Nội dung Chuyên đề: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Nội dung text: Nội dung Chuyên đề: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC A.Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức: 1). Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng ( nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất ( giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên. 2). Phương pháp: a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A ta cần: + Chứng minh A k với k là hằng số + Chỉ ra dấu « = » có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến b Để tìm giá trị lớn nhất của A ta cần: + Chứng minh A k với k là hằng số + Chỉ ra dấu « = » có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A, max A là giá trị lớn nhất của A B.Các bài tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức: I.Dạng 1: Tam thức bậc hai Ví dụ 1: a)Tìm giá trị nhỏ nhất của A=2x2-8x+1 b)Tìm giá trị lớn nhất của B=-5x2-4x+1 Giải a)A= 2(x2-4x+4)-7 = 2(x-2)2-7 ³ 7 min A=-7 Û x=2 4 2 4 9 9 2 9 b)B= -5(x2+ x)+1 = -5(x2+2.x. + )+ = -5(x+ )2 £ 5 5 25 5 5 5 5 9 2 max B = Û x= - 5 5 Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2+bx+c a)Tìm min p nếu a > 0 b)Tìm max P nếu a < 0 Giải
2. Đặt x2-7x+ 6 =y thì A = (y - 6)(y+6) = y2 – 36 ≥ 36 Min A = -36 y = 0 x2 -7x + 6 =0 (x-1)(x-6)=0 x=1 hoặc x=6 a)B = 2x2 + y2 -2xy -2x +3 = (x2 – 2xy+ y2)+( x2 -2x +1) +2 ïì x - y = 0 = (x-y)2 + (x-1)2+2 ≥ 2 íï x=y=1 îï x - 1= 0 2 2 2 2 b)C = x +xy + y -3x-3y = x -2x + y -2y +xy – x – y 2 2 Ta có C+3 = (x -2x+1)+ (y -2y +1)+ (xy –x –y +1) = (x-1)2 + (y-1)2 + (x-1) (y-1). Đặt x-1 = a; y-1 =b thì b b2 3b2 b 3b2 C+3 = a2 +b2 +ab = (a2 + 2.a. + )+ = (a+ )2 + ≥ 0 2 4 4 2 4 Min (C+3) = 0 hay min C = -3 a=b =0 x=y=1 2)Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của a)C= (x+8)4+ (x+6)4 Đặt x+7 =y C= (y+1)4 +(y-1)4 = y4 +4y3 +6y2 +4y +1 + y4 - 4y3+6y2-4y+1 = 2y4+ 12y2 +2 ≥ 2 min A = 2 y=0 x = -7 b)D= x4 – 6x3 +10x2 -6x +9= x4– 6x3+9x2)+ (x2-6x+9) = (x2-3x)2 + (x-3)2 ≥ 0 min D =0 x=3 IV)Dạng phân thức: 1)Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai Biểu thức này đạt GTNN khi mẫu đạt GTLN 2 - 2 - 2 Ví dụ: Tìm GTNN của A = = = 6x - 5- 9x2 9x2 - 6x + 5 (3x - 1)2 + 4 1 1 - 2 - 2 Vì (3x-1)2 ≥0 (3x-1)2 +4 ≥ 4 £ ≥ (3x - 1)2 + 4 4 (3x - 1)2 + 4 4 - 1 A ≥ 2 - 1 1 Min A = 3x-1 =0 x= 2 3 2)Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức 3x2 - 8x + 6 a) Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x2 - 2x + 1
3. C.Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến 1) Ví dụ 1: Cho x+y=1. Tìm GTNN của A = x3+y3+xy Ta có A= (x+y)(x2-xy+y2) + xy= x2+y2 (vì x+y=1) a) Cách 1: Biểu thị ẩn này qua ẩn kia, rồi đưa vế một tam thức bậc hai Từ x+y=1 x=1-y 1 1 1 1 1 1 Nên A = (1-y)2 +y2 = 2(y2-y)+1= 2(y2 -2.y. + )+ = 2(y - )2 + ≥ 2 4 2 2 2 2 1 1 Vậy min A = x=y= 2 2 b) Cách 2: sử dụng đk đã cho, làm xuất hiện biểu thức mới có chứa A Từ x+y=1 x2+2xy+y2=1 (1). Mặt khác (x-y)2 ≥ 0 x2-2xy+y2 ≥ 0 (2) Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 1 1 1 2(x2+y2) ≥ 1 x2+y2 ≥ min A = x=y= 2 2 2 2) Ví dụ 2: Cho x+ y+z=3 a) Tìm GTNN của A = x2+ y2+z2 b) Tìm GTNN của B= xy+yz+xz Từ x+ y+z=3 (x+ y+z)2=9 x2+ y2+z2+ 2(xy+yz+xz) =9 (1) Ta có x2+ y2+z2 – xy – yz – xz=.2(x2+ y2+z2 – xy – yz – xz) 1 = é(x - y)2 + (x-z)2 + (y- z)2 ù≥ 0 x2+ y2+z2 ≥ xy+yz+xz (2) 2 ëê ûú Đẳng thức xảy ra khi x=y=z a) Từ (1) và (2) suy ra 9 = x2+ y2+z2 +2(xy+yz+xz) ≤ x2+ y2+z2 +2(x2+ y2+z2) = 3(x2+ y2+z2) x2+ y2+z2 ≥ 3 min A =3 x = y = z = 1 b) Từ (1) và (2) suy ra 9 = x2+ y2+z2 +2(xy+yz+xz) ≥ xy+yz+xz +2(xy+yz+xz ) = 3(xy+yz+xz ) x2+ y2+z2 ≤ 3 max B = 3 x = y = z = 1 3) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất cùa S = xyz(x+y)(y+z)(z+x) với x, y, z > 0 và x+y+z =1
4. 1 a)Ta có A > 0 nên A nhỏ nhất khi lớn nhất, ta có: A 1 (x2 1)2 2x2 1 1 1 min 1 x 0 max A 1 x 0 A x4 1 x4 1 A b)Ta có (x2 -1)2 0 x4 2x2 1 0 x4 1 2x2 .( Dấu bằng xảy ra khi x2 = 1 ) 2x2 2x2 1 1 Vì x4 +1 > 0 1 1 2 max 2 x2 1 min A x 1 x4 1 x4 1 A 2 3) Nhiều khi ta tìm cực trị của biểu thức trong các koang3 của biến, sau đó so sanh các cực trị trị đó để tìm giá tri6 lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong toàn bộ tập xác định của biến y Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B 5 x y a)Xét x y 4 - Nếu x=0 thì B = 0 - Nếu y = 4 thì x = 0 và A=4 - Nếu 1 y 3 thì A 3 b)Nếu x + y 6 thì A 0 So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4 x 0; y 4 4) Sử dụng hằng đẳng thức Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của A= 2x 3y biết x2 y2 52 Áp dung bất đẳng thức Bunhiacốpski cho các số 2,3,x,y ta có 2x 3y 2 22 32 x2 y2 4 9 52 262 2x 3y 26 2 x y 3x 2 2 2 3x 2 Max A = 26 y x y x 52 13x 52.4 x 4 2 3 2 2 Vậy: maxA= 26 x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = -6 5) Hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau a)Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất của A x2 3x 1 21 3x x2 Vì x2 3x 1 21 3x x2 =22 không đổi nên tích x2 3x 1 21 3x x2 lớn nhất khi và chỉ khi x2 3x 1 21 3x x2 x 5; x 2