Tổng hợp Chuyên đề trọng tâm thi vào Lớp 10 chuyên và học sinh giỏi Đại số Lớp 9 - Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai - Nguyễn Trung Kiên

Nội dung text: Tổng hợp Chuyên đề trọng tâm thi vào Lớp 10 chuyên và học sinh giỏi Đại số Lớp 9 - Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai - Nguyễn Trung Kiên

1. CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI I. HÀM SỐ BẬC NHẤT KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa: + Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y ax b trong đó a và b là các số thực cho trước và a 0 . + Khi b 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y ax , biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x 2. Tính chất: a. Hàm bậc nhất, xác định với mọi giá trị x ¡ b. Trên tập số thực, hàm số y ax b đồng biến khi a 0 và nghịch biến khi a 0 . 3. Đồ thị hàm số: y ax b a 0 + Đồ thị hàm số y ax b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và cắt trục b hoành tại điểm có hoành độ bằng . a + a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b 4. Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b + Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm. b + Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độA ;0 , B 0;b . a + Chú ý: Đường thẳng đi qua M (m;0) song song với trục tung có phương trình: x m 0 . Đường thẳng đi qua N(0;n) song song với trục hoành có phương trình: y n 0 5. Kiến thức bổ sung: 2 2 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(x1; y1), B(x2 ; y2 ) thì AB = (x2 x1) (y2 y1) . x x y y Điểm M (x; y) là trung điểm của AB th× x = 1 2 ; y = 1 2 . 2 2 6. Điều kiện để hai đường thẳng song song. Hai đường thẳng vuông góc. ' ' ' Cho hai đường thẳng (d1) : y ax b và đường thẳng (d2 ) : y a x b , a, a 0. ' ' (d1) / / (d2 ) a a và b b . ' ' (d1)  (d2 ) a a và b = b ' (d1) cắt (d2 ) a a . ' (d1)  (d2 ) a.a = -1. Chú ý: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y ax b và trục Ox , nếu a 0 thì tan = a. II. MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT TỌA ĐỘ Ví dụ 1. 2 2 Cho đường thẳng (d1) : y x 2 và đường thằng (d2 ) : y (2m m)x m m. a. Tìm m để (d1) // (d2 ).
2. b. Gọi A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hoành độ x 2 . Viết phương trình đường thẳng (d3 ) đi qua A vuông góc với (d1) . c. Khi (d1) // (d2 ). Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1),(d2 ). d. Tính khoảng cách từ gốc tọa O đến đường thẳng (d1) và tính S OMN với M , N lần lượt (d ) Ox,Oy là giao điểm của 1 với các trục tọa độ . Lời giải 2m2 m 1 (m 1)(2m 1) 0 1 a. Đường thằng (d ) // (d ) khi và chỉ khi m 1 2 2 m m 2 (m 1)(m 2) 0 2 1 Vậy với m thì (d ) // (d ) . 2 1 2 b. Vì A (d1) có hoành độ x 2 suy ra tung độ điểm A là y 2 2 4 suy ra A(2;4) . Đường thẳng (d1) có hệ số góc là a 1, đường thẳng (d2 ) có hệ số góc là , , , a a .1 1 a 1. Đường thẳng (d3 ) có dạng y x b. Vì (d3 ) đi qua A(2;4) suy ra 4 2 b b 6. Vậy đường thẳng (d3 ) là y x 6 . c. Khi (d1) // (d2 ) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) vµ (d2 ) cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm A, B lần lượt thuộc (d1) vµ (d2 ) sao cho AB  (d1); AB  (d2 ). Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d3 ) và d2 . Phương trình hoành độ giao điểm của (d2 ) và d3 là 1 25 23 25 23 x 6 x x y B ; 4 8 8 8 8 Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: 2 2 25 23 9 2 AB 2 4 8 8 8 d. Gọi M , N lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d1) với các trục tọa độ Ox,Oy. Ta có: Cho y 0 x 2 A( 2;0), cho y 0 x 2 N( 2;0). Từ đó suy ra OM ON 2 MN 2 2. Tam giác OMN vuông cân tại O . Gọi H là hình chiếu vuông góc 1 1 của O lên MN ta có OH MN 2 và S OM.ON 2 (đvdt) 2 OMN 2
