Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 5: Hàm số - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 5: Hàm số - Năm học 2018-2019

1. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 Chuyờn đề 5: HÀM SỐ Cõu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bỡnh Định - chuyờn 2018-2019) Cho parabol P : y 2x2 và đường thẳng d : y 2x m 1, với m là tham số. Tỡm a để d cắt P tại hai điểm phõn biệt M , N cú hoành độ xM , xN sao cho 8 1 K đạt giỏ trị nhỏ nhất. xM xN 2xM xN Lời giải Phương trỡnh hoành độ của P và d là: 2ax2 4x 2a2 2ax2 4x 2a2 0 * Để d cắt P tại hai điểm phõn biệt M , N thỡ * phải cú hai nghiệm phõn biệt , nghĩa là 0 4 2 4.2a.2a2 0 16 16a3 0 1 a3 0 1 a 1 a a2 0 2 1 3 1 a a 0 0 a 1 4 4 Ngoài ra, ta cú: 4 16 16a3 1 1 a3 4 16 16a3 1 1 a3 x x M 2.2a a N 2.2a a 1 1 a3 1 1 a3 2 x x M N a a a 1 1 a3 1 1 a3 2x .x 2. . 2a M N a a 8 1 8 1 1 BĐT Cụ si 1 Mà K 4a 2 4a. 2 2 2 xM xN 2xM xN 2a 2a 2a a Do đú K đạt giỏ trị nhỏ nhất, ngĩa là 1 2 4a 2 2 8a2 4 2a 1 0 a 2a 4 Trang 1
2. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 2 Vậy a thỡ thỏa món yờu cầu đề bài. 4 Cõu 2. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyờn 2018-2019) 1 1 Cho Parabol (P) : y x 2 và đường thẳng (d) : y m 1 x m2 (m là tham số). 2 2 Với giỏ trị nào của m thỡ đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm A(x1;y1),B(x2;y2) sao cho biểu thức T y1 y2 x1x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất. Lời giải - Phương trỡnh hoành độ giao điểm 1 1 x2 m 1 x m2 x2 2 m 1 x 2m2 1 0 (1) 2 2 - Để (d) cắt (P) tại hai điểm A(x1;y1),B(x2;y2) thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm. 2 D ' 0 m 1 2m2 1 2m m2 0 0 m 2. Vậy với 0 m 2 thỡ đường thẳng(d)cắt Parabol (P) tại hai điểm A(x1;y1),B(x2;y2) x1 x2 2 m 1 Khi đú theo định lý Viet thỡ 2 x1x2 2m 1 1 Ta cú y (m 1)x m2 1 1 2 1 y (m 1)x m2 1 2 2 2 Do đú T y1 y2 x1x2 m 1 x1 x2 2m 1 x1x2 2 2 2 m 1 4m2 2 2m2 4m 2 2 m 1 ,m 0,2. Đặt t m 1. Do m 0,2 t  1,1 t 2 0,1. 2 Nờn T 2 2 m 1 2 2t 2 0. 2 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của T bằng 0 đạt được khi t 2 1 m 1 1 m 0;m 2. Cõu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bỡnh Định - 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng d cú hệ số gúc k đi qua điểm M(1;-3) cắt cỏc trục Ox, Oy lần tượt tại A và B. a) Xỏc định tọa độ cỏc điểm A,B theo k b) Tớnh diện tớch tam giỏc OAB khi k 3 Lời giải Trang 2
3. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 Gọi pt đường thẳng d cú hệ số gúc k là y kx b a) M(1;-3) ϵ d nờn: 3 k.1 b b 3 k Khi đú đường thẳng d cú dạng: y kx 3 k Nếu k 0,y 3 thỡ M d trỏi với giả thiết, suy ra k 0 3 k Đường thẳng d cắt Ox tại A nờn A(x ;0) d : kx 3 k 0 x 0 0 0 k 3 k A ;0 k Đường thẳng d cắt Oy tại B nờn B 0; y0 d : y0 k.0 3 k 3 k B 0; 3 k 5 b) Khi k 3 thỡ A ;0 ; B 0; 5 2 5 OA ;OB 5 2 Tam giỏc OAB vuụng tại O 1 1 5 25 s OA.OB . .5 (đơn vị diện tớch) ABC 2 2 2 4 Cõu 4. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - chuyờn 2018-2019) Cho đường thẳng (d) : y ax b . Tỡm a,b biết đường thẳng (d) tiếp xỳc với parabol (P) : y x2 tại điểm A( 1;1) . Lời giải Vỡ đường thẳng (d) : y ax b đi qua điểm A( 1;1) nờn ta cú: 1 a b b a 1 (1) Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P): ax b x2 x2 ax b 0 (2) Thay (1) vào (2) được: 2 x 1 x ax a 1 0 (x 1)(x 1 a) 0 x a 1 Vỡ (d) tiếp xỳc với parabol (P) : y x2 tại điểm A( 1;1) nờn phương trỡnh (2) cú nghiệm kộp x1 x2 1 1 a 1 a 2 b 2 1 1 Vậy a 2;b 1. Trang 3
4. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 Cõu 5. (Tuyển sinh Thừa Thiờn Huế - chuyờn Toỏn quốc học 2018-2019) 1 11 3 Cho parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x . Gọi A, B là cỏc giao điểm của 4 8 2 P và d. Tỡm tọa độ điểm C trờn trục tung sao cho CA CB cú giỏ trị nhỏ nhất. Lời giải 1 11 3 Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trỡnh: x2 x . 4 8 2 3 Phương trỡnh này cú hai nghiệm: x 4 và x . 2 3 9 Suy ra A 4;4 , B ; . 2 16 Dễ thấy hai điểm A, B cựng nằm về một phớa so với trục tung. Lấy điểm A' 4;4 đối xứng với A qua trục tung. Khi đú CA CB CA' CB A' B , nờn CA CB đạt giỏ trị nhỏ nhất khi và chỉ khi A',C, B thẳng hàng, tức là khi C là giao điểm của đường thẳng A' B với trục tung. Phương trỡnh đường thẳng d ' đi qua A' và B cú dạng y ax b. 5 4 4a b a 8 5 3 Ta cú hệ 9 3 . Suy ra d ': y x . a b 3 8 2 16 2 b 2 3 Vậy C 0; . 2 Cõu 6. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam – chuyờn Toỏn - 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) cú phương trỡnh y x2 và hai đường thẳng (d): y m ; (d’): y m2 (với 0 m 1). Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt A, B; đường thẳng (d’) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt C, D (với hoành độ điểm A và D là số õm). Tỡm m sao cho diện tớch hỡnh thang ABCD gấp 9 lần diện tớch tam giỏc OCD. Lời giải Tớnh được A m;m , B m;m ,C m;m2 , D m;m2. 3 2 Tớnh được S OCD m ; SABCD m m m m .( do 1 m 0 ) Trang 4
5. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 2 3 Do SABCD 9.S OCD m m m m 9m 10m m m m 1 0 3 2 1 2 1 Đặt m t 0 10t t t 1 0 t 10t 6t 2 0 t 2 2 1 1 Suy ra m . Kết luận, m là giỏ trị cần tỡm. 4 4 Cõu 7. (Tuyển sinh tỉnh Điện Biờn - chuyờn 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) : y 2x 3 và Parabol (P) : y x2 . Tỡm tọa độ cỏc giao điểm A, B của (d) và (P) . Tớnh độ dài đường cao OH của tam giỏc OAB . Lời giải Phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 2 2 x 1 2x 3 x x 2x 3 0 . x 3 + Với x 1 y 1. + Với x 3 y 9 . Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là A(1;1), B( 3;9) . 3 Gọi C, D lần lượt là giao điểm của (d) và cỏc trục Ox,Oy . Khi đú C ;0 , D 0;3 . 2 Đường cao OH của tam giỏc OAB cũng chớnh là đường cao OH của tam giỏc vuụng OCD . 3 .3 3 OC.OD 3 5 Ta cú OC ;OD 3 OH 2 . 2 2 2 2 5 OC OD 3 2 3 2 3 5 Vậy OH . 5 Trang 5
6. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 Cõu 8. (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyờn 2018-2019) 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol P : y x2 và đường thẳng d : x 2y 12 0 . 4 a) Tỡm tọa độ giao điểm A và B của d và P . b) Tỡm tọa độ điểm C nằm trờn P sao cho tam giỏc ABC vuụng tại C. Lời giải 1 a) Ta cú d : y x 6 . 2 1 2 1 x 6 y 9 Phương trỡnh hoành độ giao điểm x x 6 . 4 2 x 4 y 4 Vậy 2 giao điểm A 6;9 , B 4;4 . b) Cỏch 1. 1 2 Gọi C c ; c P c 6, c 4 là điểm cần tỡm. 4 2 2 2 2 1 2 1 4 7 2 Ta cú AB 125 ; AC c 6 c 9 c c 12c 117 ; 4 16 2 2 2 2 1 2 1 4 2 BC c 4 c 4 c c 8c 32 . 4 16 Tam giỏc ABC vuụng tại C khi và chỉ khi AB2 AC 2 BC 2 1 7 1 125 c4 c2 12c 117 c4 c2 8c 32 16 2 16 1 9 1 1 1 1 c4 c2 4c 24 0 c4 c3 c3 c2 4c2 8c 12c 24 0 8 2 8 4 4 2 1 1 c3 c 2 c2 c 2 4 c 2 12 c 2 0 8 4 1 3 1 2 c 2 c c 4c 12 0 8 4 c 2 0 1 1 c3 c2 4c 12 0 8 4 c 2 n c 4 l . c 6 l Vậy C 2;1 là điểm thỏa đề bài. Cỏch 2: 1 2 Gọi C c ; c P c 6, c 4 . 4 13 Ta gọi M là trung điểm của AB, suy ra M 1; . 2 Trang 6
7. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 1 5 5 Ta cú ABC vuụng tại C nờn MC AB (đường trung tuyến ứng với cạnh 2 2 huyền bằng nửa cạnh huyền) 2 2 1 2 13 125 Suy ra c 1 c . 4 2 4 1 9 1 1 1 1 c4 c2 2c 12 0 c4 c3 c3 c2 2c2 4c 6c 12 0 16 4 16 8 8 4 1 1 c3 c 2 c2 c 2 2c c 2 6 c 2 0 16 8 x 2 n 1 3 1 2 c 2 c c 2c 6 0 x 6 l 16 8 x 4 l Vậy điểm C 2;1 là điểm thỏa đề bài. Cõu 9. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yờn - chuyờn 2018-2019) a) Tỡm cỏc giỏ trị của m để đồ thị hàm số y x2 và y x m cắt nhau tại 2 điểm phõn biệt 8 8 A x1; y1 ; B x2 ; y2 sao cho x1 x2 y1 y2 162 . 3 b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để M x4 x 1 2x2 2x là số chớnh phương. Lời giải a) Phương trỡnh hoành độ giao điểm x2 x m x2 x m 0 * 1 Parabol và đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm phõn biệt khi 0 1 4m 0 m 4 x1 x2 1 Theo bài ra x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh * khi đú ta cú x1x2 m Ta cú: 8 8 8 8 x1 x2 y1 y2 162 x1 x2 x1 m x2 m 162 8 2 2 2 x1 x2 162 x1 x2 3 x1 x2 4x1x2 3 1 1 4m 3 m 2 1 Vậy m 2 3 b) M x4 x 1 2x2 2x là số chớnh phương nờn x4 x3 x2 x 1 a2 với a là số 2 2 tự nhiờn. Suy ra: 4x4 4x3 4x2 4x 4 4a2 2x2 x 2x2 x 2 4a2 2 4a2 2x2 x Trang 7
8. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 2 Mà 2x2 x 1 4x4 4x3 5x2 2x 1 2 TH1: 4x4 4x3 5x2 2x 1 4x4 4x3 4x2 4x 4 x2 2x 1 4 x 1 4 2 2 Khi đú: x 1 0  x 1 1 x 0;1;2 Thay vào thấy x 0 thỏa món. 2 2 TH2: 4x4 4x3 5x2 2x 1 4x4 4x3 4x2 4x 4 2x2 x 1 4a2 2x2 x 2 Do đú: 4a2 2x2 x 1 4x4 4x3 5x2 2x 1 4x4 4x3 4x2 4x 4 x 1 2 4 x 3; x 1 (TM) Cõu 10. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam - chuyờn 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) cú phương trỡnh y x2 và hai đường thẳng (d): y m ; (d’): y m2 (với 0 m 1). Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt A, B; đường thẳng (d’) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt C, D (với hoành độ điểm A và D là số õm). Tỡm m sao cho diện tớch hỡnh thang ABCD gấp 9 lần diện tớch tam giỏc OCD. Lời giải 2 2 Tớnh được A - m;m , B m;m ,C m;m , D -m;m . S m3 S m m2 m m 1 m 0 Tớnh được OCD ; ABCD .( do ) S 9.S m m2 m m 9m3 Do ABCD OCD 10m m m m 1 0 3 2 1 2 1 Đặt m t 0 10t t t 1 0 t 10t 6t 2 0 t 2 2 1 1 Suy ra m . Kết luận, m là giỏ trị cần tỡm. 4 4 Cõu 11. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyờn 2016-2017) Tỡm cỏc tọa độ giao điểm của đường thẳng y x 2 và parabol y x2. Lời giải 2 2 x 1 Xột phương trỡnh x x 2 x x 2 0 x 2. Với x 1 y 1; với x 2 y 4 . Trang 8
9. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 Tọa độ cỏc giao điểm cần tỡm là 1;1 và 2;4 . Cõu 12. (Tuyển sinh tỉnh Thỏi Bỡnh - chuyờn 2018-2019) 1 a. Cho hàm số y x2 . Điểm D cú hoành độ x 2 thuộc đồ thị hàm số. Tỡm toạ 2 độ điểm D. b. Tỡm giỏ trị của a và b để đường thẳng d: y ax b 1 đi qua hai điểm A 1;1 và B 2;3 . Lời giải 1 a.Cho hàm số y x2 . Điểm D cú hoành độ x 2 thuộc đồ thị hàm số. Tỡm toạ độ 2 điểm D. 1 2 Với x 2 y 2 2 2 Suy ra điểm D 2;2 b.Tỡm giỏ trị của a và b để đường thẳng d: y ax b 1 đi qua hai điểm A 1;1 và B 2;3 Đường thẳng d: y ax b 1 đi qua hai điểm A 1;1 và B 2;3 nờn ta cú hệ phương a b 1 1 trỡnh: 2a b 1 3 a b 2 a 2 2a b 4 b 0 Vậy a 2;b 0 Cõu 13. Tuyển sinh tỉnh Yờn Bỏi – Chuyờn 2018-2019) Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y mx m 1 (với m là tham số). Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phõn biệt sao cho tam giỏc OAB cõn tại O (với O là gốc toạ độ). Lời giải Phương trỡnh hoành độ giao điểm của d và P là : 2 2 x 1 x mx m 1 x mx m 1 0 x m 1 Suy ra A( 1;1) và B m 1; (m 1)2 . Trang 9
10. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYấN NĂM 2018-2019 m 2 Để tồn tại tam giỏc OAB cần điều kiện (*) m 1 Khi đú OA 2 ; OB (m 1)2 (m 1)4 Vỡ tam giỏc OAB cõn tại O nờn OA OB hay 2 (m 1)2 (m 1)4 (m 1)2 (m 1)4 2 (1) Đặt t m 1 2 (t 0) 2 t 1 Khi đú (1) trở thành: t t 2 t 2 (loaùi) 2 m 0 Với t 1 ta cú (m 1) 1 m 2 Đối chiếu điều kiện, ta được m 0 thoả món đầu bài. Trang 10