Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) Một xưởng mỹ nghệ dự định sản xuất thủ công một lô hàng gồm 300 cái giỏ tre. Trước khi tiến hành, xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân nên số giỏ trẻ phải làm của mỗi người giảm 3 cái so với dự định. Hỏi lúc dự định, xưởng có bao nhiêu công nhân? Biết năng suất làm việc của mỗi người như nhau. Lời giải: Gọi x là số công nhân ban đầu của xưởng. (điều kiện x N * ) 300 Khi đó, theo dự định mỗi công nhân phải làm cái giỏ. x 300 Sau khi xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân thì số giỏ mỗi người phải làm là . x+5 300 300 Theo đề bài ta có phương trình: - = 3 300(x+5 - x)= 3x(x+5) x x+5 2 x = 20 x(x+5)= 500 x +5x - 500 = 0 x = -25 Kiểm tra điều kiện ta chọn x = 20 Vậy lúc dự định xưởng có 20 công nhân. Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018) Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm và diện tích bằng 6cm2 . Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. Lời giải 12 Gọi x (cm) là độ dài một cạnh góc vuông ( x 0 ). Khi đó cạnh góc vuông kia là: ( cm ) x 2 2 12 2 4 2 Theo đề bài ta có phương trình: x 5 x 25x 144 0 x Đặt x2 t , t 0 , phương trình trở thành: t 2 25t 144 0 Giải phương trình bậc 2 theo biến t ta được: t1 16 (thỏa điều kiện); t2 9 (thỏa điều kiện) Với t 16 x 4 (vì x 0 ) Với t 9 x 3 (vì x 0 ) Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là 3cm và 4cm . Cách 2: Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác là x (cm), y(cm) (ĐK: x, y 0 ). Theo định lí Py-ta-go, ta có: x2 y2 25. 1 Diện tích tam giác là 6 cm2 nên: xy 6 xy 12 2 2 2 Ta có: x2 y2 25 x y 2xy 25 x y 49 x y 7 x y 7 x 3 x 4 Do đó, ta có: hoặc xy 12 y 4 y 3 Vậy 2 cạnh góc vuông cần tìm là: 3cm và 4cm . Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây. Các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau
2. và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây. Lời giải Gọi số HS nam của nhóm là x (x Î ¥ ;0 < x < 15), số HS nữ là 15 - x. Theo đề bài số cây các bạn nam trồng được là 30 và số cây các bạn nữ trồng được là 36 nên 30 Mỗi HS nam trồng được cây, x 36 Mỗi HS nữ trồng được cây. 15 - x Vì mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây nên ta có 30 36 - = 1 Û 30(15 - x)- 36x = x (15 - x) x 15 - x éx = 75(loai) Û x 2 - 81x + 450 = 0 Û ê & . êx = 6 (nhan) ëê Vậy có 6 HS nam và 9HS nữ. Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018) Để chuẩn bị cho năm học mới, học sinh hai lớp 9A và 9B ủng hộ thư viện 738 quyển sách gồm hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong đó mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 6 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo; mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 5 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Biết số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp. Lời giải Gọi số học sinh của hai lớp 9A và 9B lần lượt là x và y ( x, y ¥ * ). Số sách giáo khoa hai lớp ủng hộ là 6x 5y . Số sách tham khảo hai lớp ủng hộ là 3x 4y . Vì cả hai lớp ủng hộ số sách là 738 cuốn nên ta có 6x 5y 3x 4y 738 và số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn sách tham khảo 166 cuốn nên 6x 5y (3x 4y) 166 . 9x 9y 738 x y 82 Do đó ta có hệ phương trình x 42, y 40 .( Thỏa mãn) 3x y 166 3x y 166 Vậy lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh. Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2017-2018) Hai đội công nhân đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong 6 ngày là xong việc. Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội đắp xong đê trong bao nhiêu ngày? Lời giải Gọi thời gian đội I làm riêng đắp xong đê là x (ngày). Điều kiện : x 6 . Gọi thời gian đội II làm riêng đắp xong đê là y (ngày). Điều kiện: x y 6 . Số ngày hoàn thành Số công việc làm Đối tượng công việc (ngày) trong một ngày. 1 Làm chung 6 6 1 Đội thứ I x x Làm riêng 1 Đội thứ II y y
3. 1 1 1 Phương trình (1) x y 6 Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày nên ta có phương trình: x y 9 ( 2 ) Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình: 1 1 1 x y 6 x y 9 6y 6x xy x 9 y 6y 6 9 y 9 y y x 9 y y2 3y 54 0 3 x 9 y 4 Từ ( 3 ) y 2 3y 54 0 2 Ta có: ' 3 4.1. 54 225 0 Suy ra y1 9 (nhận), y2 6 (loại). Thay y 9 vào ( 4 ) ta được x 9 9 18 . Vậy thời gian đội I làm riêng đắp xong đê là 18 ngày. Thời gian đội II làm riêng đắp xong đê là 9 ngày. Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2017-2018) Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 24 m. Nếu tăng độ dài một cạnh lên 2 m và giảm độ dài cạnh còn lại 1 m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 1 m2. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật ban đầu. Lời giải Gọi x (m) là cạnh thứ nhất của mảnh đất hình chữ nhật. y (m) là cạnh thứ hai của mảnh đất hình chữ nhật. Điều kiện: 0 x 12 , 1 y 12 . Diện tích mảnh đất ban đầu: x.y (m2). Theo đề ta có phương trình: 2 x y 24 (m). (1) Giả sử tăng độ dài một cạnh lên 2 m và giảm độ dài cạnh còn lại 1 m. Độ dài cạnh thứ nhất khi tăng 2 m: x 2 (m).
