Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Hình học - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Toán tuyển sinh vào Lớp 10 - Hình học - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Cho hình vuông ABCD. Gọi S1 là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD. S2 là diện tích phần còn lại của hình vuông nằm S ngoài hai nửa đường trong nói trên (như hình vẽ bên).Tính 1 S2 B C S2 S1 A D Lời giải Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Ta cm được: 2 a . .90 2 2 2 1 a a 1 S3 S4  360 2 2 4 4 2 a2 1 a2 1 a2 1 S1 S3 S4 4 4 2 4 4 2 2 4 2 2 2 1 2 a 1 a 3 S2 a 2 2 4 2 2 2 4 a2 1 S 2 4 2 2 Do đó 1 S a2 3 6 2 2 2 4 Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2018) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH , biết AB 5cm ; BH 3cm . Tính AH ,AC · và sinCAH . Lời giải AB2 AH 2 BH 2 Áp dụng Pitago vào tam giác vuông ABH AH 2 AB2 BH 2 52 32 16 AH 4( cm ) . Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC
2. AH 2 16 AH 2 BH .CH CH cm BH 3 16 25 Do đó BC BH CH 3 cm 3 3 16 25 400 AC 2 CH .BC  3 3 9 Áp dụng Pitago vào tam giác vuông ABC 20 AC cm ) 3 CH 16 20 4 sin·CAH : CA 3 3 5 C H 3cm B A 5cm Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2018) Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao H BC . Biết BH 3cm, BC 9cm . Tính độ dài AB . Lời giải A B H C Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH ta có: AB2 BH.BC AB2 3.9 AB 27 3 3 cm Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cho tam giác đều ABCnội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn b) Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G khác A. Chứng minh ON = NG c) PN cắt cung nhỏ BG của đường tròn (O) tại F. Tính số đo O· FP
3. Lời giải A M P O E B N C F G OM  AB 0 a)Do ABC ®Òu vµ M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB,AC O· MB O· NB 90 ON  BC XÐt tø gi¸c BMON cã :O· MB O· NB 900 900 1800 BMON lµ tø gi¸c néi tiÕp OA R b)Do O lµ träng t©m ABC nª n ON (tÝnh chÊt ®­êng trung tuyÕn) 2 2 R R R Mµ OG ON NG NG OG ON R . VËy NO NG (dpcm) 2 2 2 c)Gäi E lµ giao ®iÓmOC vµ PN Do ABC ®Òu nª n OC  AB mµ NO / /AB (do NP lµ ®­êng trung b×n h tamgi¸c ABC) suy ra OC  NP t¹i E nª n OEF vu«ng t¹i E. ON2 R XÐt ONC vu«ng t¹i N cã NE ®­êng cao NO2 OE.OC OE (¸p dông hÖ thøc l­îng) OC 4 R OE 1 XÐt vu«ngOEF cã :sin O· FE sin O· FP 4 O· FP 14028' OF R 4 Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cầu vòm là một dạng cầu đẹp bởi hình dáng cầu được uốn lượn theo một cung tròn tạo sự hài hòa trong thiết kế cảnh quan, đặt biệt là là các khu đô thị có dòng sông chảy qua, tạo được một điểm nhấn của công trình giao thông hiện đại. Một chiếc cầu vòm được thiết kế như hình vẽ, vòm cầu là