3. Chú ý: Nếu tam giác OMN không vuông cân tại O . Ta có thể tính OH theo cách: Trong tam vuông OMN ta có: 1 1 1 (*) . Từ đó để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng (d) ta làm OH 2 OM 2 ON 2 theo cách: + Tìm các giao điểm M , N của (d) với các trục tọa độ. + Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông OMN (công thức (*)) để tính đoạn OH . Bẳng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau: Cho điểm M (x0 ; y0 ) và đường thẳng ax by c 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là: ax by c d 0 0 a2 b2 Ví dụ 2. Cho đường thẳng mx (2 3m)y m 1 0 (d). a. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. b. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. c. Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB cân. Lời giải a. Gọi I(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m khi đó ta có: x0 3y0 1 0 mx0 (2 3m)y0 m 1 0,m m(x0 3y0 1) 2y0 1 0,m 2y0 1 0 1 x 0 2 1 1 Hay I ; . 1 2 2 y 0 2 b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d) . Ta có: OH OI suy ra OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H  I OI  (d). Đường thẳng qua O có phương trình: 1 1 1 1 y ax do I ; OI a. a 1 OI : y x. 2 2 2 2 Đường thẳng (d) được viết lại như sau: mx (2 3m)y m 1 0 (2 3m)y mx 1 m. 2 1 + Để ý rằng với m thì đường thẳng (d) : x 0 song song với trục Oy nên khoảng cách 3 2 1 từ O đến đường thẳng d là: . 2 2 m m 1 + Nếu m đường thẳng (d) có thể viết lại: y x . Điều kiện để (d)  OI là 3 3m 2 3m 2 2 2 m 1 1 1 2 .1 1 m 2 3m m . Khi đó khoảng cách OI . 3m 2 2 2 2 2 1 Vậy m là giá trị cần tìm. 2 c. Ta có thể giải bài toán theo hai cách sau:
4. 2 2 Cách 1: Dễ thấy m không thỏa mãn điều kiện (Do (d) không cắt Oy). Xét m , đường 3 3 thẳng (d) cắt Ox,Oy tại các điểm A, B tạo thành tam giác cân OAB . Do ·AOB 900 OAB vuông tại O . Suy ra hệ số góc của đường thẳng (d) phải bằng 1 hoặc -1 và đường thẳng (d) không đi qua gốc O . m 1 m 1 3m 2 1 1 Ta thấy chỉ có giá trị m là thỏa mãn điều kiện bài toán. m m 2 1 2 3m 2 2 Cách 2. Dễ thấy m ,m 0 không thỏa mãn điều kiện. 3 2 m m 1 Xét m 0; , đường thẳng (d) có thể viết lại: y x 3 3m 2 3m 2 Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm A có tung độ bằng 0 nên m m 1 1 m 1 m 1 m x 0 x A ;0 OA , đường thẳng (d) cắt trục Oy tại 3m 2 3m 2 m m m m 1 m 1 m 1 điểm có hoành độ bằng 0 nên y B 0; OB . Điều kiện để tam giác 3m 2 3m 2 3m 2 m 1 1 m m 1 m 1 OAB cân là OA OB 1 Giá trị m 1 không thỏa mãn, m 3m 2 m 3m 2 m 2 do đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ. 1 Kết luận: m . 2 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng (d1) : mx (m 1)y 2m 1 0, (d2 ) : (1 m)x my 4m 1 0 a. Tìm các điểm cố định mà (d1),(d2 ) luôn đi qua. b. Tìm m để khoảng cách từ điểm P(0;4) đến đường thẳng (d1) là lớn nhất. c. Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I. Tìm quỹ tích điểm I khi m thay đổi. d. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB với A, B lần lượt là các điểm cố định mà (d1),(d2 ) đi qua. Lời giải a. Ta viết lại (d1) : mx (m 1)y 2m 1 0 m(x y 2) 1 y 0. Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A(1;1) . Tương tự viết lại (d2 ) : (1 m)x my 4m 1 0 m(y x 4) 1 x 0 suy ra (d2 ) luôn đi qua điểm cố định: B( 1;3). b. Để ý rằng đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định: A(1;1). Gọi H là hình chiếu vuông góc của P lên d1 thì khoảng cách từ A đến d1 là PH PA. Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi P  H PH  (d1). Gọi y = ax + b là phương trình
