Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 8: Hình học - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Chuyên đề 8: Hình học - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Quang Nam năm 2019-2020) Cho hình vuông ABCD. Gọi S1 là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD. S2 là diện tích phần còn lại của hình vuông S nằm ngoài hai nửa đường trong nói trên (như hình vẽ bên).Tính 1 S2 B C S2 S1 A D Lời giải Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Ta cm được: 2 a . .90 2 2 2 1 a a 1 S3 S4  360 2 2 4 4 2 a2 1 a2 1 a2 1 S1 S3 S4 4 4 2 4 4 2 2 4 2 2 2 1 2 a 1 a 3 S2 a 2 2 4 2 2 2 4 a2 1 S1 2 4 2 2 Do đó S a2 3 6 2 2 2 4 Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2019-2020) Anh Bình đứng tại vị trí A cách một đài kiểm soát không lưu 50 m và nhìn thấy đỉnh C của đài này dưới một góc 55 so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên dưới). Biết khoảng cách từ mắt của anh Bình đến mặt đất bằng 1,7 m. Chiều cao BC của đài kiểm soát không lưu bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
2. A. 40,96 m. B. 71, 41 m. C. 42,96 m. D. 73,11 m. Lời giải Chọn D CK Xét HKC vuông tại K ta có tan C· HK CK HK.tan C· HK 50.tan 550 HK Chiều cao BC của đài kiểm soát không lưu bằng BC CK KC 73,11m Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Long An năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao · AH , biết AB 5cm ; BH 3cm . Tính AH ,AC và sinCAH . Lời giải Áp dụng Pitago vào tam giác vuông ABH AB2 AH 2 BH 2 AH 2 AB2 BH 2 52 32 16 AH 4( cm ) 25 BH.BC AB2 BH.13 52 BH (cm) . 13 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC AH 2 16 AH 2 BH .CH CH cm BH 3 16 25 Do đó BC BH CH 3 cm 3 3 16 25 400 AC 2 CH .BC  3 3 9 Áp dụng Pitago vào tam giác vuông ABC 20 AC cm ) 3 CH 16 20 4 sin·CAH : CA 3 3 5
3. C H 3cm B A 5cm Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Lâm Đồng năm 2019-2020)Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao H BC . Biết BH 3cm, BC 9cm . Tính độ dài AB . Lời giải A B H C Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH ta có: AB2 BH.BC AB2 3.9 AB 27 3 3 cm Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 10cm, AH = 6cm, Tính độ dài các cạnh AC, BC của tam giác ABC. Lời giải Ta có:
4. 1 1 1 AH 2 AB2 AC 2 1 1 1 62 102 AC 2 1 1 1 36 100 AC 2 64 1 36.100 AC 2 15 AC (cm) 2 Ta có: AH.BC = AB.AC 15 6.BC = 10. 2 25 BC = (cm) 2 Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường trung tuyến BM ( M thuộc cạnh AC ). Biết AB 2a . Tính theo a độ dài AC , AM và BM . Lời giải AC AB 2a AC AM a 2 BM 2 AB2 AM 2 BM 5a Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là chân HB 1 đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC . Biết AH = 12cm , = . Độ dài đoạn BC là HC 3 A.6 cm .B. 8 cm . C. 4 3 cm . D.12 cm . Lời giải Chọn B HB 1 Theo đề bài ta có: HC 3HB . Áp HC 3 dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ta có AH 2 BH.HC 12 BH.3BH BH 2 4 BH 2 HC 3.HB 3.2 6 BC HB HC 2 6 8 cm Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Cho tam giác ABC có AB 4 cm, AC 4 3cm, BC 8cm. a) Chứng minh tam giác ABC vuông. b) Tính số đo Bµ, Cµ và độ dài đường cao AH của tam giác ABC. Lời giải
