Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 6: Phương trình - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 6: Phương trình - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. CHUYấN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRèNH Cõu 1. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018) Giải cỏc phương trỡnh sau: a) 3x 12x 27 b) x2 x 20 0 Lời giải a) 3x 12x 27 3x 2 3x 3 3 3 3x 3 3 x 1 Vậy S 1 b) x2 x 20 0 1 81 x1 4 12 4.1.( 20) 81 0 . Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 2 1 81 x 5 2 2 Vậy S 5;4 Cõu 2. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018) Cho phương trỡnh bậc hai ẩn x : x2 (4m 1)x 2m 8 0 ( m là tham số). a) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 ; x2 với mọi tham số m . b) Tỡm m để hai nghiệm x1 ; x2 của phương trỡnh đó cho thỏa món điều kiện x1 x2 17 . Lời giải a) Ta cú (4m 1)2 4.1.(2m 8) 16m2 33 0 với mọi giỏ trị của m . Nờn phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 ; x2 với mọi tham số m . b) Vỡ phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1 ; x2 với mọi tham số m nờn theo định lớ Vi-et: b x x 4m 1 1 2 a c x .x 2m 8 1 2 a 2 2 2 2 Ta cú: x1 x2 17 (x1 x2 ) 289 x1 x2 2x1x2 289 (x1 x2 ) 4x1x2 289 2 2 m 4 ( 4m 1) 4(2m 8) 289 16m 256 0 m 4 Vậy m 4 thỏa món yờu cầu bài toỏn. Cõu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) Giải phương trỡnh: x2 - 3x+2 = 0. Lời giải Cỏch 1: Do 1+(-3)+2 = 0 nờn phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2. Cỏch 2: Δ= (-3)2 - 4.2 = 1 Δ = 1. -(-3)-1 -(-3)+1 Phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x = = 1; x = = 2. 1 2 2 2
2. Cõu 4. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) 2 x x2 -12x -12 Giải phương trỡnh: 6. x - + = 0. x+2 x+1 Lời giải Điều kiện x 1 2 x2 x2 Phương trỡnh 6 12 0 x 1 x 1 x2 Đặt: t = x+1 4 t1 = 2 3 Phương trỡnh trở thành 6t +t -12 = 0 3 t = - 1 2 x 2 4 x2 4 Với t ta được 3x2 4x 4 0 2 3 x 1 3 x 3 3 x2 3 Với t ta được 2x2 3x 3 0 (vụ nghiệm). 2 x 1 2 2 Vậy phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm: S 2; . 3  Cõu 5. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018) Cho phương trỡnh x2 (2m 5)x 2m 1 0 (1) với x là ẩn số, m là tham số. 1 a) Giải phương trỡnh (1) khi m . 2 b) Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 sao cho biểu thức P | x1 x2 | đạt giỏ trị nhỏ nhất. Lời giải 2 3. Phương trỡnh x (2m 5)x 2m 1 0 (1) với x là ẩn, m là tham số. 1 2 x 0 a) Khi m , phương trỡnh trờn trở thành x 4x 0 . 2 x 4 b) Để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt thỡ (2m 5)2 4(2m 1) 0 4m2 12m 21 0 (2m 3)2 12 0 . Bất đẳng thức sau cựng luụn đỳng với mọi giỏ trị của m . Do đú phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt. 2m 5 0 1 Để P | x1 x2 | cú nghĩa thỡ x1 và x2 phải dương m . 2m 1 0 2 x1 x2 2m 5 Khi đú theo định lý Vi-et ta cú ( với x1 và x2 là hai nghiệm của (1) ). x1x2 2m 1 2 Do đú P x1 x2 2 x1x2 2m 5 2 2m 1 2 2m 1 1 3 3 P 3 . Vậy P đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng 3 khi 2m 1 1 m 0. Cõu 6. (Tuyển sinh tỉnh Thỏi Bỡnh năm 2017-2018) Cho phương trỡnh x2 m 1 x m2 m 1 0 (1) .