5. a.0 b 4 b 4 đường thẳng đi qua P(0;4), A(1;1) ta có hệ: suy ra phương trình đường a.1 b 1 a 3 thẳng PA: y 3x 4. Xét đường thẳng (d1) : mx (m 1)y 2m 1 0. Nếu m = 1 (d1) : x 1 0 không thỏa mãn điều kiện. m 2m 1 Khi m 1 (d ) : y x . 1 1 m m 1 m 1 Điều kiện để (d )  PA : ( 3) 1 m . 1 1 m 4 c. Nếu m 0 d1 : y 1 0, d2 : x 1 0 suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại I( 1;1). Nếu m 1 thì (d1) : x 1 0, (d2 ) : y 3 0 suy ra hai đường thẳng này luôn vuông góc với nhau và cắt nhau tại I(1;3) . m 2m 1 m 1 4m 1 Nếu m 0;1 thì ta viết lại (d ) : y x và (d ) : y x . 1 1 m m 1 2 m m m m 1 Ta thấy 1 (d1)  (d2 ). 1 m m Do đó hai đường thẳng này luôn cắt nhau tại 1 điểm I. Tóm lại với mọi giá trị của m thì hai đường thẳng (d1), (d2) luôn vuông góc và cắt nhau tại điểm I. Mặt khác theo câu a) ta có (d1), (d2) lần lượt đi qua hai điểm cố định A, B suy ra tam giác IAB vuông tại A. Nên I nằm trên đường tròn đường kính AB. d. Ta có AB ( 1 1)2 (3 1)2 2 2 . Dựng IH  AB thì 1 1 1 AB AB 2 S IH.AB IK.AB .AB 2 . Vậy IAB 2 2 2 2 4 giá trị lớn nhất của diện tích tam giác IAB là 2 khi và chỉ khi IH=IK. Hay tam giác IAB vuông cân tại I. Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN Ta có các kết quả quan trọng sau: + Xét hàm số y f (x) ax b với m x n khi đó GTLN, GTNN cuả hàm số sẽ đạt được tại x=m hoặc x=n. Nói cách khác: min {f (x) min f (m); f (n) và max {f (x) max f (m); f (n) . m x n m x n Như vậy, để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x) ax b với m x n ta chỉ cần tính các giá trị biên là f(m),f(n) và so sánh hai giá trị đó để tìm GTLN, GTNN. + Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất y f (x) ax b có f (m), f (n) 0 thì f (x) 0 với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện: m x n . Ví dụ 1: Cho các số thực 0 x, y, z 2 . Chứng minh rằng: 2(x y z) (xy yz zx) 4 . Lời giải:
6. Ta coi y, z như là các tham số, x là ẩn số thì bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại như sau: f (x) (2 y z) 2(y z) yz 0 . Để chứng minh f (x) 0 ta cần chứng minh: f (0) 0 . Thật vậy ta có: f (2) 0 + f (0) 2(y z) yz 4 (y 2)(2 z) 0 với y,z thỏa mãn: 0 y, z 2 . + f (x) 2(2 y z) 2(y z) yz 4 yz 0 với y,z thỏa mãn: 0 y, z 2 . Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (x,y,z)=(0;2;2) hoặc các hoán vị của bộ số trên. Ví dụ 2: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z 1. Tìm GTLN của biểu thức P xy yz zx 2xyz. Lời giải x y z 1 Không mất tính tổng quát ta giả sử z min(x, y, z) z . Ta có 3 3 (x y)2 (1 z)2 0 xy . P xy(1 2z) (x y)z xy(1 2z) z(1 z). Ta coi z là tham số xy là 4 4 1 z 2 ẩn số thì f (xy) xy(1 2z) z(1 z) là hàm số bậc nhất của xy với 0 xy . Để ý rằng 4 1 2z 0 suy ra hàm số f (xy) xy(1 2z) z(1 z) luôn đồng biến. Từ đó suy ra 2 2 1 z 1 z 2z3 z2 1 f (xy) f 1 2z z 1 2z 4 4 4 2 7 1 3 1 2 1 7 1 1 1 7 z z z z . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 27 2 4 108 27 2 3 6 27 1 x y z . 3 Ví dụ 3 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a b c 1 . Chứng minh rằng 5(a2 b2 c2 ) 6(a3 b3 c3 ) 1. Lời giải 1 Không mất tính tổng quát ta giả sử: a min{a,b,c) a . Bất đẳng thức tương đương với 3 3 5 a2 (b c)2 2bc 6 a3 b c 3bc(b c) 1 2 3 5 a2 1 a 2bc 6 a3 1 a 3bc(1 a) 1 9a 4 bc (2a 1)2 0. Đặt t bc thì 2 2 b c 1 a 2 0 t .Ta cần chứng minh f (t) 9a 4 t 2a 1 0 với mọi 2 2 2 1 a t 0; . Do 9a 4 0 suy ra hàm số f (t) nghịch biến. Suy ra 2 2 1 a 1 1 f (t) f a(3a 1)2 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c . 2 4 2