4. một cung tròn A¼MB . Độ dài đoạn AB bằng 30m, khoảng cách từ vị trí cao nhất ở giữa vòm cầu so với mặt sàn cầu là đoạn MK có độ dài 5m. Tính chiều dài vòm cầu Lời giải M A B K O N Gi¶ sö AMB lµ cung trßn cña ®­êng trßn t©mO.Ta vÏ ®­êng kÝnh MN khi ®ã M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB OM  AB AB vµ K lµ trung ®iÓm cña AB AK 15(m) 2 AK 15 XÐt AKM vu«ng t¹i K ta cã :tan A· MK 3 MK 5 Tamgi¸cOMA c©n t¹iO do OA OM R O· MA O· AM arctan3 A· OM 1800 (O· MA O· AM) 1800 2arctan3 OAB cãOA OB R AOB c©n t¹iOsuy ra ®­êng cao ®ång thêi ph©n gi¸c. Khi ®ã :A· OB 2A· OK 3600 4arctan 73,70 R.n .25.73,70 VËy ®é dµi cung AMB lµ :l 32,18(m) 1800 1800 Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ MN). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của B· IC . c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng AMF ∽ AON và BC //DN . d) Giả sử OA = 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R. Lời giải
5. C N I E M A F O D B a) Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm B AB  OB hay A· BO 900 Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm C AC  OC hay ·ACO 900 . Tứ giác ABOC có ·ACO ·ABO 900 nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO. b) Xét EMB và ECN có: E· MB E· CN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB) E· BM E· NC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC) EMB ∽ ECN(gg) EM EB EB.EC EM.EN . EC EN Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) lần lượt tại các tiếp điểm B và C nên ·AOB ·AOC và AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Vì I là trung điểm MN OI  MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) ·AIO 900 I nằm trên đường tròn đường kính OA. Xét đường tròn đường kính OA ta có: ·AIC ·AOC; ·AIB ·AOB (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) Mà ·AOB ·AOC ·AIC ·AIB hay IA là phân giác của B· IC . c) Vì AB = AC và OB = OC nên AO là đường trung trực của BC AO vuông góc với BC tại F. Xét AOC vuông tại C, đường cao CF ta có AF.AO AC2 và FC 2 FA.FO . Xét ACM và ANC có: ·ACM ·ANC và µA chung
6. AC AM ACM ∽ ANC(gg) AC 2 AM.AN AN AC AF AM AF.AO AM.AN AN AO Xét AMF và AON có: AF AM µA chung; AMF ∽ AON( cgc ) AN AO Xét FCM và FDB có: F· CM F· DB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB) C· FM D· FB (đối đỉnh) FM FC FCM ∽ FDB FB FD FM .FD FB.FC FC 2 FM FA FM .FD FA.FO FO FD Xét FMA và FOD có: · · FM FA MFA OFD và FO FD FMA ∽ FOD( cgc ) F· MA F· OD Mà F· MA F· ON F· ON F· OD . FON và FOD có: FO cạnh chung, F· ON F· OD , ON = OD .. FN FD Vì FN = FD và ON = OD FO là đường trung trực của ND FO  ND mà FO  BC ND//BC. d) Xét AOC vuông tại C ta có: OA2 AC 2 OC 2 AC 2 OA2 OC 2 4R2 R2 3R2 AC R 3 . OC R 1 Xét AOC vuông tại C ta có: sinC· AO OA 2R 2 C· AO 300 C· AB 600 ABC có AB = AC và C· AB 600 ABC là tam giác đều.
