Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 3: Bất đẳng thức - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 3: Bất đẳng thức - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. CHUYấN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC Cõu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018) Cho hai số thực dương a , b thỏa món 2a 3b 4 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 2002 2017 Q 2996a 5501b . a b Lời giải 2002 2017 Ta cú Q 2996a 5501b a b 2002 2017 8008a 2017b (5012a 7518b) a b 1 1 2002( 4a) 2017( b) 2506(2a 3b) a b 1 1 2002.2 .4a 2017.2 .b 2506(2a 3b) (BDT CoSi) a b 2002.4 2017.2 2506.4 2018. 1 Do đú Q đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng 2018 khi a và b 1. 2 Cõu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho bốn số thực dương x,y,z,t thỏa món x + y + z + t = 2. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức (x + y + z)(x + y) A = ì xyzt Lời giải Ta cú (x + y + z + t)2(x + y + z)(x + y) 4A = xyzt 4(x + y + z)t(x + y + z)(x + y) ³ . xyzt 4(x + y + z)2(x + y) 4.4(x + y)z(x + y) = ³ . xyz xyz 16(x + y)2 16.4xy = ³ ³ 64. xy xy ị A ³ 16. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ùỡ 1 ùỡ x + y + z + t = 2 ù x = y = ù ù 4 ù ù ù x + y + z = t ù 1 ớù Û ớù z = . ù x + y = z ù 2 ù ù ù x = y ù t = 1 ợù ù ợù 1 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 16, xảy ra khi và chỉ khi x y , z ,t 1 4 2
2. Cõu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bỡnh Định năm 2017-2018) a5 b5 c5 Cho a , b , c là ba số thực dương. CMR: a3 b3 c3 bc ca ab Lời giải a5 b5 c5 a6 b6 c6 (a3 )2 (b3 )2 (b3 )2 Ta cú: bc ca ab abc abc abc abc abc abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz : a5 b5 c5 (a3 )2 (b3 )2 (b3 )2 (a3 b3 c3 )2 (a3 b3 c3 )(a3 b3 c3 ) bc ca ab abc abc abc abc abc abc 3abc Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số a3 ,b3 , c3 ta được: a3 b3 c3 33 a3b3c3 3abc Do đú: a5 b5 c5 (a3 b3 c3 )(a3 b3 c3 ) (a3 b3 c3 )3abc a3 b3 c3 (đpcm) bc ca ab 3abc 3abc Dấu “ ” xảy ra khi a b c . Cõu 4. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Húa năm 2017-2018) 1 1 1 Cho a , b , c là cỏc số dương thay đổi thỏa món: 2017 . a b b c c a Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P . 2a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c Lời giải Đặt x a b ; y = b + c ; z = a + c ; 1 1 1 ị + + = 2017 x y z 1 1 1 P = + + x + 2y + z x + y + 2z 2x + y + z 1 1 4 Ta cú: + ³ x y x + y 1 1 4 y z y z 1 1 4 + ³ x x x + z 1 1 1 ổ 1 1 1 ử ị + + ³ 2ỗ + + ữ x y z ốỗx + y y + z x + zứữ ổ 1 1 1 ử ³ 4ỗ + + ữ ốỗ2x + y + z 2y + x + z 2z + x + yứữ 1 ổ1 1 1ử 2017 ị P Ê ỗ + + ữ= 4ốỗx y zứữ 4
