Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 7: Hình học - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 7: Hình học - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ 7 : HÌNH HỌC Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018) Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn đó ( Ax nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn). Tia phân giác của góc CAx cắt nửa đường tròn tại D . Kéo dài AD và BC cắt nhau tại E . Kẻ EH vuông góc với Ax tại H . a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ·ABD B· DC . c) Chứng minh tam giác ABE cân. d) Tia BD cắt AC và Ax lần lượt tại F và K . Chứng minh AKEF là hình thoi. Lời giải x H E C K D F A B a) Ta có ·ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra ·ACE 90 (kề bù) Xét tứ giác AHEC ta có: ·ACE ·AHE 90, suy ra tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn đường kính AE (tổng hai góc đối diện bằng 180 ) b) Ta có ABCD nội tiếp nên B· DC D· AC (1) (cùng nhìn cạnh DC ). 1 Lại có: ·ABD »AD (góc nội tiếp). 2 1 D· Ax »AD (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung). 2 Suy ra ·ABD D· Ax . Mà D· Ax D· AC (do AD là phân giác). Suy ra ·ABD D· AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ·ABD B· DC c) Xét DAB và DEB có: ·ADB E· DB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù). BD chung. ·ABD B· DC (cmt). DAB DEB (g-c-g). BA BE (tương ứng). ABE cân tại B d) Theo câu c) DAB DEB DA DE D là trung điểm AE (3) Xét DAF và DAK có: ·ADF ·ADK 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn – kề bù).
2. AD chung. D· AF D· AK (do AD là phân giác). DAF DAK (g-c-g) DK DF (tương ứng). D là trung điểm KF (4) Từ (3) và (4) ta có AKEF là hình bình hành (tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). Mà AE  KF AKEF là hình thoi. Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB . Trên OA lấy điểm H ( H khác O , H khác A ). Qua H dựng đường thẳng vuông góc với AB , đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại C . Trên cung BC lấy điểm M ( M khác B , M khácC ). Dựng CK vuông góc với AM tại K . a) Chứng minh tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn b) Chứng minh C· HK C· BM. c) Gọi N là giao điểm của AM vàCH . Tính theo R giá trị biểu thức P AM.AN BC 2. Lời giải: M C N K A H O B Ta có C· HA C· KA 90 Tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn đường kính AC. C· HK C· AK C· AM (do tứ giác ACKH nội tiếp). Mà C· AM C· BM (cùng chắn cung CM ). Vậy C· HK C· BM . Ta có ·ACN = ·ABC (= 90 - H· CB ); ·ABC = ·AMC ·ACN = ·AMC AN AC Do đó ACN ∽ AMC (g.g) = AM.AN = AC 2 . AC AM C thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên tam giác ABC vuông tại C, AC2 BC2 AB2 . Vậy P AM.AN BC2 AB2 4R 2. Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018) Cho ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O). Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B , C cắt nhau tại D . OD cắt BC tại E . Qua D vẽ đường thẳng song song với AB , đường thẳng này S cắt AC tại K . đường thẳng OK cắt AB tại F . Tính tỉ số diện tích ABF S ABC Lời giải:
3. A F O K B E C D Ta có B· AC D· BC (cùng chắn B»C ), B· AC D· KC (đồng vị) D· BC D· KC DBKC nội tiếp. Mà: O· BD O· CD 90 nên các điểm B,C, D thuộc đường tròn đường kính OD K cũng thuộc đường tròn đường kính OD OK  KD OK  AB F là trung điểm của AB . Do OB OC, DB DC OD là trung trực của BC E là trung điểm của BC. 1 S 1 Hai tam giác BEF và BAC đồng dạng có tỉ lệ đồng dạng là ΔBEF = . 2 SΔABC 4 Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (C) tâm O bán kính R . Hai đường cao AE và BK tam giác ABC cắt nhau tại H (với E thuộc BC , K thuộc AC ). 1. Chứng minh rằng tứ giác ABEK nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh CE.CB CK.CA . 3. Chứng minh O· CA B· AE . 4. Cho B ,C cố định và A di động trên (C) nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện tam giác ABC nhọn; khi đó H thuộc cung tròn (T ) cố định. Xác định tâm I và bán kính r của đường tròn (T ) , biết R 3cm . Lời giải A K H O B E C M I
4. 1. Xét tứ giác ABEK có ·AKB ·AEB 90( vì AE  BC , BK  AC ). Hai góc này cùng chắn cung AB nên tứ giác ABEK nội tiếp được một đường tròn. 2. Xét hai tam giác vuông ACE và BCK , chúng có chung góc C nên CE CA ACE : BCK CE.CB CK.CA (dpcm). CK CB 1 3. Tam giác OAC cân tại O nên O· CA 90 ·AOC (1) . Mà tam giác ABC nhọn nên O nằm 2 1 1 trong tam giác ABC , do đó ·ABC sd »AC ·AOC . 2 2 1 Tam giác ABE vuông tại E nên B· AE 90 ·ABC 90 ·AOC (2) . 2 Từ (1) và (2) O· CA B· AE (dpcm). 4. Gọi M là giao điểm của đường thẳng AE với đường tròn (C) . Ta có M· BC M· AC ( cùng chắn · · · · · cung MC ). Mà MAC HBC ( cùng phụ với ACB ) nên MBC HBC hay BE là phân giác của H· BM .Tam giác HBM có BE vừa là đường cao, đường phân giác góc B nên cân tại B và BE là trung trực của HM . Gọi I là điểm đối xứng với O qua đường thẳng BC (O và BC cố định I cố định). Khi đó tứ giác HOIM là hình thang cân vì nhận BC là trục đối xứng IH = MO = R hay H luôn cách điểm cố định I một khoảng R không đổi nên H thuộc đường tròn tâm I bán kính R . Do đó r = R =3 cm. Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018) Cho ABC có ba góc nhọn ( AB AC ), dựng AH vuông góc với BC tại điểm H . Gọi M , N theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC . Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại điểm D . Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính CD . Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CD , cắt nửa đường tròn trên tại điểm E . a. Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp. b. Chứng minh E· BM D· NH . c. Chứng minh DM.DN DB.DC . d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE . Chứng minh OE  DE . Lời giải A E O N M D B H C a. Vì M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB , AC ·AMH ·ANH 90. Xét tứ giác AMHN có: ·AMH ·ANH 90 90 180 . Do đó tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn. b. Vì EB  CD (gt), AH  CD (vì AH  BC ) EB // AH . E· BM M· AH (hai góc so le trong) (1) Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt) M· AH M· NH (hai góc nội tiếp cùng chắn M¼H ) (2) Từ (1) và (2) suy ta E· BM M· NH , hay E· BM D· NH .
5. c. Ta có: D· MB ·AMN (hai góc đối đỉnh) (3) Tứ giác AMHN nội tiếp (cmt) ·AMN ·AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn »AN ) (4) AHC vuông tại H có HN  AC (gt) ·ACH ·AHN (cùng phụ với C· HN ) Hay ·AHN D· CN (5) Từ (3), (4) và (5) suy ra D· MB D· CN . Xét DMB và DCN có: N· DC chung; D· MB D· CN (cmt) DM DB DMB ∽ DCN (g.g) DM.DN DB.DC . (6) DC DN d. EDC nội tiếp đường tròn đường kính CD EDC vuông tại E . Áp dụng hệ thức lượng trong EDC vuông tại E , EB  CD , ta có: DE 2 DB.DC . (7) DE DN Từ (6) và (7) suy ra DE 2 DM.DN . DM DE DE DN Xét DEM và DNE có: E· DN chung; (cmt) DM DE DEM ∽ DNE (c.g.c) D· EM D· NE (2 góc tương ứng). Xét O có: D· EM D· NE và tia EM nằm giữa hai tia ED và EN . Do đó DE là tiếp tuyến của O DE  OE . Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018) Cho tam giác ABC , M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P , BM cắt AC tại Q , CM cắt AB tại K . Chứng minh: MA.MB.MC 8MP.MQ.MK . Lời giải A K Q M B H' H P C MH MP Kẻ MH  BC , AH  BC H, H BC MH€ AH (Hệ quả ĐL Talet). AH AP 1 MH.BC MH S MP S Lại có 2 MBC MBC . AH 1 S AP S AH .BC ABC ABC 2 MQ S MK S Chứng minh tương tự, ta có MAC ; MAB . BQ SABC CK SABC MP MQ MK S S S Suy ra MBC MAC MAB 1. AP BQ CK SABC SABC SABC MP MQ MK Đặt x ; y ; z thì x , y , z 0 và x y z 1. AP BQ CK MA MB MC Theo đề bài: MA.MB.MC 8MP.MQ.MK . . 8 MP MQ MK AP BQ CK 1 1 1 8 MP MQ MK
6. 1 1 1 Hay: 1 1 1 8 x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 8 xyz xy yz xz x y z 1 x y z 1 1 1 9 xyz xyz x y z 1 1 1 1 1 9 (do x y z 1) xyz xyz x y z 1 1 1 9 x y z 1 1 1 x y z 9 x y z x x y y z z 1 1 1 9 y z x z x y x y y z z x 2 2 2 0 y x z y x z x y 2 y z 2 z x 2 0. (*) xy yz zx Bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng với x, y, z 0 . 1 MP MQ MK 1 Dấu bằng xảy ra khi x y z , hay M là trọng tâm ABC . 3 AP BQ CK 3 Vậy MA.MB.MC 8MP.MQ.MK . Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018) Hai đường tròn (O) và (O ') cắt nhau tại 2 điểm A, B . Gọi M là trung điểm của OO '. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt đường tròn (O) và (O ') lần lượt ở C và D . Chứng minh rằng AC AD . Lời giải C I A K O D M O' B Kẻ OI  CD tại I , O K  CD tại K , khi đó ta có IA IC, KA KD (tính chất của bán kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó). Ta có: OI // O K nên tứ giác OIKO là hình thang. Mà OI // MA// O K và M là trung điểm của OO A là trung điểm của IK IA KA Từ đó suy ra AC AD (đpcm).
7. Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018) Cho đường tròn (O) đường kính AB , cung C»D năm cùng phía đối với AB ( D thuộc cung nhỏ B»C ). Gọi E là giao điểm của AC và BD , F là giao điểm của AD và BC . a. Tính góc ·AFB khi số đo cungC»D bằng 80 b. Tính số đo cung C»D khi góc ·AEB 55. Lời giải E C D F A B O a. sđs®C»D 80 , s®A»B 180. ·AFB là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn 2 cung AB,CD nên ta có: s®A»B s®C»D 180 80 A· FB 130 2 2 b. A· EB 55 . A· EB là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn chắn 2 cung AB , CD nên: s®A»B s®C»D A· EB s®C»D s®A»B 2.A· EB 180 2.55 70 . 2 Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018) Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ). Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt AC , AB lần lượt tại D và E . H là giao điểm của BD và CE , K là giao điểm của DE và AH , I là giao điểm của AH và BC , M là trung điểm của AH . Chứng minh rằng: MD2 MK.MI Lời giải A M D K E H B I O C Ta có B· DC, B· EC là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O nên B· DC B· EC 90
8. Mà BD và CE cắt nhau tại H nên ta suy ra H là trực tâm của tam giác ABC . Suy ra ·AIC 90 Ta có H· DC H· IC 180 nên CDHI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính HC . Suy ra H· ID H· CD (góc nội tiếp cùng chắn cung DH của đường tròn đường kính HC ). Hay M· ID H· CD Tương tự, ta chứng minh được tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn tâm M ( MA MD MH ). M· AD M· DA (vì MD MA ) và E· DH E· AH (cùng chắn cung EH của đường tròn tâm M ) Vậy M· DK ·ADH (M· DA E· DH ) 90 (M· AD E· AH ) 90 E· AD H· CD M· ID M· DK Xét 2 tam giác MDK và MID có: M¶ là góc chung, M· ID M· DK MDK ∽ MID (g.g) MD MI MD2 MK.MI (đpcm). MK MD Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (A,B là hai tiếp điểm). Lấy