3. a) Giải phương trỡnh với m 1. b) Chứng minh rằng với mọi m phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt. Giả sử hai nghiệm là x1 , x2 x1 x2 , khi đú tỡm m để x2 x1 2 . Lời giải a) Thay m 1 vào phương trỡnh (1) ta được: x2 2x 3 0 c Vỡ a b c 1 2 3 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm x 1 và x 3 . 1 2 a 2 2 2 2 3 16 b) m 1 4.1. m m 1 5m 6m 5 5 m 0 , với mọi m nờn 5 25 phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m . 2 2 1 3 Theo định lớ Vi – ột: x1 x2 m 1 và x1x2 m m 1 m 0 , với mọi m . 2 4 Theo đề: x2 x1 2 và x2 x1 suy ra: 2 2 2 2 2 x2 x1 4 x1 x2 2 x1x2 4 x1 x2 2x1x2 2x1x2 4 x1 x2 4 2 m 1 2 m 3 m 1 4 . m 1 2 m 1 Vậy m 1, m 3 là giỏ trị cần tỡm. Cõu 7. (Tuyển sinh tỉnh Thỏi Nguyờn năm 2017-2018) Khụng dựng mỏy tớnh cầm tay, hóy giải phương trỡnh: x2 2x 8 0 Lời giải x2 2x 8 0 ; 12 1.( 8) 9 0 3. Phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt: 1 3 1 3 x 2 ; x 4 1 1 2 1 Vậy tập ghiệm của phương trỡnh là: S 4;2 Cõu 8. (Tuyển sinh tỉnh Thỏi Nguyờn năm 2017-2018) 2 Cho phương trỡnh 2x 3x 1 0 . Gọi x1, x2 là hai nghiệm phõn biệt của phương trỡnh. x x Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: P 2 1 2 x2 x1 Lời giải Phương trỡnh: 2x2 3x 1 0 . Ta thấy a,c trỏi dấu nờn phương trỡnh đó cho luụn cú 2 nghiệm phõn biệt. 3 x x 1 2 2 Theo định lớ Vi-ột ta cú: 1 x x 1 2 2 x x x2 x2 x2 2x x x2 2x x 2(x x )2 4x x P 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x2 x1 x1x2 x1x2 x1x2 2 3 1 9 2. 4. 2 2 2 9 2 2 2 13 1 1 2 2 2
4. Cõu 9. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho phương trỡnh x2 - 2mx + m2 - 1 = 0 (1), với m là tham số. 1) Giải phương trỡnh (1) khi m = 2. 2) Chứng minh rằng phương trỡnh 1 luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m. Gọi x ,x là ( ) 1 2 hai nghiệm của phương trỡnh (1), lập phương trỡnh bậc hai nhận x 3 - 2mx2 + m2x - 2 và 1 1 1 3 2 2 x2 - 2mx2 + m x2 - 2 là nghiệm. Lời giải 1) Với m = 2 PT trở thành x 2 - 4x + 3 = 0 Giải phương trỡnh tỡm được cỏc nghiệm x = 1 ;x = 3. 2) Ta cú D ' = m2 - m2 + 1 = 1 > 0, " m. Do đú, phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt. 2 2 Từ giả thiết ta cú xi - 2mxi + m - 1 = 0,i = 1;2. 3 2 2 xi - 2mxi + m xi - 2 2 2 = xi (xi - 2mxi + m - 1)+ xi - 2 = xi - 2,i = 1;2. 2 Áp dụng định lớ Viột cho phương trỡnh (1) ta cú x1 + x2 = 2m ; x1.x2 = m - 1 Ta cú (x1 - 2)+ (x2 - 2) = 2m - 4; (x1 - 2)(x2 - 2) = x1x2 - 2(x1 + x2 )+ 4 = m2 - 1- 4m + 4 = m2 - 4m + 3. 3 2 2 3 2 2 Vậy phương trỡnh bậc hai nhận x1 - 2mx1 + m x1 - 2, x2 - 2mx2 + m x2 - 2 là nghiệm là x 2 - (2m - 4)x + m2 - 4m + 3 = 0. Cõu 10. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) Giải phương trỡnh (x2 - x + 1)(x2 + 4x + 1) = 6x2. Lời giải Dễ thấy x = 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh nờn ổ ửổ ử ỗ 1 ữỗ 1 ữ PT Û ỗx + - 1ữỗx + + 4ữ= 6. ốỗ x ứữốỗ x ứữ 1 ột = 2 Đặt t = x + ta được (t - 1)(t + 4) = 6 Û t 2 + 3t - 10 = 0 Û ờ . x ờt = - 5 ởờ 1 Với t = 2 ị x + = 2 Û x 2 - 2x + 1 = 0 Û x = 1. x ộ ờ - 5 - 21 1 ờx = Với t = - 5 ị x + = - 5 Û x 2 + 5x + 1 = 0 Û ờ 2 . x ờ - 5 + 21 ờx = ởờ 2 Cõu 11. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2017-2018) Cho phương trỡnh: x2 2(m 1)x (2m 1) 0 1 ( m là tham số) a) Giải phương trỡnh 1 với m 2 .
