Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình - Năm học 2018-2019

1. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Chuyên đề 6: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019) Một nhà toán học trẻ chưa đến 40 tuổi, khi được hỏi: bao nhiêu tuổi, đã trả lời như sau: “Tổng, hiệu, tích, thương của tuổi tôi và tuổi con trai tôi cộng lại bằng 216”. Hỏi nhà toán học trẻ bao nhiêu tuổi? Lời giải Gọi a là số tuổi của nhà toán học trẻ và b là số tuổi của con trai ông. Điều kiện a, b ¥ *, a 40. a Theo bài ra ta có phương trình a b a b ab 216 b 2ab ab2 a 216b a b 1 2 216b 1 Vì b 1, b 1 nên a  b 2 2 a kb, k ¥ * thay vào (1) ta được kb b 1 216b k b 1 216 2 b 1 vừa là số chính phương lớn hơn 1 vừa là ước của 216 6.4.9 6.36 Ta có bảng sau 2 b 1 4 9 36 b 1 2 5 k 54 24 6 a kb 54 (loại) 48 (loại) 30 (tm) Vậy nhà toán học trẻ 30 tuổi. Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019) Tìm một số có hai chữ số biết rằng: Hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng 18 (số đảo ngược của một số là số thu được bằng cách viết các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại) và tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618. Lời giải Số có 2 chữ số có dạng xy , điều kiện: x, y 1;2;3;...;9} Số đảo ngược của xy là yx . xy 10x y; yx 10y x Trang 1
2. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 xy yx 18 Theo đề ta có: 2 xy yx 618 10x y (10y x) 18 2 10x y (10y x) 618 9x 9y 18 2 10x y (10y x) 618 x y 2 2 2 x 100y 20xy 10x y 618 (2) Thay x 2 y vào (2) ta được: 2 2 y 100y2 20 2 y y 10 2 y y 618 4 y2 4y 100y2 40y 20y2 20 10y y 618 121y2 55y 594 0 y 2 (TM§K) 27 y (lo¹i) 11 Với y 2 x 4 Vậy số cần tìm là 42 Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019) 1 Hai máy cày cùng làm việc trong 12 giờ thì cày được khu đất. Nếu máy cày thứ nhất 10 làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy cày thứ hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai máy cày được 25% khu đất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy cày trong bao lâu? Lời giải Gọi x (giờ) là thời gian máy cày 1 làm một mình xong khu đất. y (giờ) là thời gian máy cày 2 làm một mình xong khu đất. Điều kiện x, y 12 . 1 1 Mỗi giờ máy 1 và máy 2 làm được tương ứng là và khu đất. x y 1 12 12 1 Do 2 máy cùng cáy trong 12giờ thì được khu đất nên ta có phương trình 10 x y 10 1 Nếu máy 1 làm một mình 42 giờ và máy 2 làm một mình 22 giờ thì làm được 25% 4 42 22 1 khu đất nên ta có phương trình . x y 4 12 12 1 1 1 x y 10 x 300 x 300 Suy ra . 42 22 1 1 1 y 200 x y 4 y 200 Trang 2
3. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Vậy máy 1 làm một mình trong 300 giờ thì xong khu đất. Máy 2 làm một mình trong 200 giờ thì xong khu đất. Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Dak Nông - chuyên 2018-2019) Cho quãng đường từ Đăk Mil đi thành phố Hồ Chí Minh dài 300 km. Cùng một lúc xe ô tô thứ nhất xuất phát từ Đăk Mil đến thành phố Hồ Chí Minh, xe ô tô thứ hai đi từ thành phố Hồ Chí Minh về Đăk Mil. Sau khi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết thời gian đi cả quãng đường từ Đăk Mil đi thành phố Hồ Chí Minh của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30 phút. Lời giải 5 Đổi 2 giờ 30 phút = giờ 2 Gọi vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là x (km/h), y (km/h). Điều kiện: y > x > 0. Sau 3 giờ, xe thứ nhất đi được 3x (km) và xe thứ nhất đi được 3y (km) Ta có phương trình: 3x 3y 300 x y 100 300 Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường từ Đăk Mil đi thành phố Hồ Chí Minh là (h), x 300 thời gian xe thứ 2 đi hết quãng đường từ thành phố Hồ Chí Minh về Đăk Mil là (h).(1) y 300 300 5 60 60 1 Ta có phương trình: (2) x y 2 x y 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x y 100 y 100 x 60 60 1 60 60 1 (3) x y 2 x 100 x 2 Giải phương trình (3) được: x 300 ; x 40 Với x 300 thì y 200 (không thỏa mãn điều kiện) Với x 40 thì y 60 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là 40 km/h, 60 km/h. Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019) Một nhà toán học trẻ chưa đến 40 tuổi, khi được hỏi: bao nhiêu tuổi, đã trả lời như sau: “Tổng, hiệu, tích, thương của tuổi tôi và tuổi con trai tôi cộng lại bằng 216”. Hỏi nhà toán học trẻ bao nhiêu tuổi? Lời giải Gọi a là số tuổi của nhà toán học trẻ và b là số tuổi của con trai ông. Điều kiện a, b ¥ *, a 40. a Theo bài ra ta có phương trình a b a b ab 216 b 2ab ab2 a 216b a b 1 2 216b 1 Vì b 1, b 1 nên a  b Trang 3
4. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 a kb, k ¥ * thay vào (1) ta được kb b 1 2 216b k b 1 2 216 b 1 2 vừa là số chính phương lớn hơn 1 vừa là ước của 216 6.4.9 6.36 Ta có bảng sau b 1 2 4 9 36 b 1 2 5 k 54 24 6 a kb 54 (loại) 48 (loại) 30 (tm) Vậy nhà toán học trẻ 30 tuổi. Trang 4