5. a) Ta có: AB2 42 16; AC 2 (4 3)2 48; BC 2 82 64 AB2 AC 2 16 48 64 BC 2 ABC vuông tại A (định lý Pitago đảo). b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong ABC ta có: AB 4 1 cos Bµ Bµ 60 BC 8 2 Cµ 180 Bµ µA 180 60 90 30 Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A và có đường cao AH ta có: AB.AC 4.4 3 AH.BC AB.AC AH 2 3 cm BC 8 Vậy Bµ 60 ,Cµ 30 , AH 2 3 cm. Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 4cm, AC 3cm . Lấy điêm̉ D thuộc cạnh AB AB AD . Đường tròn O đường kính BD cắt CB tại E , kéo dài CD cắt đường tròn O tại F . a)Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp. b)Biết BF 3cm . Tính BC và diện tích tam giác BFC . c)Kéo dài AF cắt đường tròn O tại điểm G . Chứng minh rằng BA là tia phân giác của góc CBG . Lời giải C E A D O B F G Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp. C· AD 900 (giả thiết C· ED 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Bốn điểm C, D, A, E cùng nằm trên đường tròn đường kính CD Vậy tứ giác ACED là tứ giác nội tiếp. Biết BF 3cm . Tính BC và diện tích tam giác BFC . ABC vuông tại A: BC 2 AB 2 AC 2 42 32 25
6. BC 5 BFC vuông tại F : CF 2 BC 2 BF 2 52 32 16 CF 4 1 1 S .BF.CF .3.4 6 (cm2 ) BFC 2 2 Tứ giác ACBF nội tiếp đường tròn ( do C· AB C· FB 900 ) nên ·ABC ·AFC (cùng chắn cung AC ) Mà ·ABG ·AFC (cùng bù với D· FG ) ·ABC ·ABG Vậy BA là tia phân giác của C· BG Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường trung tuyến AM . Biết AH 3cm; HB 4cm . Hãy tính AB, AC, AM và diện tích tam giác ABC . Lời giải Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường trung tuyến AM . Biết AH 3cm; HB 4cm . Hãy tính AB, AC, AM và diện tích tam giác ABC . Lời giải A C H M B Xét AHB vuông tại H , theo định lí Pitago, ta có: AB2 AH 2 HB2 AB2 32 42 9 16 25 AB 25 5 (cm) Xét ABC vuông tại A , có đường cao AH . 1 1 1 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AH 2 AB2 AC 2 1 1 1 1 1 1 1 AC 2 AH 2 AB2 32 52 9 25 1 16 225 AC 2 AC 2 225 16 225 15 AC (cm) 16 4 Xét ABC vuông tại A , theo định lí Pitago, ta có: BC 2 AB2 AC 2 2 2 2 15 225 625 BC 5 25 4 16 16
7. 625 25 BC (cm) 16 4 ABC vuông tại A , AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC 1 1 25 25 AM BC  (cm) 2 2 4 8 1 1 15 75 Diện tích tam giác ABC : S  AB  AC 5 (cm2 ) ABC 2 2 4 8 Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là chân HB 1 đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC . Biết AH = 12cm , = . Độ dài đoạn BC là HC 3 A.6 cm .B. 8 cm . C. 4 3 cm . D.12 cm . Lời giải Chọn B HB 1 Theo đề bài ta có: HC 3HB . Áp HC 3 dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ta có AH 2 BH.HC 12 BH.3BH BH 2 4 BH 2 HC 3.HB 3.2 6 BC HB HC 2 6 8 cm Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2019-2020) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB 3cm, AC 4cm. Tính đọ dài đường cao AH, tính cos ·ACB và chu vi tam giác ABH. Lời giải . BC 5 AB, AC 12 . AH BC 5 AC . cos ·ACB BC 4 . cos ·ACB 5 AB2 9 . BH BC 5 36 .Chu vi tam giác ABH là: . 5 Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Cho đường tròn tâm (O) với đáy AB cố định không phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC . Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K. a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp. b) Chứng minh MK.MN MI.MC c) chứng minh tam giác AKI cân tại K. Lời giải
8. a)Ta có: A· BN N· MC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung hai cung bằng nhau) H· BI H· MI Tứ giác BMHI nội tiếp ( tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau). b)Ta có M· NB A· CM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung hai cung bằng nhau) M· NI M· CK Xét tam giác MIN và tam giác MKC ta có: N· MC : chung M· NI M· CK cmt MI MK MIN MKC g g MK.MN MI.MC MN MC c)Ta có M· NI M· CK (cmt) nên tứ giác NCIK nội tiếp H· KI N· CI N· CM ( góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp) sdM¼ N Lại có N· MC (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn) 2 sdA»N sdB¼M sdA»N sdA¼M sdM¼ N A· HN (góc có đỉnh bên trong đường tròn) 2 2 2 N· CM A· HK H· KI A· HK mà chúng ở vị trí so le trong AH / /KI Chứng minh tương tự ta có A· KH K· HI mà chúng ở vị trí so le trong AK / /HI AH / /KI Xét tứ giác AHIK