Một số đề thi tham khảo học sinh giỏi môn Toán 8 (Có hướng dẫn chấm thi)

Nội dung text: Một số đề thi tham khảo học sinh giỏi môn Toán 8 (Có hướng dẫn chấm thi)

1. MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO HSG MÔN TOÁN 8 ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 1,0 1
2. x2 y2 z2 1(dfcm) 0,25 a2 b2 c2 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K· DC 0,5 Chứng minh : CBH : CDK(g g) 1,0 CH CK CH.CD CK.CB 0,5 CB CD b, 1,75 Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,25 AF AK AD.AK AF.AC 0,25 AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,25 CF AH 0,25 CD AC CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC 0,5 AB AC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25 3
3. a b c c. Nhân cả 2 vế của: 1 b c c a a b với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm) x 2 1 10 x2 Biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn được kq: A x 2 (1.5 điểm) 1 1 1 Câu 2 b. x x hoặc x (6 điểm) 2 2 2 4 4 A hoặc A 3 5 (1.5 điểm) c. A 0 x 2 (1.5 điểm) 1 d. A Z Z x 1;3 (1.5 điểm) x 2 E HV + GT + KL A B (1 điểm) F M D C Câu 3 a. Chứng minh: AE FM DF (6 điểm) AED DFC đpcm (2 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi SAEMF ME.MF lớn nhất ME MF (AEMF là hình vuông) M là trung điểm của BD. (1 điểm) 1 b c 1 a a a 1 a c a. Từ: a + b + c = 1 1 b b b 1 a b 1 Câu 4: c c c (2 điểm) (1 điểm) 1 1 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 2 2 2 9 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = 3 5
4. a 3 4a 2 a 4 Câu 1 : (2 điểm) Cho P= a 3 7a 2 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên Câu 2 : (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . Câu 3 : (2 điểm) 1 1 1 1 a) Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c A = 3 b c a a c b a b c Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : BC 2 a) BD.CE= 4 b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Câu 5 : (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . đáp án đề thi học sinh giỏi Câu 1 : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1;a 2;a 4 0,25 a 1 Rút gọn P= 0,25 a 2 a 2 3 3 b) (0,5đ) P= 1 ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3, a 2 a 2 mà Ư(3)= 1;1; 3;3 0,25 7
5. ˆ 0 ˆ 0 ˆ Vì M 2 =60 nên ta có : M 3 120 M 1 ˆ ˆ Suy ra D1 M 3 Chứng minh BMD ∾ CEM (1) 0,5 BD CM Suy ra , từ đó BD.CE=BM.CM BM CE BC BC 2 Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= 0,5 2 4 BD MD b) (1đ) Từ (1) suy ra mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD BM EM Chứng minh BMD ∾ MED 0,5 ˆ ˆ Từ đó suy ra D1 D2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 0,5 Câu 5 : (1đ) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 9
6. Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x4 3x3 ax b chia heát cho ña thöùc B(x) x2 3x 4 Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy. Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng 1 1 1 1 P 1 22 32 44 1002 Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm Caâu Ñaùp aùn Bieåu ñieåm 1 A a 1 a 3 a 5 a 7 15 2 ñ a2 8a 7 a2 8a 15 15 0,5 ñ 0,5 ñ 2 a2 8a 22 a2 8a 120 0,5 ñ 2 0,5 ñ a2 8a 11 1 a2 8a 12 a2 8a 10 a 2 a 6 a2 8a 10 2 Giaû söû: x a x 10 1 x m x n ;(m,n Z) 0,25 ñ 2 ñ x2 a 10 x 10a 1 x2 m n x mn 0,25 ñ 0,25 ñ m n a 10 m.n 10a 1 Khöû a ta coù : mn = 10( m + n – 10) + 1 0,25 ñ mn 10m 10n 100 1 0,25 ñ m(n 10) 10n 10) 1 0,25 ñ m 10 1 m 10 1 0,25 ñ vì m,n nguyeân ta coù: n 10 1 v n 10 1 0,25 ñ suy ra a = 12 hoaëc a =8 3 Ta coù: 1 ñ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 ñ a 3 0 a 3 0,5 ñ Ñeå A(x)B(x) thì b 4 0 b 4 4 3 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 11
7. Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 4: (3 điểm) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x2 1 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: A· FE B· FD, B· DF C· DE, C· ED A· EF . a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: 3 a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = x y z x3 y3 z3 2 = y z x y z x y z x x2 y z y2 yz z2 2 = y z 3x 3xy 3yz 3zx = 3 y z x x y z x y = 3 x y y z z x . b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x4 x 2010x2 2010x 2010 = x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 = x2 x 1 x2 x 2010 . Bài 2: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 13
8. Bµ , Cµ  s s AEF s DBF DEC ABC BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC 7 CD BD 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5 ĐỀ SỐ 6 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x 17 x 21 x 1 b) 4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1 Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và 0 . x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A x 2 2yz y 2 2xz z 2 2xy 15
9. Vẽ hình đúng (0,25điểm) A 1 .HA'.BC S HA' HBC 2 C’ a) ; B ’ x S 1 AA' H ABC .AA'.BC N 2 M I (0,25điểm) A’ C S HC' B HAB SHAC HB' Tương tự: ; D SABC CC' SABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 (0,25điểm) AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 4 (0,25điểm) AA'2 BB'2 CC'2 Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó 17
10. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5. Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b, Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c, Biết SAOB= 2008 (đơn vị diện tích); SCOD= 2009 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A= : 1 x (1 x)(1 x x 2 ) x(1 x) (1 x)(1 x x 2 x) (1 x)(1 x) 0,5đ = : 1 x (1 x)(1 2x x 2 ) 1 0,5đ = (1 x 2 ) : (1 x) = (1 x 2 )(1 x) 0,5đ b, (1 điểm) 2 5 5 5 0,25đ Tại x = 1 = thì A = 1 ( ) 2 1 ( ) 3 3 3 3 25 5 0,25đ = (1 )(1 ) 9 3 34 8 272 2 0,5đ . 10 9 3 27 27 c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25đ Vì 1 x 2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 x 0 x 1 0,5đ KL 0,25đ Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc Biến đổi để có (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 0,5đ Biến đổi để có (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 (*) 0,5đ Vì (a b) 2 0 ; (b c) 2 0 ; (a c) 2 0; với mọi a, b, c 0,5đ 2 2 2 0,5đ nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a b) 0 ; (b c) 0 và (a c) 0 ; Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ 19