4. Độ dài cạnh còn lại khi giảm 1 m: y 1 (m). Diện tích mảnh đất khi thay đổi: (x 2)(y 1) (m2). Theo đề ta có phương trình: (x 2)(y 1) xy 1. (2) Từ (1) , (2) ta có hệ phương trình: 2 x y 24 x y 12 x 7 (x 2)(y 1) xy 1 x 2y 3 y 5 Vậy kích thước mảnh đất lúc đầu là: 7 m; 5 m. Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2017-2018) Cho vườn hoa hình chữ nhật có diện tích bằng 91 m2 và chiều dài lớn hơn chiều rộng 6 m . Tìm chu vi của vườn hoa? Lời giải Gọi x(m) là chiều rộng của vườn hoa, x 0. Chiều dài của vườn hoa là x 6 (m) . Theo đề bài ta có phương trình: 2 x 7(tm) x(x 6) 91 x 6x 91 0 (x 7)(x 13) 0 x 13(ktm) Vậy chu vi của vườn hoa hình chữ nhật là 40 m . Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Bình Thuận năm 2017-2018) Một nhóm học sinh có kế hoạch trồng 200 cây tràm giúp gia đình bạn An. Vì có 2 học sinh bị bệnh không tham gia được nên mỗi học sinh còn lại phải trồng thêm 5 cây so với dự định để hoàn thành kế hoạch.(Biết số cây mỗi học sinh trồng là như nhau). Tính số học sinh thực tế đã trồng cây. Lời giải Gọi x là số học sinh, y là số cây mỗi em đã trồng ( x 0 ; y 0 ) Tổng số cây các em trồng: x.y 200 (1) Hai học sinh bị bệnh không tham gia: x 2 Mỗi học sinh trồng thêm 5 cây: y 5 Khi đó tổng số cây : (x 2)(y 5) 200 (2) Từ (1) ,(2) : x.y 200 (x 2)(y 5) 200 x.y 200 5x 2y 10 10 2y x 5 10 2y y 200 5 10 2y x 5 2 2y 10y 1000 0
5. x 10 y 20 Vậy có tấc cả 10 em tham gia trồng cây, mỗi em trồng 20 cây. Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018) Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi. Khi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc 4km/h so với lúc đi, do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi biết rằng quãng đường AB dài 24km. Lời giải Gọi vận tốc của người đó lúc đi là x (km/h; x R; x 0) . 24 Thời gian người đó đi hết quãng đường AB là: (giờ). x Vận tốc của người đó lúc về là x 4 (km/h). 24 Thời gian người đó đi hết quãng đường BA là: (giờ). x 4 1 Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút h nên ta có phương trình:. 2 24 24 1 x x 4 2 24. x 4 24.x 1 x x 4 x 4 .x 2 24.x 96 24x 1 96 1 x 4 .x 2 x 4 .x 2 x2 4x 192 x2 4x 192 0 x 12 x 16 So với điều kiện ta có x 12 thỏa mãn. Vậy vận tốc của người đó lúc đi là 12 km/h. Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2017-2018) Để chuẩn bị tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp trường, thầy Thành là giáo viên chủ nhiệm của lớp 9A tổ chức cho học sinh trong lớp thi đấu môn bóng bàn ở nội dung đánh đôi nam nữ (một 1 5 nam kết hợp với một nữ). Thầy Thành chọn số học sinh nam kết hợp với số học sinh nữ 2 8 của lớp để lập thành các cặp thi đấu. Sau khi đã chọn được số học sinh tham gia thi đấu thì lớp 9A còn lại 16 học sinh làm cổ động viên. Hỏi lớp 9A có tất cả bao nhiêu học sinh? Lời giải Gọi số học sinh nam của lớp 9A là x (học sinh), x 0 .