5. b) Chứng minh rằng phương trỡnh 1 luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m . c) Tỡm m để phương trỡnh 1 luụn cú hai nghiệm bằng nhau về giỏ trị tuyệt đối và trỏi dấu nhau. Lời giải a) Thay m 2 vào ta cú phương trỡnh: x2 - 2x- 5 = 0 DÂ= (- 1)2 - 1.(- 5) = 6 > 0. ộ - bÂ+ DÂ ờ = ờx1 ộ a x1 = 1+ 6 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt là: ờ Û ờ . ờ ờ ờ - bÂ- DÂ ởờx2 = 1- 6 ờx2 = ở a b) Phương trỡnh: x2 2(m 1)x (2m 1) 0 cú: Â ộ ự2 D = ở- (m- 1)ỷ + 1.(2m + 1) = (m2 - 2m + 1)+ (2m + 1) 2 = m + 2 > 0 , " m . Vậy phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m . c) Với mọi m phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 thỏa món: ùỡ x + x = 2(m- 1) ớù 1 2 . ù x x = - 2m + 1 ợù 1 2 ( ) ùỡ x + x = 0 Yờu cầu bài toỏn tương đương: x = - x Û ớù 1 2 1 2 ù ợù x1x2 < 0 ỡ ỡ ù m = 1 ù 2(m- 1)= 0 ù Û ớ Û ớ 1 Û m = 1. ù - (2m + 1) - ợ ợù 2 Vậy với m = 1 thỡ phương trỡnh 1 luụn cú hai nghiệm bằng nhau về giỏ trị tuyệt đối và trỏi dấu nhau. Cõu 12. (Tuyển sinh tỉnh Bỡnh Dương năm 2017-2018) Cho phương trỡnh x2 10mx 9m 0 (1) ( với m là tham số). a. Giải phương trỡnh (1) khi m 1. b. Tỡm cỏc giỏ trị của tham số để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 thỏa món điều kiện x1 9 x2 0 . Lời giải 1. Cho phương trỡnh x2 10mx 9m 0 (1) ( với m là tham số). a. Khi m 1 thỡ phương trỡnh (1) trở thành: x2 10x 9 0 Vỡ a b c 1 10 9 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm: x1 1, x2 9 . b. x2 10mx 9m 0 (1) ( với m là tham số). 2 Ta cú: ' 5m 1.9m 25m2 9m • Để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt: ' 0 25m2 9m 0
6. m(25m 9) 0 9 m 0 hay m 25 9 • Khi m 0 hay m thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x , x . 25 1 2 x1 x2 10m 2 Theo hệ thức vi-et ta cú: x1.x2 9m 3 • Theo yờu cầu bài toỏn: x1 9 x2 0 ( 4 ) Kết hợp ( 2 ) với ( 4 ) ta được hệ phương trỡnh: x1 x2 10m x1 9 x2 0 x1 9m x2 m Thay x1 9m , x 2 m vào ( 3 ) ta được phương trỡnh: 9m.m 9m 9m(m 1) 0 m 0 ( loại) hay m 1(nhận) Vậy m 1thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt thỏa món yờu cầu x1 9 x2 0 . Cõu 13. (Tuyển sinh tỉnh Bỡnh Định năm 2017-2018) Cho phương trỡnh x2 – 2mx – 6m – 9 0 a) Giải phương trỡnh khi m 0 . 2 2 b) Tỡm m để phương trỡnh cú 2 nghiệm x1, x2 trỏi dấu thỏa món x1 x2 13 . Lời giải a) Khi m 0 phương trỡnh trở thành: x2 9 0 x 3. b) Với a 1, b 2m , b’ m , c 6m – 9 . b'2 ac m2 6m 9 (m 3)2 0,m . Phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm x1, x2 với mọi m . Theo hệ thức Viet ta cú: x1 x2 2m x 1.x2 6m 9 3 Phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu x x 0 6m 9 0 m . 1 2 2 2 2 Ta cú : x1 x2 13 2 x1 x2 2x1x2 13 (2m)2 2( 6m 9) 13 0
7. 4m2 12m 5 0 5 1 m (loại) hoặc m (nhận). 2 2 1 Vậy m . 2 Cõu 14. (Tuyển sinh tỉnh Bỡnh Phước năm 2017-2018) Cho phương trỡnh: 2x2 2mx m2 2 0 1 , với m là tham số. a. Giải phương trỡnh 1 khi m 2. b. Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh 1 cú hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức A 2x1x2 x1 x2 4 đạt giỏ trị lớn nhất. Lời giải 2 a. Với m 2 thay vào phương trỡnh 1 ta được: 2x 4x 2 0 2(x 1)2 0 x 1. Vậy với m 2 thỡ phương trỡnh 1 cú nghiệm là x 1. 0 m2 4 0 2 m 2. b. Phương trỡnh 1 cú hai nghiệm x1, x2 x x m 1 2 m2 2 x1.x2 Theo Vi – et ta cú: 2 A 2x x x x 4 Theo đề bài ta cú: 1 2 1 2 m2 m 6 (m 3)(m 2) Do 2 m 2 nờn m 2 0 , m 3 0. Suy ra 1 25 25 A (m 2)( m 3) m2 m 6 (m )2 . 2 4 4 25 1 m Vậy A đạt giỏ trị lớn nhất bằng 4 khi 2 . Cõu 15. (Tuyển sinh tỉnh Bỡnh Thuận năm 2017-2018) Giải phương trỡnh x2 4x 3 0 Lời giải x2 4x 3 0(a 1,b 4,c 3) b2 4ac ( 4)2 4.1.3 4 Do 0 nờn phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt: b b x 3 ;x 1 1 2a 2 2a Cõu 16. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Húa năm 2017-2018) 2 Cho phương trỡnh: mx x 2 0 (1), với m là tham số.