3. 3 Dấu " = " xảy ra khi a b c . 4034 Cõu 5. (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắc năm 2017-2018) Cho hai số thực dương x , y thỏa món xy 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 M x2 y2 x y 1 Lời giải x; y 0 2 Với ta cú: x y 4xy 4 x y 2 . xy 1 Đặt t x y ; t 2 . 3 2 3 2 3 3 t t 2t 1 Khi đú: M x2 y2 x y 2xy t 2 2 . x y 1 x y 1 t 1 t 1 t 2 t 2 3t 1 3 t 1 t 2 t 2 3t 1 3 3 (Vỡ t 2 ). t 1 t 1 x y 2 Vậy min M 3 t 2 x y 1. xy 1 Cõu 6. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2017-2018) Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm thỏa món điều kiện ab bc ca 3 và c a. 1 2 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P . a 1 2 b 1 2 c 1 2 Lời giải Cỏch 1: Theo đề bài ab bc ca 3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cú 3 ab bc ac 33 a2b2c2 abc 1, 1 a b c 2 3 ab bc ac 9 a b c 3, 2 Từ 1 và 2 a b c 3abc. 1 1 1 Đặt x ; y ; z x, y, z 0; z x a 1 b 1 c 1 P x2 2y2 3z2 x2 z2 2y2 2z2 2 x2 y2 z2 P 2 x2 y2 z2 2 xy yz xz . * Ta tỡm giỏ trị nhỏ nhất của xy yz xz . 1 1 1 xy yz xz a 1 b 1 c 1 b 1 a 1 c 1 a b c 3 a b c 3 xy yz xz a 1 b 1 c 1 abc a b c 4 a b c 3 3 a b c 3 xy yz xz abc a b c 4 3abc 3 a b c 12
4. 3 a b c 3 3 a b c 3 3 xy yz xz 3abc 3 a b c 12 a b c 3 a b c 12 4 3 3 P 2. . 4 2 Dấu bằng xảy ra khi x y z a b c 1. 3 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P . 2 1 2 3 1 2 2 1 Cỏch 2: Vỡ a c P a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 2 2 2 P . a 1 2 b 1 2 c 1 2 Ta chứng minh đẳng thức với x, y khụng õm. 1 1 1 x 1 2 y 1 2 1 xy 1 xy x2 y2 2x 2y 2 xy x y 1 2 0 1 xy x2 y2 2xy 2xy 2x 2y 2 xy x y 1 2 0 1 xy x y 2 2 1 xy xy x y 1 xy x y 1 2 0 1 xy x y 2 xy x y 1 xy x y 1 0 xy x y 2 x y 2 xy 1 2 x y 2 0 xy x y 2 xy 1 2 0. Luụn đỳng, dấu " " xảy ra khi x y 1. 1 2 3 1 2 2 1 P a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 P . a 1 2 b 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 1 ab 1 bc 1 ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số khụng õm ta cú 1 1 1 1 1 1 9 x y z 9 x y z x y z x y z 1 1 1 9 9 3 P . 1 ab 1 bc 1 ac 3 ab bc ac 6 2 3 Vậy GTNN của P khi a b c 1. 2 Cõu 7. (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai năm 2017-2018)   Tỡm cỏc chữ số a , b , c biết abc ac 2.cb bc .
5. Lời giải 1 a 9 Điều kiện 0 b, c 9 * a, b, c Ơ   Ta cú abc ac 2.cb bc 100a 10b c 10a c 2 10c b 10b c a 1 90a 2b 21c 90a 2.9 21.9 a 2,3 . a 2 1 1 + TH1. a 1 2b 21c 1 1 2b 21c 0 b b 0 c khụng thỏa món * . 2 21 2 b 0 c + TH2. a 2 2b 21c 2 2 2b 21c 0 b 1 21. b 1 c 0 Kết hợp với * ta được a 2 , b 1, c 0 thỏa món. Vậy a 2 , b 1, c 0 . Cõu 8. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh năm 2017-2018) Cho a,b,c là ba số thực khụng õm thỏa món a b c 1. Chứng minh a 2b c 4 1 a 1 b 1 c . Lời giải Từ giả thiết: a b c 1 1 a b c ;1 b a c ;1 c a b Suy ra a 2b c 4 1 a 1 b 1 c (a b) (b c) 4 a b b c c a Đặt x a b ; y b c ; z c a x, y, z 0 Suy ra x y z 2, ta phải chứng minh x y 4xyz Áp dụng BĐT Cauchy ta cú : x y z x y z 2 (x y).z suy ra 2 2 (x y).z suy ra 1 x y z , do x y 0 suy ra x y (x y)2 z (1) 2 2 Mặt khỏc x y 4xy, do z 0 suy x y z 4xyz (2) Từ (1) và (2) suy ra x y 4xyz suy ra bài toỏn được chứng minh. Cõu 9. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2017-2018) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa món: x y z 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: x 1 y 1 z 1 Q . 1 y2 1 z2 1 x2 Lời giải x 1 y 1 z 1 x y z 1 1 1 Q 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M N 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x x y z Xột M , ỏp dụng kỹ thuật Cụsi ngược dấu ta cú: 1 y2 1 z2 1 x2
6. 2 2 x x 1 y xy xy2 xy2 xy x x x . 1 y2 1 y2 1 y2 2y 2 y yz z zx Tương tự: y ; z ; 1 z2 2 1 x2 2 x y z xy yz zx xy yz zx Suy ra M x y z 3 . 1 y2 1 z2 1 x2 2 2 Lại cú: x2 y2 z2 xy yz zx x y z 2 3 xy yz zx xy yz zx 3 xy yz zx 3 3 Suy ra: M 3 3 . 2 2 2 Dấu “ ” xảy ra x y z . 1 1 1 Xột: N , ta cú: 1 y2 1 z2 1 x2 1 1 1 3 N 1 2 1 2 1 2 1 y 1 z 1 x y2 z2 x2 y2 z2 x2 x y z 3 . 1 y2 1 z2 1 x2 2y 2z 2x 2 2 3 3 Suy ra: N 3 . 2 2 Dấu “ ” xảy ra x y z 1 Từ đú suy ra: Q 3. Dấu “ ” xảy ra x y z 1. Vậy Qmin 3 x y z 1. Cõu 10. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2017-2018) Cho cỏc số thực a,b,c thay đổi luụn thỏa món: a 1,b 1,c 1 và ab bc ca 9. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 . Lời giải + Tỡm giỏ trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta cú: a2 b2 2ab 2 2 2 2 2 b c 2bc 2 a b c 2 ab bc ca 2 2 c a 2ca P a2 b2 c2 ab bc ca 9 a b c 1 Dấu ‘=’ xảy ra a b c 3 . ab bc ca 9 + Tỡm giỏ trị lớn nhất. a 1 a 1 b 1 0 ab a b 1 0 Vỡ b 1 b 1 c 1 0 bc b c 1 0 c 1 c 1 a 1 0 ca c a 1 0
7. ab bc ca 2 a b c 3 0 ab bc ca 3 3 a b c 6 2 a b c 2 36 a2 b2 c2 2 ab bc ca 36 P 36 2 ab bc ca 18 a 4,b c 1 Dấu ‘=’ xảy ra b 4,c a 1. c 4,a b 1 Vậy GTNN của P là 9 , xảy ra khi và chỉ khi a b c 3 . a 4,b c 1 GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi b 4,c a 1. c 4,a b 1 Cõu 11. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phũng năm 2017-2018) 1 1 1 1 a) Cho hai số x 0, y 0 . Chứng minh rằng  x y 4 x y 1 1 1 b) Cho ba số dương a, b, c thỏa món 16 . a b c 1 1 1 8 Chứng minh rằng:  3a 2b c a 3b 2c 2a b 3c 3 Lời giải a) Xột hiệu: 2 2 1 1 1 1 x y 1 x y 4xy x y 0 (do x 0; y 0 ) 4 x y x y 4xy x y 4xy x y 4xy x y 1 1 1 1 Vậy  x y 4 x y Dấu “=” xảy ra x y  b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta cú: 1 1 1 1 1 1 ; 3a 2b c 3a 2b c 4 3a 2b c 9 1 1 1 Chứng minh được với a;b;c 0 ta cú  a b c a b c Áp dụng bất đẳng thức trờn ta được: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 4 3a 2b c 4 3a 9 b c 4 3a 9b 9c ; 1 1 1 2 1 Từ (1) và (2) suy ra . 3a 2b c 4 3a 9b 9c