7. III. HÀM SỐ BẬC HAI KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y ax2 (a 0) : hàm số xác định với mọi số thực x . Tính chất biến thiên: +) Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 . +) Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 . Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng. Khi a 0 thì parabol có bề lõm quay lên trên, khi a 0 thì parabol có bề lõm quay xuống dưới. Ví dụ 1: a, Hãy xác định hàm số y f (x) ax2 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(2;4) . b, Vẽ đồ thị của hàm số đã cho c, Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng 16. d, Tìm m sao cho B(m;m3 ) thuộc parabol. e, Tìm các điểm trên parabol khác gốc tọa độ cách đều hai trục tọa độ. Lời giải a, Ta có A (P) 4 a.22 a 1 b, Đồ thị parabol có đỉnh là gốc tọa độ O(0;0) bề lõm quay lên trên, có trục đối xứng là Oy đi qua các điểm M (1;1), N( 1;1), E(3;9), F( 3;9) c, Gọi C là điểm thuộc (P) có tung độ bằng 16. 2 Ta có: yc 16 xc 16 xc 4 . VậyC(4;16) hoặc C( 4;16). d. Thay tọa độ điểm B vào P ta được: m3 m2 m3 m2 0 m2 m 1 0 m 0 hoặc m 1. 2 e. Gọi D là điểm thuộc P cách đều hai trục tọa độ. Ta có: d D,Ox yD xD ;d D,Oy xD . 2 Theo giả thiết ta có: xD xD xD 0 (loại) hoặc xD 1. Vậy D 1;1 hoặc D 1;1 .
8. Ví dụ 2. Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5 m (Bỏ qua độ dày của cổng). a. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol P : y ax2 với a 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a 1. b. Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao? (Trích đề tuyển sinh vào 10 – trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015 – 2016) Lời giải a. Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên MA NA 2m . Theo giả thiết ta có OM ON 2 5 , áp dụng định lí Pitago ta tính được: OA 4 vậy M 2; 4 , N 2; 4 . Do M 2; 4 thuộc parabol nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình: P : y ax2 hay 4 a.22 a 1 và P : y x2 . b. Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng. 3 Xét đường thẳng d : y (ứng với chiều cao của xe). 2 Đường thẳng này cắt Parabol tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: 2 3 3 2 3 x x ; y 2 2 2 3 3 2 3 y x ; y 2 2 2 3 2 3 3 2 3 Suy ra tọa độ hai giao điểm là T ; ; H ; HT 3 2 2,4 . 2 2 2 2 Vậy xe tải có thể đi qua cổng. Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y 1 và điểm F 0;1 . Tìm tất cả những điểm I sao cho khoảng cách từ I đến d bằng IF . Lời giải 2 Giả sử điểm I x; y . Khi đó khoảng cách từ I đến d bằng y 1 và IF x2 y 1 . Như vậy 2 2 1 y 1 x2 y 1 . Từ đây suy ra y x2 . Do đó tập hợp tất cả những điểm I sao cho 4 1 khoảng cách từ I đến d bằng IF là đường Parabol P : y x2 . 1 4 Ví dụ 4. a. Xác định điểm M thuộc đường Parabol P : y x2 sao cho độ dài đoạn IM là nhỏ nhất, trong đó I 0;1 . b. Giả sử điểm A chạy trên Parabol P : y x2 . Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn OA .