7. 3 3R đường cao h AB 2 2 1 1 3R 3R2 3 S h.AB   R 3 (dvdt) BCA 2 2 2 4 Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Cho tam giác nhọn ABC . Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm M , N ( M B, N C ). Gọi H là giao điểm của BN và CM ; P là giao điểm của AH và BC . a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh BM.BA BP.BC . c) Trong trường hợp đặc biệt khi tam giác ABC đều cạnh bằng 2a . Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo a . d) Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AE và AF của đường tròn tâmO đường kính BC ( E, F là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng. Lời giải A M N F E H C B P O a) + Chỉ ra được ·AMH 900 ·ANH 900 nên M và N cùng thuộc đường tròn đường kính AH. ( hoặc ·AMH ·ANH 1800 ) Vậy tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn. b)Tứ giác AMPC có ·APC 900 (do H là trực tâm tam giác ABC) và ·AMC 900 nên tứ giác AMPC nội tiếp đường tròn đường kính AC (Hoặc hai tam giác BMC và tam giác BPA đồng dạng) BM BC Chỉ ra được BP BA Từ đó suy ra BM.BA = BP.BC c) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường kính AH Tam giác ABC đều nên trực tâm H cũng là trọng tâm 2 2 AB 3 2a 3 AH .AP . ( hoặc tính được bán kính đường tròn ngoại 3 3 2 3
8. 1 a 3 tiếp tứ giác AMHN là R AH ) 2 3 2 a 3 Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN bằng .AH = . 3 ( Hoặc tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN theo công thức 2 R ) 2 a 3 Kết luận : Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN bằng . 3 AH AE d) Ta có AH.AP = AM.AB = AE2 . AE AP AH AE Hai tam giác AHE và AEP có và E· AP chung nên tam giác AHE AE AP đồng dạng với tam giác AEP suy ra ·AHE ·AEP (1) Tương tự, ta có: ·AHF ·AFP (2) Mặt khác: tứ giác AFOP và AEOF nội tiếp đường tròn đường kính AO nên năm điểm A,E,P,O,F cùng thuộc đường tròn đường kính AO . Suy ra tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên ·AEP ·AFP 1800 (3). Từ (1),(2) và (3) ·AHE ·AHF ·AEP ·AFP 1800 E· HF 1800 . Vậy ba điểm E, H, F thẳng hàng. Câu 8.(Tuyển sinh tỉnh Bắc Cạn năm 2018-2019) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O). Trên tia Ax lấy điểm C, từ điểm C vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai diểm D và E (D, E không cùng nằm trên nửa mặt phẳng bở AB; D nằm giữa C và E). Từ điểm O kẻ OH vuông góc với DE tại H. a) Chứng minh rằng tứ giác AHOC nội tiếp b) Chứng minh rằng AD.CE=AC.AE c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. chứng minh rằng tứ giác AMBN là hình bình hành Lời giải
9. C M D H A O B E N a) v× Ax tiÕp tuyÕn C· AO 900 XÐt tø gi¸c AOHC cã :C· AO C· HO 900 900 1800 CAOH lµ tø gi¸c néi tiÕp b)XÐt ADC vµ EAC cã : C· AD A· EC (cïng ch¾n A»D); Cµ chung ADC : EAC (g g) AD AC AD.EC AC.AE (dpcm) EA EC Câu 9.(Tuyển sinh tỉnh Bạc Liêu năm 2018-2019) Cho nửa dường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm tùy ý bất kỳ trên cung AC (M khác A và C là điêm chính giữa cung AB), BM cắt AC tại H. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB. a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK c) Kẻ CP vuông góc với BM (P thuộc BM) và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ME=2CP. Lời giải
10. C M H P E A B K O XÐt tø gi¸c BCHK cã :H· CB 900 (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn);H· KB 900 (gt) H· CB H· KB 900 900 1800 VËy tø gi¸cCHKB lµ tø gi¸c néi tiÕp(dpcm) b)Tø gi¸c BCKH néi tiÕp A· CK M· BA(cïng ch¾n cung HK) M· CA M· BA(cïng ch¾n cung MA) A· CK M· BA M· CA hay CA lµ tia ph©n gi¸c M· CK c)XÐt CMA vµ CEB cã :MA EB (gt);M· AC E· BC (cïng ch¾n cung MC) CA CB ( CAB vu«ng c©n) CMA CEB (cgc) CM CE CME c©n t¹iC Mµ C· MB C· AB 450 (cïng ch¾n C»B) C· EM 450 M· CE 900 VËy CME vu«ng c©n t¹i C Mµ CP  ME(gt) nª n CP ®­êng cao còng lµ trung tuyÕn CME Do ®ã PM PN CP ME 2CP Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Cho đường tròn đường kính AB , các điểm C, D nằm trên đường tròn đó sao cho C, D nằm khác phía đối với đường thẳng AB , đồng thời AD AC . Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ »AC , »AD lần lượt là M , N ; giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I ; giao điểm của MD và CN là K . a) Chứng minh ·ACN D· MN . Từ đó suy ra tứ giác MCKH nội tiếp. b) Chứng minh KH song song với AD .