8. Chứng minh tương tự ta được: 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 ; . a 3b 2c 4 9a 3b 9c 2a b 3c 4 9a 9b 3c Cộng theo vế của cỏc bất đẳng thức cựng chiều ta được: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 8   16 . 3a 2b c a 3b 2c 2a b 3c 4 3 a b c 4 3 3 a b c 3 Dấu “=” xảy ra 1 1 1 a b c . 16 16 a b c 1 1 1 8 Vậy (đpcm). 3a 2b c a 3b 2c 2a b 3c 3 Cõu 1:(Tuyển sinh tỉnh Hũa Bỡnh năm 2017-2018) x4 + 3x2 + 4 Cho x ẻ Ă , tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . x2 + 1 Lời giải 2 ổx2 + 2 2 ử x2 + 2 = 2 + + = ỗ + ữ+ Ta cú: P x 2 2 ỗ 2 ữ x + 2 ốỗ 2 x + 2ứữ 2 x2 + 2 2 x2 + 2 ³ 2 . + 2 x2 + 2 2 x2 + 2 = 2+ 2 0+ 2 ³ 2+ = 3. 2 ùỡ x2 + 2 2 ù = Dấu "= " xảy ra khi ớù 2 x2 + 2 Û x = 0 . ù ù 2 ợù x = 0 Vậy GTNN của P bằng 3 khi x = 0 . Cõu 12. (Tuyển sinh tỉnh Hũa Bỡnh năm 2017-2018) Cho cỏc số dương a,b,c thỏa món a + b + c = 1. a b c Chứng minh rằng: + + > 2 . 1- a 1- b 1- c Lời giải a b c Ta cú 2 1 a 1 b 1 c
9. a b c 2 a b c a a b c b a b c c a b c 2 b c a c a b 2a 2b 2c 2 2 a b c 2 b a c 2 c a b a b c 1 2 a b c 2 b a c 2 c a b Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta cú a a a b c a b c 2 a b c 2 a b c b b b a c 2 b a c 2 b a c a b c c a b 2 c a b c c a b c 2 c a b a b c a b c 1 2 a b c 2 b a c 2 c a b a b c a b c Dấu “=” xảy ra khi b c a a b c 0 ( vụ lý vỡ a,b,c 0 ). c a b a b c Vậy 2 . 1 a 1 b 1 c Cõu 13. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phỳc năm 2017-2018) Cho x , y là cỏc số thực. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: x2 y2 1 x2 y2 P 2 2 1 x2 1 y2 Lời giải (a b)(1 ab) Đặt a x2 ; b y2 ( a 0 ; b 0 ) thỡ P (1 a)2 (1 b)2 Vỡ a 0 ; b 0 nờn: (a b)(1 ab) a a2b b ab2 a ab2 a 1 b2 a 1 2b b2 a 1 b 2 Lại cú: (1 a)2 (1 a)2 4a 4a a(1 b)2 1 P 4a(1 b)2 4
10. a 1 x 1 Dấu bằng xảy ra: b 0 y 0 . 1 x 1 Vậy max P 4 y 0 . Cõu 14. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yờn năm 2017-2018) Cho hai số thực dương x , y thỏa món điều kiện x y 4 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 35 P 2xy . x2 y2 xy Lời giải 2 35 2 1 32 2 Ta cú: P 2xy 2xy . x2 y2 xy x2 y2 xy xy xy 1 1 4 Với a 0 , b 0 ta cú (*). (Chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc cụ-si). a b a b 2 1 Áp dụng (*) cho hai số dương ; ta được: x2 y2 xy 2 1 1 1 4 8 8 1 2 2. . 2 2 2 2 2 2 2 2 x y xy x y 2xy x y 2xy x y 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cụ – si cho hai số dương x , y ta cú: 2 2 1 2 xy x y 4 xy 4 . xy 4 2 32 32 2xy 2 .2xy 16 xy xy 2 1 32 2 1 1 Do đú P 2xy 16 17 . x2 y2 xy xy xy 2 2 x2 y2 2xy xy 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi x y 2. x y x y 4 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 17 khi x y 2 . Cõu 15. (Tuyển sinh tỉnh Kiờn Giang năm 2017-2018) Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' nội tiếp mặt cầu tõm O (cỏc đỉnh của hỡnh hộp chữ chữ nhật nằm trờn mặt cầu). Cỏc kớch thước của hỡnh hộp chữ nhật lần lượt là a,b,c. Gọi S1 là diện tớch toàn phần của hỡnh hộp chữ nhật, S2 là diện tớch mặt cầu. Tỡm mối liờn hệ giữa a,b,c để tỉ lệ S1 lớn nhất. S2 Lời giải Ta cú S1 2 ab ac bc ,