Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc 1, Chứng minh rằng: ab bc ca 1 a4 b4 ab b4 c4 bc c4 a4 ca Lời giải 4 4 2 2 ab ab 1 Ta có: a b ab a b 4 4 2 2 a b ab ab a2 b2 ab a b 1 bc 1 ca 1 Tương tự có: ; b4 c4 bc b2 c2 1 c4 a4 ca c2 a2 1 1 1 1 Suy ra VT a2 b2 1 b2 c2 1 c2 a2 1 Đặt a2 x3;b2 y3 'c2 z3 ta có: xyz 1 ( do abc 1) 1 1 1 Suy ra: VT x3 y 3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 Dễ cm đc x3 y3 xy x y 1 1 1 VT xy x y 1 yz y z 1 zx z x 1 z x y VT xyz x y z xyz y z x zxy z x y z x y VT 1 x y z x y z zx y z Vậy VT 1 Dấu “_” xảy ra khi a b c Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn a3 b3 c3 a b c ab bc ac 6 . Chứng minh rằng: 3. b c a Lời giải a3 b3 c3 Đặt P . b c a Có a , b , c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có: 3 a 2 ab 2a b 3 3 3 3 b a b c 2 2 2 bc 2b2 . P 2 a b c ab bc ac , mà c b c a 3 c 2 ac 2c a a b c ab bc ac 6 . P 2 a2 b2 c2 a b c 6 . 2 2 2 Có a b b c a c 0 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 3 a2 b2 c2 a b c .
2. 2 2 Suy ra P a b c a b c 6 . 3 2 Có ab bc ca a2 b2 c2 3 ab bc ac a b c . 1 2 1 2 Do đó 6 a b c ab bc ac a b c a b c a b c a b c 6 0 . 3 3 2 a b c 3 , a b c 9 . 2 Suy ra P .9 3 6 3 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c . 3 a3 b3 c3 Vậy 3. b c a Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: 2 + 6a + 3b + 6 2bc 16 ³ 2 2a + b + 2 2bc 2b2 + 2(a + c) + 3 Lời giải Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc 1 1 1 1 Chứng minh 1. 2 a 2 b 2 c Lời giải 1 1 1 Bất đẳng thức cần chứng minh 1 2 a 2 b 2 c b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 ab bc ca 4 a b c 12 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8 ab bc ca 4 a b c 12 1 2 ab bc ca 4 a b c 8 ab bc ca 3 2 Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có ab bc ca 33 abc 3 . Dấu “=” xảy ra khi a b c 1. Hoàn tất chứng minh. Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab a b 1 Chứng minh rằng: 4b2 1 4a2 1 2 .Lời giải 1 .Từ a + b = 4ab 4ab 2 ab ab . 4 2 a2 b2 a b .Chứng minh được BĐT: Với x, y >0 ta có (*) . x y x y .Áp dụng (*) ta có
3. 2 a b a2 b2 a b 4b2 1 4a2 1 4ab2 a 4a2b b 4ab(a b) (a b) a b 4ab 1 1 = 1 4ab 1 4ab 1 4ab 1 2 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b . 2 Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020)Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh 1 1 1 x y z 9 x y z Lời giải x y Áp dụng bất đẳng thức 2 cho hai số x 0; y 0ta chứng minh được y x 1 1 1 x y z 9 . x y z 1 1 1 Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Chứng minh + + ...+ < 38 . 2 3 400 Lời giải æ ö 1 1 1 ç 1 1 1 ÷ + + ...+ = 2ç + + ...+ ÷. 2 3 400 èç 2 + 2 3 + 3 400 + 400 ø÷ æ ö ç 1 1 1 ÷ < 2ç + + ...+ ÷. èç 2 + 1 3 + 2 400 + 399 ø÷ æ ö ç 1 1 1 ÷ Ta có : 2ç + + ...+ ÷ èç 2 + 1 3 + 2 400 + 399 ø÷ = ( 2 - 1 + 3 - 2 + ...+ 400 - 399). = 2(- 1 + 400)= 38 1 1 1 Vậy + + ...+ < 38 . 2 3 400 Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 (a b c) a b 2c b c 2a c a 2b 4 Lời giải 1 1 1 1 Ta chứng minh bất đẳng thức với x, y > 0. x y 4 x y Thậy vậy, với x, y > 0 thì: 1 1 1 1 1 x y 2 2 2 (x y) 4xy x 2xy y 4xy 0 x y 4 x y x y 4xy x2 2xy y2 0 (x y)2 0 (luôn đúng) 1 1 1 1 Do đó: với x, y > 0. x y 4 x y Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 1 1 ab ab 1 1 ( ) a b 2c (a c) (b c) 4 a c b c a b 2c 4 a c b c