8. a. Giải phương trỡnh (1) khi m 0 . b. Giải phương trỡnh (1) khi m 1. Lời giải 2 Cho phương trỡnh: mx x 2 0 (1), với m là tham số a. Giải phương trỡnh (1) khi m 0 . Khi m 0 , ta cú phương trỡnh: x 2 0 x 2 Vậy phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất là x 2 . b. Giải phương trỡnh (1) khi m 1. Khi m 1, ta cú phương trỡnh: x2 x 2 0 Ta thấy: a b c 0 nờn phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt là: x1 1; x2 2 . Cõu 16. (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018) a) Giải phương trỡnh 3x 5 x 2 ; b) Giải phương trỡnh: 2x2 1 2 2 x 2 0 . Lời giải a) 3x 5 x 2 . 3x x 2 5 . 2x 7 . 7 x . 2 b) 2x2 1 2 2 x 2 0 . 2x2 x 2 2x 2 0 . x 2x 1 2 2x 1 0 . x 2 2x 1 0. x 2 0 x 2 1 . 2x 1 0 x 2 Cõu 17. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2017-2018) Giải cỏc phương trỡnh sau trờn tập số thực:
9. a) 2x2 9x 10 0 b) x 1 4 8 x 1 2 9 0 Lời giải a) Giải phương trỡnh 2x2 9x 10 0 1 9 2 4.2.10 1 Vỡ 0 nờn phương trỡnh 1 cú hai nghiệm phõn biệt: 9 1 5 x1 4 2 9 1 x 2 2 4 5 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là S 2;  . 2 b) x 1 4 8 x 1 2 9 0 1 Đặt x 1 2 t 2 t 0 . Khi đú phương trỡnh 1 trở thành: t 2 8t 9 0 2 8 2 4.1. 9 100 Vỡ 0 nờn phương trỡnh 2 cú hai nghiệm phõn biệt: 8 100 t 9 (thoả món) 1 2 8 100 t 1 (khụng thoả món) 2 2 Với t 9 ta cú: x 1 2 9 x 1 3 x 4 x 1 3 x 2 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh đó cho là: S 2;4. Cõu 18. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2017-2018) Cho phương trỡnh x2 m 4 x 2m2 5m 3 0 ( m là tham số). Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của m để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt sao cho tớch của hai nghiệm này bằng 30 . Khi đú, tớnh tổng hai nghiệm của phương trỡnh. Lời giải
10. x2 m 4 x 2m2 5m 3 0 1 2 2 m 4 4.1. 2m 5m 3 m2 8m 16 8m2 20m 12 2 9m2 12m 4 3m 2 0 m  Vỡ 0 m  nờn phương trỡnh 1 cú hai nghiệm phõn biệt. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trỡnh 1 . x1 x2 m 4 Theo hệ thức Viet ta cú: 2 x1.x2 2m 5m 3 Theo đề bài ta cú: x1.x2 30 2m2 5m 3 30 2m2 5m 33 0 m 3 tm, do m  11 m ktm, do m  2 Với m 3 ta cú: x1 x2 m 4 3 4 1. Vậy tổng hai nghiệm của phương trỡnh là 1. Cõu 19. (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018) a) Giải phương trỡnh 3x 5 x 2 ; b) Giải phương trỡnh: 2x2 1 2 2 x 2 0 . Lời giải a) 3x 5 x 2 . 3x x 2 5 . 2x 7 . 7 x . 2 b) 2x2 1 2 2 x 2 0 . 2x2 x 2 2x 2 0 . x 2x 1 2 2x 1 0 . x 2 2x 1 0. x 2 0 x 2 1 2x 1 0 x 2