 1; y = – 2), (x = – 2; y = – 1) Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019) 3 3 x y 1 3xy Giải hệ phương trình: . 2 2 x 2xy 2y 5 Lời giải 1 2 2 2 Ta có a3 b3 c3 3abc a b c c b b c c a 2 x3 y3 1 3xy x3 y3 1 3xy 0 x y 1 x y 2 x 1 2 y 1 2 0 x y 1 0 x y 1 Rõ ràng x y 1 là một nghiệm của hệ. x y 1 0 y x 1. Trang 6
7. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Thay vào phương trình còn lại ta được x2 3x 2 0 Giải ra ta được x 1; x 3. Vậy hệ có 3 nghiệm 1;1 , 1; 2 , 3;2 . Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Điện Biên - chuyên 2018-2019) x 16 xy - = y 3 Giải hệ phương trình: . y 9 xy - = x 2 Lời giải ĐK: x 0;y 0 . x 16 x 16 xy xy (1) y 3 y 3 Ta có y 9 y x 5 xy (2) x 2 x y 6 Giải (2) 6y2 6x2 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0 . 3y * Nếu 2x 3y 0 x . 2 3y 3 16 Thay vào (1) ta được y. . 2 2 3 3y2 23 (phương trình vô nghiệm). 2 6 2y * Nếu 3x 2y 0 x . 3 Thay vào (1) ta được y2 9 y 3 . + Với y 3 x 2 (TM). + Với y 3 x 2 (TM). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: x; y 2;3 ; x; y 2; 3 . Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019) 2x2 xy y2 3y 2 Giải hệ phương trình . 2 2 x y 3 Lời giải Trang 7
8. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 2 2 2x xy y 3y 2 1 Ta có: 2 2 x y 3 2 Từ (1) ta có y2 y x 3 2 2x2 0 . Ta xem là phương trình bậc hai theo biến y (x là tham số). x 3 2 4 2 2x2 x2 6x 9 8 8x2 9x2 6x 1 3x 1 2 0 . Suy ra phương trình có 2 nghiệm là : x 3 3x 1 x 3 3x 1 y 2x 2 và y x 1. 2 2 + Nếu y 2x 2 . Thay vào phương trình (2) ta được : x2 2x 2 2 3 x2 4x2 8x 4 3 3x2 8x 7 0 (phương trình vô nghiệm). + Nếu y x 1. Thay vào phương trình (2) ta được: x2 x 1 2 3 2x 1 3 x 2 y 1 . Vậy tập nghiệm S 2; 1  . Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019) 2x y 9 36 x2 0 Giải hệ phương trình . 2 y xy 9 0 Lời giải 2x y 9 36 x2 0 (1) Điều kiện 2x y 9 0 , ta có 2 y xy 9 0 (2) Phương trình (2) 2y x 2 x2 36 2 2x y 9 0 x 6 Suy ra (1) 2x y 9 2y x 0 thỏa điều kiện. 2y x 0 y 3 x 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm . y 3 Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Dak Nông - chuyên 2018-2019) 2x 3y xy 5 Giải hệ phương trình 1 1 . 1 x y 1 Lời giải Điều kiện: x 0;y 1. 2x 3y xy 5 2x 3y xy 5 2x 2y 6 1 1 1 y 1 xy y 1 xy x y 1 x 3 y x 3 y x 3 y 2 y 1 y(3 y) y 1 y(3 y) y 2y 1 0 Trang 8
9. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x 3 y x 2 2 (thỏa mãn điều kiện) (y 1) 0 y 1 Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắk - chuyên 2018-2019) 2 2 2 (2x y)(x y ) 2x 6x xy 3y (1) Giải hệ phương trình: 2 2 2 3(x y) 7 5x 5y 14 4 2x x (2) Lời giải 2 2 2 (2x y)(x y ) 2x 6x xy 3y (1) Hệ phương trình: 2 2 2 3(x y) 7 5x 5y 14 4 2x x (2) Phương trình (1): (2x y)(x2 y2 x 3) 0 2x y . Thế vào (2): 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 * . Đánh giá vế trái của (*): 3(x 1)2 4 5(x 1)2 9 5 . Và đánh giá vế phải của (*): 4 2x x2 5 (x 1)2 5 . Dấu bằng xảy ra khi x 1. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) ( 1; 2) . Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên - chuyên 2018-2019) x2 y2 x y (x 1)(y 1) 2 2 Giải hệ phương trình x y 1 y 1 x 1 Lời giải x y x2 y2 x y (x 1)(y 1) x(x 1) y(y 1) (x 1)(y 1) 1 y 1 x 1 2 2 2 2 x y x y 2 2 1 1 x y 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x 1 x u y 1 u v 1 u 1 u 0 Đặt , ta có hệ . Giải hệ ta được  y u2 v2 1 v 0 v 1 v x 1 Trang 9
10. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x 1 y 1 x 1 TH1: y y 0 0 x 1 x 0 y 1 x 0 TH2: y y 1 1 x 1 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (1;0);(0;1) Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn - chuyên 2018-2019) x y 3 6 Giải hệ phương trình . 2 2 2x 3xy y 0 Lời giải x y 3 6 1 y x , ĐK : y 3 . Ta có 2 x y 2x y 0 . 2 2 y 2x 2x 3xy y 0 2 x 6 x 3 6 x * Với y x thay vào (1) ta được 2 . x 13x 33 0 x 6 13 37 x L 13 37 13 37 x y . 2 2 2 13 37 x TM 2 x 6 2x 3 6 x * Với y 2x thay vào (2) ta được 2 x 14x 33 0 x 6 x 11 L x 3 y 6 . x 3 TM 13 37 13 37 Vậy hệ có 2 nghiệm ; ; 3;6 . 2 2 Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang - chuyên 2018-2019) 2 x xy x 3y 6 0 Giải hệ phương trình 2 5x 6 16 3y 2x 2x y 4. Trang 10