Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 9: Biểu thức - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên - Chuyên đề 9: Biểu thức - Năm học 2018-2019

1. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Chuyên đề 9: BIỂU THỨC Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019) 2018 1 2 1 Tính giá trị biểu thức: P 4x5 4x4 5x3 5x 2 2019 tại x  2 2 1 Lời giải 2 1 2 1 1 2 1 1 1 Ta có: x 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 Đặt A 4x5 4x4 5x3 5x 2 Ta thấy: A 4x3 x2 x 1 x3 5x 2 x3 4x2 4x 1 x 4x2 4x 1 4x2 4x 1 1 4x2 4x 1 x3 x 1 1 2 1 1 Mà 4x2 4x 1 4 2 1 4 2 1 1 0. 2 2 Thay 4x2 4x 1 0 vào A , ta được A 1. Vậy P 1 2018 2019 2020 Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn các điều kiện a b c 6 ; 1 1 1 47 a b c . Tính giá trị của biểu thức . a b b c c a 60 b c c a a b b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên x, y, z thỏa mãn xyz 0 và x5 8y3 7z2 0. 2 2 2 c) Tìm tất cả các số nguyên không âm a,b,c thỏa mãn a b b c c a 6abc và a3 b3 c3 1 chia hết cho a b c 1. Lời giải a b c 6 b c 6 c a 6 a b a) Do a b c 6 nên b c c a a b b c c a a b 6 6 6 1 1 1 47 47 17 3 6 3 6. 3 3 . b c c a a b b c c a a b 60 10 10  Trang 1 
2. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 b) Với mỗi số nguyên k 0 ta có: x5 8y3 7z2 0 k 30 x5 k 30 .8y3 k 30 .7z2 0 5 3 2 k 6 .x 8 k10 .y 7 k15 .z 0. Do đó nếu x0 ; y0 ; z0 là một bộ số nguyên thỏa mãn điều kiện đề bài thì với mỗi số nguyên 6 10 15 k 0 ta cũng có k x0 ;k y0 ;k z0 cũng là một bộ số nguyên khác thỏa mãn điều kiện đề bài. Ta thấy bộ 1; 2; 3 thỏa mãn điều kiện đề bài. Từ đó suy ra tồn tại vô hạn bộ ba số nguyên x, y, z thỏa mãn xyz 0 và x5 8y3 7z2 0. Lưu ý: Học sinh có thể chỉ ra ngay bộ k 6 ; k10 ;k15 với k là số nguyên khác 0 tùy ý là một bộ số nguyên thỏa mãn đề bài. c) Giả sử a;b;c là các số nguyên không âm thỏa mãn đề bài, ta có: 2 2 2 a b b c c a 6abc a2 b2 c2 ab bc ca 3abc (1) Phân tích a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca (2) Từ (1) và (2) a3 b3 c3 3abc 3abc a b c hay a3 b3 c3 3abc a b c 1 . Do a3 b3 c3 1 chia hết cho a b c 1 nên ta được 1 chia hết cho a b c 1 Suy ra a b c 0. Thử lại: a b c 0 thỏa mãn. Vậy có duy nhất bộ số a;b;c 0;0;0 thỏa mãn đề bài. Câu 3. (Tuyển sinh Thừa Thiên Huế - chuyên Toán quốc học 2018-2019) 5x 12 x 32 a) Cho các biểu thức P x và Q x x x 3. Tìm số nguyên x sao x 16 0 cho P x0 và Q x0 là các số nguyên, đồng thời P x0 là ước của Q x0 . x x2 b) Cho t . Tính giá trị biểu thức A theo t. x2 x 1 x4 x2 1 Lời giải 5x 12 x 32 5 x 8 x 4 5 x 8 12 a) Ta có P x 5 . x 16 x 16 x 4 x 4 Suy ra P x0 nguyên x0 4 là các ước nguyên dương của 12 x0 4 4 x 0 0 x0 4 6 x0 4 . x 4 12 x0 64 0 P 0 2 P 4 3 P 64 4 Ta có ; ; . Q 0 3 Q 4 9 Q 64 75  Trang 2 
3. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Vậy x0 4. b) Lời giải 1: 1) Nếu x 0 thì t 0 và A 0. 2 2 1 1 1 1 1 2) Nếu x 0 thì x 1 t 1 x 1 x 1 x x t x t 1 1 2 x2 1. x2 t 2 t 1 1 t 2 Khi đó: A . 1 1 2 x2 1 1 2t x2 t 2 t t 2 Từ hai trường hợp trên suy ra A . 1 2t Lời giải 2: x2 x2 x2 Ta có A 4 2 2 2 2 2 x 2x 1 x x2 1 x2 x x 1 x x 1 2 2 x2 x 1 2x 2 x x x 1 2 t 2 : 2 t : 2 . x x 1 x x 1 x x 1 1 2t Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa – chuyên Toán Lam Sơn 2018-2019) 1 1 1 1. Tính giá trị biểu thức: P 1 1 ... 1 . 1 2 1 2 3 1 2 ... 2018 2. Cho hai số thực a , b lần lượt thỏa mãn các hệ thức a3 3a2 5a 17 0 và b3 3b2 5b 11 0. Chứng minh a b 2 . Lời giải n(n 1) 1. Với n ¥ ,n 1, ta có: 1 2 3 ... n 2 1 (n 1)(n 2) Từ đó suy ra: 1 ,(n ¥ ,n 1) 1 2 3 ... n n(n 1) Cho n các giá trị từ 2,3,...,2018 rồi nhân các biểu thức ta được: 1.4 2.5 2017.2020 1.2.3...2017 4.5...2020 P . .... . . 2.3 3.4 2018.2019 2.3.4...2018 3.4...2019 2020 1010 Vậy P . 3.2018 3027 2. Ta có: a 1 3 2 a 1 14 0 và b 1 3 2 b 1 14 0 Cộng từng vế của hai biểu thức trên ta được: a 1 3 b 1 3 2 a 1 2 b 1 0 . x a 1 3 3 2 2 Đặt đẳng thức trở thành: x y 2x 2y 0 (x y)(x xy y 2) 0 y b 1 2 2 2 2 y 3y x y 0 (do x xy y 2 x 2 0) 2 4 Vậy (a 1) (b 1) 0 a b 2  Trang 3 
4. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Câu 5. Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019) x2 y2 1 Cho biểu thức P . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P trong các trường y x x y hợp sau: a. x, y là các số thực dương. b. x, y là các số nguyên dương. Lời giải x2 x2 y2 a. Ta có: y 2x suy ra 2x y . Tương tự ta có 2y x . y y x x2 y2 1 Suy ra x y . Suy ra P x y 2 . y x x y 1 Dấu '' '' xảy ra khi x y . 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P trên tập số thực dương là 2 . Đạt được khi x y . 2 b. x, y nguyên dương nên x 1, y 1. Suy ra x y 2 . 1 1 1 3 P x y x y x y x y 4 x y 4 1 1 3 5 2 x y .2 . 4 x y 4 2 Dấu '' '' xảy ra khi x y 1. 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của P trên tập số thực dương là . Đạt được khi x y 1. 2 Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019) x 3 x 2 1 1 a) Cho biểu thức A : với x 0 và x 4 . x x 8 x 2 x Tìm giá trị của A tại x 14 6 5 . b) Tính giá trị biểu thức A 12 80 32 3 12 80 32 3 . Lời giải x 3 x 2 1 1 a) Cho biểu thức A : với x 0 và x 4 . x x 8 x 2 x Với x 0; x 4, ta có:  Trang 4 
5. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x 3 x 2 1 1 x 3 x 2 x 2 x 4 A : x . x x 8 x 2 x x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 x x . x 2 x 2 x 4 x 2 x 4 2 2 Ta có x 14 6 5 9 2.3. 5 5 3 5 x 3 5 3 5 3 5. 3 5 3 5 3 5 1 Khi đó, ta có: A . 14 6 5 2. 3 5 4 24 8 5 8 3 5 8 b) Tính giá trị biểu thức A 12 80 32 3 12 80 32 3 . 2 Ta có A2 24 8 4 2 3 2 3 2 A 2 3 2 Do A 0 nên A 2 2 3 . Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019) Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn biểu thức P x4 x2 14x 49 là số nguyên tố. Lời giải P x4 x2 14x 49 7 x x2 7 x x2 . Ta có 7 x x2 1 2 2 x 3 Vì P là số nguyên tố nên 7 x x 1 x x 6 0 x 2 (L) Vậy x 3 P 19 (thỏa mãn). Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Khánh hòa - chuyên 2018-2019) a) Chứng minh rằng với mọi số thựca , b, c ta luôn có: a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca . 1 1 1 1 1 b) Cho ba số x, y, z khác 0 đồng thời thỏa mãn x y z , 4 và 2 x2 y2 z2 xyz 1 1 1 0. Tính giá trị biểu thức Q y2017 z2017 z2019 x2019 x2021 y2021 . x y z Lời giải 2 2 2 2 a) Ta có VT a b c a b c a b 2 a b c c a2 b2 c2 2 ab bc ca VP . (Điều phải chứng minh) b) Ta có:  Trang 5 
6. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 1 1 1 1 1 1 1 2 x y z 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z xyz x y z xyz x y z xy yz zx 2 1 1 1 .( theo câu a) x y z 1 1 1 1 1 1 Mà 0, suy ra 2. (1) x y z x y z 1 1 Mặt khác x y z 2 . (2) 2 x y z Từ (1) và (2) suy ra 1 1 1 1 (xy yz zx)(x y z) xyz x y y z z x 0 x y z x y z x y do đó x2021 y2021, y2017 z2017 , z2019 x2019 . VậyQ 0 . y z z x Câu 9.(Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang - chuyên 2018-2019) 5x 1 1 2x 2 Cho ≠ 1, hãy rút gọn biểu thức sau A x3 1 x2 x 1 1 x Lời giải 5x 1 1 2x 2 A x3 1 x2 x 1 1 x 5x 1 2x 1 2 A 2 x 1 x2 x 1 x x 1 x 1 2 5x 1 2x 1 x 1 2 x x 1 A x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 4 x2 x 1 A x 1 x2 x 1 4 A x 1 Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi - chuyên 2018-2019) a2 a b2 2 2 Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện. b b c 2 2 c c a Chứng minh rằng. a b b c c a 1  Trang 6 
7. TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Lời giải a2 a b2 2 2 Từ điều kiện: b b c . 2 2 c c a Cộng theo vế ta được a b c 0 (1)+(2) ta được a b c2 a2 c a c a b c a hay c b c a Tương tự ta có b a b c –b=(-a)(b-c) và a c a b Nhân theo vế các đẳng thức trên ta được a b b c c a 1 Câu 11.(Học sinh giỏi huyện Hoằng Hóa - 2015-2016) a) Tính A 8 2 15 8 2 15 x6 3x5 3x4 x3 2015 b) Cho x2 – x – 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức: P . x6 x3 3x2 3x 2015 Lời giải a) Ta có A 8 2 15 8 2 15 5 2 15 3 5 2 15 3 ( 5 3)2 ( 5 3)2 5 3 5 3 2 3 b) Ta có: x2 – x – 1 = 0 x2 – x = 1 (x2 – x)3 = 1 x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1. Mặt khác: x2 – x – 1 = 0 x2 = x + 1 x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1. 1 2015 2016 P 1. 1 2015 2016  Trang 7 