Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 7: Hình học - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 7: Hình học - Năm học 2018-2019

1. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Chuyên đề 7: HÌNH HỌC Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019) Cho điểm M thuộc nữa đường tròn O đường kính AB M A, M B, MA MB . Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại C. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM , BM theo thứ tự tại D, H. a)Chứng minh rằng: CA CH. b)Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên tiếp tuyến tại A của O , F là hình chiếu vuông góc của D trên tiếp tại B của. Chứng minh rằng: E, M , F thẳng hàng. c)Gọi S1, S2 theo thứ tự là diện tích của các từ giác ACHE và BCDF. Chứng minh rằng: 2 CM S1 .S2 . Lời giải D I F M E H A B C O a)Tứ giác AMHC nội tiếp đường tròn (Vì ·AMH ·AMH 90 ) HAC CMH 45 ( Hai góc cùng chắn cung H»C ) ACH vuông cân. AC CH b)Tứ giác MHCA thuộc đường tròn đường kính AH , mà EACH là hình vuông. EACH thuộc đường tròn đường kính AH EACHM nội tiếp đường tròn Vì EACH là hình vuông nên CE AH EC cũng là đường kính. EM  MC 1  Trang 1 
2. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Ta lại có: H· MI H· DI H· AC C· MH (do các tứ giác MHID, MACH nội tiếp) C· MH H· MI 45 MC  MI 2 Từ 1 , 2 M , I, E thẳng hàng. Chứng minh tương tự, ta được M , I, F thẳng hàng. Vậy M , I, E, F thẳng hàng. c)Các tứ giác EACH, FDCB là hình vuông. 2 2 S1  S2 AC CB S1  S2 AC CB AC CB AO OC OB OC R OC R OC R2 OC 2 OM 2 OC 2 CM 2 OM 2 OC 2 (đúng vì MCO tù tại C ) 2 Vậy CM S1  S2 . Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019) Cho đường tròn O;R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên dây BC 1 lấy điểm M ( M khác B và C ). Trên dây BD lấy điểm N sao cho M· AN C· AD ; AN 2 cắt CD tại K . Từ M kẻ MH  AB H AB . a) Chứng minh tứ giác ACMH và tứ giác ACMK nội tiếp. b) Tia AM cắt đường tròn O tạiE (E khác A ). Tiếp tuyến tại E và B của đường tròn O cắt nhau tạiF . Chứng minh rằngAF đi qua trung điểm của HM . c) Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M di chuyển trên dây BC M khác B và C . Lời giải a) Ta có: A· CB 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường C 0 tròn) hay A· CM 90 . M A· CM A· HM 900 A· CM A· HM 1800 A tứ giác ACMH nội tiếp O H B K 1 1 0 0 Ta lại có M· AK C· AD .90 45 . N 2 2 D  Trang 2 
3. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 1 1 M· CK sđ D»B .900 450 2 2 M· AK M· CK tứ giácACMK nội tiếp. b) Gọi AF MH I ;AM BF P. C P MH / /PB vì cùng vuông góc AB E M MH AH 1 PB AB F I IH AH A IH / /FB 2 O FB AB H B IH MH Từ 1 , 2 suy ra . K FB PB N Ta có: A· EB 900 B· EP 900. D Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì FE FB F· EB F· BE. F· EP 900 F· EB;·FPE 900 F· BE. F· EP F· PE FE FP. Vì FE FP và FE FB do đó FB FP mà F BP BP 2FB. IH MH Suy ra: MH 2IH AF đi qua trung điểm I của MH . FB 2FB c) Vì tứ giác ACMK nội tiếp · · 0 ACM MKN 90 . C Gọi giao điểm của AM và dây DC là G. M G Tứ giác ADNG có N· AG N· DG 450 Q A O B tứ giác ADNG nội tiếp. H A· DN M· GN 900. K N Vì M· KN M· GN 900 D  Trang 3 
4. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 · · tứ giác MGKN nội tiếp AMN AKC. Mà A· MC A· KC vì cùng chắn A¼C nên A· MC A· MN . Kẻ AQ vuông góc với MN tại Q . Khi đó AMC AMQ ch gn AQ AC. Trong đó: AC R2 R2 R 2 không đổi và A là một điểm cố định nên khi M di chuyển trên dây BC thì MN luôn tiếp xúc với đường tròn A;R 2 là một đường tròn cố định. Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC ( M B;M C ). Kẻ MH vuông góc với BC ( H BC ), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai đường thẳng AK và CM giao nhau tại E. a) Chứng minh BE 2 BC.AB. b) Từ C kẻ CN  AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), gọi P là giao điểm của NK và CE. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP. c) Cho BC 2R . Gọi O1,O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MCH và MBH . Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác O1HO2 lớn nhất. Lời giải a) Ta có B· ME B· KE 900 nên tứ giác BMKE nội tiếp. H· KB C· EB mà H· KB B· AE (vì cùng phụ với H· KA ) B· AE C· EB . BEC đồng dạng với BAE (vì ·ABE chung và B· AE C· EB ) BE BC Do đó BE 2 BC.AB. AB BE b) Xét tam giác vuông ABN có CN  AB BN 2 BC.AB mà BE 2 BC.AB suy ra BN BE hay BNE cân tai B suy ra B· NE B· EN . (1) Mặt khác, theo câu trên ta có C· EB B· AE và B· AE B· NP suy raC· EB B· NP . (2)  Trang 4 
5. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Từ (1) và (2) suy ra P· NE P· EN hay PNE cân tại P NP PE . Vì NP PE và BN BE nên BP  NE Suy ra BPlà đường phân giác của các góc E· BN và E· PN . Do đó tâm đường tròn nội tiếp các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP c) Gọi giao điểm của O1O2 với MB, MC lần lượt là I và J . Ta có C· MH M· BH (vì cùng phụ M· CB ) · · Suy ra O1MH O2 BH · · 0 Mặt khác O1HM O2 HB 45 . Suy ra MO1H đồng dạng với BO2 H . O H MH MH MC Do dó 1 mà O2 H HB HB MB O H MC 1 . O2 H MB · · 0 O1H MC O1HO2 : CMB (vì O1HO2 CMB 90 và ). O2 H MB · · · · 0 Suy ra HO2O1 MBC MBC HO2 I 180 . · · 0 Suy ra tứ giác BHO2 I nội tiếp MIJ O2 HB 45 . Suy ra MIJ cân tại M MI MJ . Ta có MO2 I MO2 H (g.c.g) suy ra MI MH và O2 I O2 H . Tương tự cũng có O1H O1 J . Chu vi tam giác O1HO2 là O1H HO2 O1O2 JO1 O1O2 O2 I 2MI 2MH. Ta có MH R . Suy ra chu vi tam giác O1HO2 lớn nhất bằng 2R khi MH R , hay M nằm chính giữa nửa đường tròn đường kính BC. Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kỳ bốn điểm nào cũng có ít nhất ba điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng. Lời giải  Trang 5 
6. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Nếu tất cả 100 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì bài toán hiển nhiên đúng. Nếu không phải cả 100 điểm đều thẳng hàng. Ta chọn ra bốn điểm A, B,C, D mà không phải tất cả đều thẳng hàng. Theo giả thiết trong 4 điểm A, B,C, D phải có 3 điểm thẳng hàng, giả sử 3 điểm A, B,C thuộc đường thẳng d , còn điểm D nằm ngoài đường thẳng d . Ta sẽ chứng minh 96 điểm còn lại thuộc đường thẳng d bằng phương pháp phản chứng. Giả sử trong 96 điểm còn lại, tồn tại điểm E nằm ngoài đường thẳng d . Xét bốn điểm A, B, D, E phải có 3 điểm thẳng hàng. Do 3 điểm A, B, D không thẳng hàng, 3 điểm A, B, E không thẳng hàng nên 3 điểm A, D, E thẳng hàng hoặc 3 điểm B, D, E thẳng hàng. Trường hợp 3 điểm A, D, E thẳng hàng thì 3 điểm B, D, E không thẳng hàng, 3 điểm C, D, E không thẳng hàng, do đó trong 4 điểm B,C, D, E không có 3 điểm nào thẳng hàng, trái với giả thiết. Trong trường hợp B, D, E thẳng hàng thì tương tự, trong 4 điểm A,C, D, E không có 3 điểm nào thẳng hàng, trái với giả thiết. Như vậy ngoài 3 điểm A, B,C thuộc đường thẳng d , phải có 96 điểm nữa cùng thuộc d . Bài toán được chứng minh. Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định 2018-2019) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấyđiểm M tùy ý (M không trùng với B, C, H). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC. a) Chúng minh tứ giác APMQ nội tiếp được trong đường tròn và xác định tâm O của đường tròn này. b) Chứng minh OH  PQ A c) Chứng minh MP MQ AH Lời giải O a) Chứng minh APMQ nội tiếp (O) Xét tứ giác APMQ có: P ·APM 90, ·AQM 90 (gt) Q ·APM ·AQM 180 C tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn H M đường kính AM B Gọi O là trung điểm của AM.  Trang 6 
7. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ b) Chứng minh OH  PQ Ta có: H· PQ H· AC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HQ) H· QP H· AB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HP) Mà H· AC H· AB (do ∆ABC đều, AH đường cao,phân giác) H· PQ H· QP PHQ cân tại H HP HQ (1) Mặt khác OP OQ (do O, Q đều thuộc (O) ) (2) Từ (1) và (2) OH là trung trực của PQ OH  PQ (đpcm) c) Chứng minh MP MQ AH 1 1 S MP.AB MP.BC (vì AB BC ) MAB 2 2 1 1 S MQ.AC MQ.BC (vì AC BC ) MAC 2 2 1 S AH.BC ABC 2 Mà S ABC S MAB S MAC 1 1 1 AH.BC MP.BC MQ.BC 2 2 2 AH.BC BC.(MP MQ) AH MP MQ (dpcm) Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định 2018-2019) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hai điểm M, N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng AM AN AB, AC AB, AC sao cho 1. §Æt AM x, AN y MB NC Chøng minh: MN a x y Lời giải A Ta có: AM AN H 1 MB NC AM AN M 1 a AB AM AC AN N C  Trang 7  B
8. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x y 1 a x a y x(a y) y(a x) (a x)(a y) a2 2ax 2ay 3xy 0 a2 x2 y2 2ax 2by 2xy x2 y2 xy (a x y)2 x2 y2 xy (1) Kẻ MH  AC Ta có M· AH 60 (do ABC đều) 3 AHM vuông tại H: MH x.sin 60 x 2 x AH x.sin 60 2 x HN y 2 Áp dụng ĐL Pitago trong tam giác vuông MNH 2 2 2 2 2 x 3 x 2 2 MN MH HN = y x y xy (2) 2 2 Từ (1) và (2), suy ra: MN 2 (a x y)2 MN a x y x a y a Vì 1 nên x ; 1 nên y a x 2 a y 2 1 x a 2 x y a nên a (x y) 0 hay a x y 0 1 y a 2 Vậy MN a x y (đpcm) Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - Chuyên 2018-2019) Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI  AB,MK  AC ( I AB, K AC ). a. Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn. b. Vẽ MP  BC (P BC) . Chứng minh M· PK M· IP . c. Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất. Lời giải  Trang 8 
9. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 B a) Tứ giác AIMK có: 1 2 A· IM A· KM 900 (GT) I 1 · · 0 AIM AKM 180 1 M 2 P AIMK là tứ giác nội tiếp A O 1 b) Chứng minh tương ta có các tứ K giác BIMP, CKMP nội tiếp 2 1  µ Tứ giác BIMP nội tiếp I1 B2 C  Tứ giác CKMP nội tiếp Cµ 2 P2 µ µ 1 ¼ Mà B2 C2 sđMC 2   P2 I1 (đpcm)  c) Chứng minh tương tự câu b ta được P1 Kµ 1    MPK và MIP có: P2 I1; Kµ 1 P1 MPK : MIP (g.g) MP MK MP2 MI.MK MI MP MI.MK.MP MP2 .MP MP3 Do đó, tích MI.MK.MP lớn nhất MP3 lớn nhất MP lớn nhất M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Vậy khi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC thì tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất. Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - Chuyên 2016-2017) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn O . Các đường cao AK,BM ,CN của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh N· KH M· KH. b) Đường thẳng MN cắt đường tròn O tại hai điểm I, J. Chứng minh AO đi qua trung điểm của IJ.  Trang 9 
10. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 c) Gọi P là trung điểm của BC, diện tích tứ giác AMHN là S. Chứng minh 2.OP2 S. Lời giải a) Chứng minh được tứ giác BNHK và tứ giác A CMHK là các tứ giác nội tiếp. I Chứng minh được tứ giác BNMC nội tiếp. M Chứng minh được N N· BM N· KH; M· CN M· KH; N· BM M· CN. H · · J Từ đó chứng minh được MKH NKH. O b) Kẻ đường kính AS của O; R , nối BS . Ta · · C có BSA ACB (hai góc nội tiếp cùng chắn một K P cung). B Tứ giác BNMC nội tiếp nên ·ANM ·ACB (cùng bù với B· NM ) ·ANM ·ASB S Trong tam giác ABS ta có ·ABS 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B· SA B· AS 900 . Suy ra ·ANM B· AS 900 AO  MN hay AO  IJ. Tam giác OIJ cân ở O OI OJ , AO  IJ suy ra AO đi qua trung điểm IJ. c) Ta có ·ABS S· CA 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) SC  AC;SB  AB CH song song SB (cùng vuông góc BC ) BH song song SC (cùng vuông góc AB ) BHCS là hình bình hành P là trung điểm của HS (vì P là trung điểm của BC ). 1 Do đó OP là đường trung bình của tam giác AHS OP AH. 2 Trong tứ giác ANHM ta có AH 2 NA2 NH 2 MA2 MH 2 2 2 2 2 NA NH 2NA.NH hay NA NH 4S NAH (Vì 2NA.NH 4S NAH ) 2 2 2 2 MA MH 2MA.MH MA MH 4S MAH (Vì 2MA.MH 4S MAH ) 2 2.HA 4SANHM 8.OP2 4S hay 2.OP2 S. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NH NA;MH MA , khi đó M· AN 900 hay B· AC 900 (mâu thuẫn với tam giác ABC nhọn). Do đó không xảy ra dấu bằng, suy ra 2.OP2 S.  Trang 10 