ta có AHKI là hình bình hành (1) AK / /HI Tứ giác BMHI là tứ giác nội tiếp M· HB M· IB (hai góc nt cùng chắn cung MB) Tứ giác NCIK là tứ giác nội tiếp N· KC K· IC (hai góc nt cùng chắn cung NC) Mà M· IB N· IC dd M· HB N· KI A· HK A· KH AHK cân tại H AH AK 2 Từ (1) và (2) tứ giác AHIK là hình thoi KA KI AKI cân tại K (đpcm) Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020) Qua điểm A năm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là các tiếp điểm. Gọi E là trung điểm của đoạn AC, F là giao điểm thứ hai của EB với (O) 1)Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp và ∆CEF  ∆BEC 2)Gọi K là giao điểm thứ hai của AF với đường tròn (O). Chứng minh BF.CK = BK.CF 3)Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABF Lời giải
9. B K F O H A E x C 1) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp và ∆CEF  ∆BEC Có AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) , B và C là ác tiếp điểm AB  OB, AC  OC A· BO 900 , ·ACO 900 Tứ giác ABOC có A· BO A· CO 900 900 1800 nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn + Đường tròn (O) có: E· BC là góc nội tiếp chắn cung CF E· CFlà góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung CF E· BC E· CF (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CF) Xét ∆CEF và ∆BEC có B· EC là góc chung E· BC E· CF (chứng minh trên)  ∆CEF  ∆BEC (g . g) 2) Chứng minh BF.CK = BK.CF Xét ∆ABF và ∆AKB có B· AK là góc chung A· BF A· KB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BF) BF AF  ∆ABF  ∆AKB (g . g) (1) BK AB Chứng minh tương tự ta có: CF AF ∆ACF  ∆AKC (g . g)  (2) CK AC Mà AB = AC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau của (O)) (3) BF CF Từ (1), (2) và (3)  BF.CK BK.CF BK CK 3) Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABF Có ∆ECF  ∆EBC (Chứng minh câu a) EC EF EC2 EB.EF EB EC EA EF Mà EC = EA (gt) EA2 EB.EF EB EA Xét ∆BEA  ∆AEF có: EA EF EB EA A· EB là góc chung  ∆BEA  ∆AEF (c.g.c) E· AF E· BA ( hai góc tương ứng) hay E· AF A· BF Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chưa điểm E, kẻ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ABF E· AF x· AF (Cùng bằng A· BF)  tia AE trùng với tia Ax  AE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ABF
10. Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2019-2020)Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC). a) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp. b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH = BE.HC. c) Gọi giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp ∆MHC là K. Chứng minh 3 điểm C, K, E thẳng hàng. Lời giải C M H K E A B O N a) Ta có: M· OB 900 (do AB  MN) và M· HB 900 (do MH  BC) Suy ra: M· OB M· HB 900 900 1800 Tứ giác BOMH nội tiếp. b) ∆OMB vuông cân tại O nên O· BM O· MB (1) Tứ giác BOMH nội tiếp nên O· BM O· HM (cùng chắn cung OM) và O· MB O· HB (cùng chắn cung OB) (2) Từ (1) và (2) suy ra: O· HM O· HB ME MH HO là tia phân giác của M· HB (3) BE HB Áp dụng hệ thức lượng trong ∆BMC vuông tại M có MH là đường cao ta có: HM HC HM 2 HC.HB (4) HB HM ME HC Từ (3) và (4) suy ra: 5 ME.HM BE.HC (đpcm) BE HM c) Vì M· HC 900 (do MH  BC) nên đường tròn ngoại tiếp ∆MHC có đường kính là MC M· KC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MN là đường kính của đường tròn (O) nên M· KN 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) M· KC M· KN 1800 3 điểm C, K, N thẳng hàng (*) HC MC ∆MHC ∽ ∆BMC (g.g) . Mà MB = BN (do ∆MBN cân tại B) MH BM HC MC ME HC , kết hợp với (theo (5) ) HM BN BE HM MC ME Suy ra: . Mà E· BN E· MC 900 ∆MCE ∽ ∆BNE (c.g.c) BN BE M· EC B· EN , mà M· EC B· EC 1800 (do 3 điểm M, E, B thẳng hàng) B· EC B· EN 1800 3 điểm C, E, N thẳng hàng (**)