điểm C trên cung nhỏ A B (C không trùng với A và B). Từ điểm C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB (D Î AB, E Î MA, F Î MB). Gọi I là giao điểm của A C và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng 1) Tứ giácADCE nội tiếp một đường tròn. 2) Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng. · 3) Tia đối của tia CD là tia phân giác góc ECF. 4) Đường thẳng IK song song với đường thẳngAB. Lời giải A 2 1 E I 1 x D 1 C 2 O 1 M K 1 1 F B 1) Chứng minh rằng Tứ giácADCE nội tiếp một đường tròn. · · · · Ta có AEC = ADC = 90° Þ AEC + ADC = 180° do đó, tứ giác ADCE nội tiếp. 2) Chứng minh rằng Hai tam giác CDE và CFD đồng dạng. Chứng minh tương tự tứ giác BDCF nội tiếp. ¶ µµ ¶ Do các tứ giácADCE,BDCF nội tiếp nên B1 = F1,A1 = D1
9. µ 1 ¶ ¶ µ Mà AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên A = sđA¼C = B Þ D = F . 1 2 1 1 1 ¶ ¶ Chứng minh tương tự E1 = D2. Do đó, DCDE ∽ DCFD (g.g) · 3) Chứng minh rằng Tia đối của tia CD là tia phân giác góc ECF. Gọi Cx là tia đối của tia CD. Do các tứ giácADCE,BDCF nội tiếp nên D·AE = E·Cx,D·BF = F·Cx · · · · · Mà MAB = MBA Þ ECx = FCx nên Cx là phân giác góc ECF. 4) Chứng minh rằng Đường thẳng IK song song với đường thẳngAB. ¶ ¶ ¶ ¶ Theo chứng minh trên A2 = D2,B1 = D1 ¶ ¶ · 0 ¶ ¶ · · · Mà A2 + B1 + ACB = 180 Þ D2 + D1 + ACB = 180° Þ ICK + IDK = 180° ¶ ¶ ¶ ¶ Do đó, tứ giác CIKD nội tiếp Þ K 1 = D1 mà D1 = B1 Þ IK//AB Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2017-2018) Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên tiếp tuyến của đường tròn O tại A lấy điểm M ( M khác A ). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn O (C là tiếp điểm). Kẻ CH  AB ( H AB ), MB cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N . Chứng minh rằng: a) Tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn. b) AM 2 MK.MB. c) K· AC O· MB. d) N là trung điểm của CH . Lời giải a) Ta có: ·AKN = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); · AHN = 90° (CH ^ AB ). Xét tứ giác AKNH có: ·AKN + ·AHN = 180° ; mà ·AKN và ·AHN ở vị trí đối nhau. Vậy tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn.
10. 2 b) Áp dụng hệ thức lượng vào VMAB vuông tại A và có AK ^ MB suy ra AM MK.MB . MO ^ ACïü c) Có MA, MC là hai tiếp tuyến của (O, R) cắt nhau tại M nên ýï Þ MO // BC . BC ^ AC þï Suy ra O·MB = K·BC (so le trong) (1) ; 1 K·AC = K·BC = sđ K»C (góc nội tiếp cùng chắn K»C ) (2). 2 Từ (1) và (2) ta được K· AC O· MB (đpcm). d) Gọi BC Ç AM = P . Vì MO // BC nên M là trung điểm của AP . MA ^ ABïü Ta có ýï Þ MA // CH . CH ^ ABþï HN BN CN Áp dụng định lý Talet ta được: = = . AM BM PM Mà AM = PM Þ HN = CN . Vậy N là trung điểm của CH . Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2017-2018) Cho tam giác AMB cân tại M nội tiếp đường tròn O; R . Kẻ MH vuông góc với AB (H AB) . MH cắt đường tròn tại N . Biết MA 10cm , AB 12cm . 1. Tính MH và bán kính R của đường tròn. 2. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C , MC cắt đường tròn tại D . ND cắt AB tại E . Chứng minh rằng tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau: NB2 NE.ND và AC.BE BC.AE . 3. Chứng minh NB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE . Lời giải M x D O A H E B C N 1. Tính MH và bán kính R của đường tròn. AB 12 Vì AMB là tam giác cân, mà MH  AB AH HB 6cm . 2 2 Xét AHM vuông tại H . Ta có: MH MA2 AH 2 102 62 8cm . Vì AMB nội tiếp đường tròn O; R OA OM R . Vì MH  AB , AH HB ( H AB , AB là dây cung của O; R ) O MH