6. Số học sinh nữ của lớp 9A là y (học sinh), y 0. 1 1 số học sinh nam của lớp 9A là: x (học sinh). 2 2 5 5 số học sinh nữ của lớp 9A là: y (học sinh). 8 8 1 5 Thầy Thành chọn số học sinh nam kết hợp với số học sinh nữ nên ta có phương trình: 2 8 1 5 x y 0 1 2 8 Tổng số học sinh của lớp 9A là: x y (học sinh). 1 5 Tổng số học sinh được chọn để tham gia thi đấu là: x y (học sinh). 2 8 Sau khi đã chọn được số học sinh tham gia thi đấu thì lớp 9A còn lại 16 học sinh làm cổ động 1 5 viên nên ta có phương trình: x y x y 16 2 . 2 8 Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình: 1 5 1 5 x y 0 x y 0 1 5 2 8 2 8 x 16 0 x 20 2 8 tm 1 5 1 3 y 16 x y x y 16 x y 16 y 16 2 8 2 8 Số học sinh nam của lớp 9A là 20 học sinh. Số học học sinh nữ của lớp 9A là 16 học sinh. Vậy số học sinh lớp 9A là 36 học sinh. Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018) Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi. Khi từ B trở về A, người đó tăng vậntốc 4km/h so với lúc đi, do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi biết rằng quãng đường AB dài 24km. Lời giải Gọi vận tốc của người đó lúc đi là x (km/h; x R; x 0) . 24 Thời gian người đó đi hết quãng đường AB là: (giờ). x Vận tốc của người đó lúc về là x 4 (km/h). 24 Thời gian người đó đi hết quãng đường BA là: (giờ). x 4 1 Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút h nên ta có phương trình:. 2 24 24 1 x x 4 2
7. 24. x 4 24.x 1 x x 4 x 4 .x 2 24.x 96 24x 1 96 1 x 4 .x 2 x 4 .x 2 x2 4x 192 x2 4x 192 0 x 12 x 16 So với điều kiện ta có x 12 thỏa mãn. Vậy vận tốc của người đó lúc đi là 12 km/h. Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắc năm 2017-2018) Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật. Biết rằng nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng lên 4 cm thì ta được hình chữ nhật có diện tích tăng thêm 80 cm2 so với diện tích hình chữ nhật ban đầu, còn nếu tằng chiều dài lên 5 cm và giảm chiều rộng xuống 2 cm thì ta được một hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật ban đầu. Lời giải Gọi x ; y (cm) lần lượt là chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật ban đầu. ĐK: x y 2 . Diện tích hình chữ nhật sau khi tăng hai kích thước là: x 4 y 4 cm2 . Diện tích hình chữ nhật sau khi tăng chiều dài và giảm chiều rộng là: x 5 y 2 cm2 . x 4 y 4 xy 80 x y 16 x 10 Theo đề ta có hệ: (Thỏa mãn ĐK). x 5 y 2 xy 0 2x 5y 10 y 6 Vậy chiều dài và chiều rộng lần lượt là 10cm và 6cm . Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2017-2018) Cho hai vòi nước cùng chảy vào một vể không có nước thì sau 5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ rồi đóng lại, sau đó mở vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì ta 1 được bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu? 4 Lời giải Gọi x h là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể ( x 0 ) Gọi y h là thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể ( y 0) 1 Suy ra trong 1h vòi thứ nhất chảy được (bể) x 1 trong 1h vòi thứ hai chảy được (bể) y cả hai vòi chảy vào một bể không có nước thì sau 5 giờ đầy bể nên 1 giờ cả hai vòi chảy được 1 bể 5
8. 1 1 1 suy ra (1) x y 5 1 Vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được bể 4 2 1 1 suy ra (2) x y 4 Từ (1) và (2) ta có hệ: 1 1 1 2 1 1 1 1 1 x 20 x 20 x 20 x y 5 x x 4 5 x 20 1 1 1 1 3 20 2 1 1 1 1 1 1 1 1 y 20 y 5 y 20 3 x y 4 x y 5 x y 5 Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 20 giờ. 20 Vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong giờ 3 Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang năm 2017-2018) Hai thành phố A và B cách nhau150km. Một xe máy khởi hành từ A đến B, cùng lúc đó một ôtô cũng khởi hành từ B đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 10km/h. Ôtô đến A được 30 phút thì xe máy cũng đến B . Tính vận tốc của mỗi xe. Lời giải Gọi x km / h là vận tốc xe máy x 0 thì vận tốc ôtô là x 10 km / h 150 150 1 Theo đề bài ta có phương trình: 1 x x 10 2 1 x2 10x 3000 0 x 50 (nhận) hoặc x 60 (loại) Vậy: vận tốc xe máy là 50 km / h , vận tốc ôtô là 60 km / h . Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Đồng Nai năm 2017-2018) Một đội xe dự định chở 120 tấn hàng. Để tăng sự an toàn nên đến khi thực hiện, đội xe được bổ sung thêm 4 chiếc xe, lúc này số tấn hàng của mỗi xe chở ít hơn số tấn hàng của mỗi xe dự định chở là 1tấn. Tính số tấn hàng của mỗi xe dự định chở, biết số tấn hàng của mỗi xe dự định chở là bằng nhau, khi thực hiện là bằng nhau. Lời giải Gọi x (xe) là số xe chuẩn bị theo dự định (điều kiện x > 0) Khi đó: Theo dự định mỗi xe cần chở 120 (tấn) x Nhưng thực tế bổ sung thêm 4 xe nên số xe là: x + 4 (xe). Vì vậy mà mỗi xe cần chở: 120 (tấn) x 4 Vì theo thực tế mỗi xe chở ít hơn so với dự định 1 tấn nên ta có phương trình:
9. 120 120 1 x x 4 120(x 4) 120x (x 4)x x2 4x 480 0 x 20 (nhận) hoặc x 24 (loại) Vậy theo dự định có 20 xe và mỗi xe phải chở 6 tấn hàng Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai năm 2017-2018) Một tổ công nhân may lập kế hoạch may 60 bộ quần áo. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ này may nhiều hơn kế hoạch 2 bộ nên đã hoàn thành công việc ít hơn kế hoạch 1 ngày. Biết số bộ quần áo may trong mỗi ngày là như nhau. Hỏi tổ công nhân may đã lập kế hoạch để hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Lời giải a) Gọi x x ¥ * là số ngày mà tổ công nhân may đã lập kế hoạch để hoàn thành công việc. Gọi y y ¥ * là số bộ quần áo mà tổ công nhân may đã lập kế hoạch để hoàn thành công việc. Theo kế hoạch, tổ công nhân may 60 bộ quần áo nên xy 60 1 Số ngày may thực tế là x 1. Số bộ quần áo may được thực tế là y 2 . Theo đề bài, ta có x 1 y 2 60 xy 2x y 62 . Kết hợp với 1 ta được 60 2x y 62 y 2x 2 . Thế vào 1 ta được x 2x 2 60 x2 x 30 0 x 6 x x 6 5 x 6 0 x 6 x 5 0 . x 5 Mà x ¥ * x 6 thỏa mãn y 10 (thỏa mãn y ¥ * ). Vậy tổ công nhân may đã lập kế hoạch để hoàn thành công việc trong 6 ngày. Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh năm 2017-2018) Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 60 km với vận tốc dự định trước. 1 Sau khi đi được quãng đường, do điều kiện thời tiết không thuận lợi nên trên quãng đường còn 3 lại người đó phải đi với vận tốc ít hơn so với vận tốc dự định ban đầu 10km/h. Tính vận tốc dự định và thời gian người đó đã đi từ A đến B , biết người đó đến muộn hơn dự định 20 phút. Lời giải 1 Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là x ( x 10 , tính bằng km/h); 20 phút (giờ). 3 60 Thời gian người đó dự định để đi từ A đến B là (giờ). x 1 20 Thời gian người đó đi trong quãng đường đầu là (giờ). 3 x 2 40 Thời gian người đó đi quãng đường còn lại là (giờ). 3 x 10
10. 20 40 60 1 40 40 1 Theo bài ra ta có phương trình: x x 10 x 3 x 10 x 3 2 x 40 x 10x 1200 0 . x 30 Ta thấy x 30 không thỏa mãn. Vậy vận tốc dự định là 40 km/h. 60 1 11 Thời gian người đó đi bằng: (giờ) tức là 1 giờ 50 phút. 40 3 6 Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2017-2018) Tháng đầu, hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai, do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% vả tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Lời giải Gọi số chi tiết máy mà tổ I và tổ II sản xuất được trong tháng đầu lần lượt là x và y . Điều kiện: x , y N * ; x , y 900 . x y 900 Từ đề bài lập được hệ phương trình: . 1,1x 1,12y 1000 x 400 Giải hệ được: (thỏa mãn điều kiện). y 500 Vậy tháng đầu tổ I sản xuất được 400 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 500 chi tiết máy. Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2017-2018) Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Lời giải Gọi vận tốc của xe máy là x ( Đơn vị km / h , x 0 ) 3 Đổi 36 phút giờ 5 Vận tốc của ô tô là x 10 km / h 120 Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là ( giờ ) x 120 Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là ( giờ ) x 10 Lập luận để có PT: 120 120 3 x x 10 5 x2 10x 2000 0 x 50(loai) x 40(t / m)