9. Lời giải a. Giả sử điểm M thuộc đường parabol P : y x2 suy ra M m;m2 khi đó 2 2 2 2 2 4 2 2 1 3 3 IM m m 1 m m 1. Vậy IM m . Ta thấy IM nhỏ nhất bằng 2 4 2 3 2 2 1 khi m hay M ; . 2 2 2 2 2 2 b. Giả sử điểm A a;a thuộc P : y x . Gọi I xI ; yI là trung điểm đoạn OA . a x I 2 Suy ra . a2 y 2x2 I 2 I 2 Vậy tập hợp các trung điểm I của đoạn OA là đường parabol P1 : y 2x . Ví dụ 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A và B chạy trên parabol P : y x2 sao cho A, B O 0;0 và OA  OB . Giả sử I là trung điểm của đoạn AB . a. Tìm quỹ tích điểm trung điểm I của đoạn AB . b. Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm cố định. c. Xác định tọa độ điểm A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Lời giải a. Giả sử A a;a2 và B b;b2 là hai điểm thuộc P . Để A, B O 0;0 và OA  OB ta cần điều 2 kiện: ab 0 và OA2 OB2 AB2 hay ab 0 và a2 a4 b2 b4 a b 2 a2 b2 . Rút gọn hai vế ta được: ab 1. Gọi I xI ; yI là trung điểm đoạn AB . Khi đó: a b xI 2 2 a2 b2 a b 2ab y 2x2 1 I 2 2 I Vậy tọa độ điểm I thỏa mãn phương trình y 2x2 1. Ta cũng có thể tìm điều kiện để OA  OB theo cách sử dụng hệ số góc: Đường thẳng OA có a2 b2 hệ số góc là k a, đường thẳng OB có hệ số góc là k b. Suy ra điều kiện để 1 a 2 b OA  OB là a.b 1 x a y a2 b) Phương trình đường thẳng đi qua A và B là (AB) : hay b a b2 a2 (AB) : y (a b)x ab (a b)x 1. Từ đây ta dễ dàng suy ra đường thẳng (AB) : y (a b)x 1 luôn luôn đi qua điểm cố định (0;1). 2 c) Vì OA  OB nên ab 1. Độ dài đoạn AB a b 2 a2 b 2 hay AB a 2 b2 2ab a4 b4 2a2b2 . Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có a2 b2 2 a2b2 2 ab , a4 b4 2a2b2. Ta có: AB 2 ab 2 2a2b2 2a2b2 2. Vậy AB ngắn
10. nhất bằng 2 khi a2 b2 , ab 1. Ta có thể chỉ ra cặp điểm đó là: A( 1;1) và B(1;1). Ví dụ 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) : y x2 , trên (P) lấy hai điểm A( 1;1) , B(3;9). a, Tính diện tích tam giác OAB. b, Xác định điểm C thuộc cung nhỏ AB của (P) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất. Lời giải: a, Gọi y ax b là phương trình đường thẳng AB . a.( 1) b 1 a 2 Ta có suy ra phương trình đường thẳng AB (d) : y 2x 3. Đường a.3 b 9 b 3 thẳng AB cắt trục Oy tại điểm I(0;3). Diện tích tam giác OAB là: 1 1 S S S AH.OI BK.OI. OAB OAI OBI 2 2 Ta có AH 1; BK 3,OI 3. Suy ra SOAB 6 (đvdt). b, Giả sử C(c;c2 ) thuộc cung nhỏ (P) với 1 c 3. Diện tích tam giác: SABC SABB A SACC A SBCC B . Các tứ giác ABB A , AA C C,CBB C đều là hình thang vuông nên ta có: 1 9 1 c2 9 c2 S .4 .(c 1) .(3 c) 8 2(c 1)2 8. ABC 2 2 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất bằng 8 (đvdt) khi C(1;1). IV. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Công thức nghiệm phương trình bậc hai. Kiến thức cần nhớ Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) có biệt thức b2 4ac. + Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. b + Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép x . 2a + Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: b b x ; x . 1 2a 2 2a Công thức nghiệm thu gọn: Khi b 2b , ta xét b 2 ac. Khi đó: + Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm. b + Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép x . a b b + Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x ; x . 1 2a 2 2a 2. Sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai. Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm. Thông thường ta chứng minh: 0 dựa trên các kỹ thuật như biến đổi tương đương để đưa về dạng Ax B 2 0, kiến thức về