4. bc bc 1 1 b c 2a 4 b a c a Tương tự ta có: ca ca 1 1 c a 2b 4 c b a b Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được: ab bc ca ab 1 1 bc 1 1 ca 1 1 a b 2c b c 2a c a 2b 4 a c b c 4 b a c a 4 c b a b 1 ab ab bc bc ca ca 4 a c b c b a c a c b a b 1 ab bc ab ca bc ca 1 b(a c) a(b c) c(b a) 1 (a b c) 4 a c c b b a 4 a c c b b a 4 1 Do đó VT VP (đpcm). 4 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: a 2b c 4(1 a)(1 b)(1 c) Lời giải Ta có a 2b c 4(1 a)(1 b)(1 c) a 2b c 4(b c)(a c)(a b) Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có a b b c 2 (a b)(b c) (a 2b c)2 4(a b)(b c) (a 2b c)2 (a c) 4(a b)(b c)(a c) Áp dụng bất đẳng thức cô si a 2b c a c 2(a b c) (a 2b c)(a c) (a 2b c)(a c) 1 (a 2b c)(a c) 2 2 1 (a 2b c)(a c) a 2b c (a 2b c)2 (a c) a 2b c 4(a b)(a c)(b c) Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Giải bất phương trình 7x – 2 4x 3 Lời giải 5 7x – 2 4x 3 3x 5 x . 3 5 Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3 Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Rút gọn biêu thức A 2 18 . Lời giải A 2 18 2 2.32 2 3 2 4 2 Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2 y2 z2 x y z 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . x yz y zx z xy Lời giải 2 a 2 b2 c2 a b c Ta chứng minh bất đẳng thức với a,b,c,x, y,z 0 x y z x y z
5. Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số a b c ; x , ; y , ; z x y z 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 2 2 2 ta có x y z x y z x y z x y z 2 a b c 2 . x . y . z a b c x y z 2 a 2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu “=” xảy khi khi x y z y z z x x y Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có yz ; zx ; xy 2 2 2 x2 y2 z2 T y z z x x y x y z 2 2 2 2x2 2y2 2z2 2x y z x 2y z x y 2z x2 y2 z2 2 2x y z x 2y z x y 2z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 x y z x y z 2019 T 2 4 x y z 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x y z 673 2019 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T khi x y z 673 2 Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3; y 3. 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 21 x 3 y y x Lời giải 21 3 x 62 3 21 7 2 T 21x 3y x y y y x 3 3 x y 3 3 x 3 21 7 62 2 y x y 2 14 62 2 80 3 x y 3 3 3 x 3 Dấu “ ” xảy ra y 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 80 khi x = 3; y =3. Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y + z ≤1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 P x 2 y 2 z 2 xy yz zx
6. Lời giải x y z 3 1 2017 Ta có xy yz zx nên 6051 3 3 xy yz zx 1 1 1 Áp dụng BĐT x y z 9 , ta có: x y z 1 1 1 ( x2 y 2 z 2 ) ( xy yz zx) ( xy yz zx) 9   2 2 2 x y z xy yz zx xy yz zx Hay 1 1 1 ( x2 y 2 z 2 2xy 2yz 2zx) 9 2 2 2 x y z xy yz zx xy yz zx 1 2 9 x 2 y 2 z 2 xy yz zx 1 2 2017 Từ đó ta có: P 9 6051 6060 x 2 y 2 z 2 xy yz zx xy yz zx 1 21 2017 푃 = + + ≥ 9 + 6051 = 6060 2 + 2 + 2 + + + + 1 1 P 6060 . Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi x y z = = = 3 3 Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn a3 + b3 + 4 a2 + b2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = . ab + 1 Lời giải Ta có a3 + b3 + 4 = (a3 + b3 + 1)+ 3 ³ 3ab + 3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. a3 + b3 + 4 3(ab + 1) Vì ab + 1 > 0 nên M = ³ = 3. ab + 1 ab + 1 Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM là 3 đạt được khi a = b = 1. +) Vì a 2 b 2 2 nên a 2; b 2. Suy ra a3 b3 4 2 a2 b2 4 2 2 4 . 1 a3 b3 4 Mặt khác 1 do ab 1 1. Suy ra M 2 2 4. ab 1 ab 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ì 2 2 ï a + b = 2 íï Û (a;b) = 0; 2 Ú(a;b) = 2;0 . ï ab = 0 ( ) ( ) îï Giá trị lớn nhất của biểu thức M là 4 2 2 đạt được khi (a;b) = (0; 2)Ú(a;b) = ( 2;0) Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Cho x, y là các số thực dương thỏa x y 1. 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 y2 x 1. x Lời giải Ta có: x y 1 y 1 x thay vào A ta được: 1 1 A 2x2 y2 x 1 2x2 (1 x)2 x 1 x x 1 1 2x2 x2 2x 1 x 1 x2 2x x x x 2 2 1 1 1 1 1 1 x x 4x x 4x 4 x 4 2 x 4
7. 2 1 Dễ thấy x 0,x 2 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 4x 2 4x. 4 x x 2 1 1 1 1 15 Suy ra x 4x 0 4 2 x 4 4 4 1 Dấu "=" xảy ra khi x 2 15 1 Vậy A khi x . min 4 2 Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x y 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 5 P 5xy x 2y 5 Lời giải Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x y 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 5 P 5xy x 2y 5 1 5 1 5 1 5 P = 5xy x 2y 5 5xy (x y) y 5 5xy y 8 1 xy 5 y 8 xy y 8 P 5xy 20 y 8 20 20 x y 1 2 8 xy y 8 y(x 1) 8 3 Ta lại có: 4 20 20 20 5 Khi đó: 1 xy 5 y 8 xy y 8 P 5xy 20 y 8 20 20 1 3 3 P 1 P 5 5 5 3 x 1 Vậy PMin 5 y 2 x y Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Cho x, y là hai số thực thỏa . Tìm giá trị xy 1 x2 y2 nhỏ nhất của biểu thức P . x y Lời giải Với x y, xy 1, ta có x2 y2 (x y)2 2xy 2 P x y x y x y x y 2 Vì x y x y 0; 0 và xy 1. x y 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x y; , ta có x y
8. 2 2(x y) x y 2 2 2 2 2 x y x y Suy ra min P 2 2 . 2 Dấu đẳng thức xảy ra x y (x y)2 2 x y 2 x y 2 . x y 6 2 y 2 2 2 Mà xy 1 (y 2)y 1 y 2y 1 y 2y 1 0 6 2 y 2 2 6 2 6 x x 2 2 Vậy min P 2 2 tại hoặc 2 6 2 6 y y . 2 2 Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2 y2 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 x 3 y . Lời giải 18 6 x y 2xy P 3 x 3 y 9 3 x y xy 2 17 x2 y2 6 x y 2xy 8 x y 2 6 x y 9 2 2 x y 3 2 4. 2 2 2 2 Từ x y 1 chỉ ra được x y 2 2 x y 2; Suy ra 2 3 x y 3 2 3 0. 2 2 x y 3 2 3 19 6 2 P 4 4  2 2 2 19 6 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi x y  2 2 Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn a3 + b3 + 4 a2 + b2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = . ab + 1 Lời giải Ta có a3 + b3 + 4 = (a3 + b3 + 1)+ 3 ³ 3ab + 3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. a3 + b3 + 4 3(ab + 1) Vì ab + 1 > 0 nên M = ³ = 3. ab + 1 ab + 1 Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcM là 3 đạt được khi a = b = 1. +) Vì a2 b2 2 nên a 2; b 2. Suy ra a3 b3 4 2 a2 b2 4 2 2 4 . 1 a3 b3 4 Mặt khác 1 do ab 1 1. Suy ra M 2 2 4. ab 1 ab 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
9. ì 2 2 ï a + b = 2 íï Û (a;b) = 0; 2 Ú(a;b) = 2;0 . ï ab = 0 ( ) ( ) îï Giá trị lớn nhất của biểu thức M là 4 2 2 đạt được khi (a;b) = (0; 2)Ú(a;b) = ( 2;0) Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x 2y 3z 2. xy 3yz 3xz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:S . xy 3z 3yz x 3xz 4y Lời giải Đặt a x;b 2y;c 3z , ta được: a,b,c 0; a b c 2 . ab bc ac Khi đó: S . ab 2c bc 2a ac 2b ab ab ab 1 a b Xét ab 2c ab a b c c a c b c 2 a c b c a b Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a c b c bc 1 b c ac 1 a c Tương tự ta có: ; . bc 2a 2 b a c a ac 2b 2 a b c b b c a c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ; . b a c a a b c b 1 a b b c a c 3 Cộng các vế ta được: S . 2 a b b c a c 2 3 2 Vậy giá trị lớn nhất củaS bằng khi và chỉ khi a b c hay giá trị lớn nhất củaS bằng 2 3 3 2 1 2 khi và chỉ khi x ; y ;z . 2 3 3 9 Câu 22. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020) Cho biểu thức P a4 b4 ab với a,b là các số thực thỏa mãn a2 b2 ab 3 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P . Lời giải Ta có a2 b2 ab 3 a2 b2 3 ab thay vào P ta được. 2 2 P a4 b4 ab a2 b2 2a2b2 ab 3 ab 2a2b2 ab 9 6ab a2b2 2a2b2 ab 2 2 2 2 7 49 49 7 85 9 7ab a b ab 2.ab. 9 ab . 2 4 4 2 4 Vì a2 b2 3 ab , mà a b 2 0 a2 b2 2ab 3 ab 2ab ab 3. 1 Và a b 2 0 a2 b2 2ab 3 ab 2ab ab 1. 2
10. 7 7 7 1 7 9 Từ 1 và 2 suy ra 3 ab 1 3 ab 1 ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 7 81 81 7 1 81 85 7 85 1 85 ab ab ab 4 2 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 2 7 85 1 ab 21 2 4 ab 3 a 3 b 3 Vậy Max P 21. Dấu = xảy ra khi 2 2 v . a b 6 b 3 a 3 ab 1 a 1 a 1 Min P 1. Dấu = xảy ra khi 2 2 hoặc . a b 2 b 1 b 1 Câu 23. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: a b 3ab 1. 6ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 . a b Lời giải (a b)2 Ta có: (a b)2 0 a2 b2 2ab (a b)2 4ab; a2 b2 2 3 2 Từ giả thiết a b 3ab 1 a b 1 3ab 1 a b 4 2 2 3 a b 4 a b 4 0 a b 2 3 a b 2 0 a b (vì a,b 0) 3 3ab 1 (a b) 1 3 1 1 1 a b a b a b 2 2 2 a b 2 2 a2 b2 a2 b2 2 9 9 6ab 3ab 2 7 P a2 b2 2 a2 b2 1 a b a b 9 9 7 a b 1 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng khi a b . 9 a b 3ab 1 3 Câu 24. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a b 3ab 1. 12ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 . a b Lời giải (a b)2 Ta có: (a b)2 0 a2 b2 2ab (a b)2 4ab; a2 b2 2 3 2 Từ giả thiết a b 3ab 1 a b 1 3ab 1 a b 4