Bài giảng môn Toán Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng, Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ (Tiết 3)

Nội dung text: Bài giảng môn Toán Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng, Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ (Tiết 3)

1. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LỚP 10 TIẾT 3 CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1 Tính các tích vô hướng. Dạng 2 Chứng minh các đẳng thức liên quan tích vô hướng. Dạng 3 Tìm tập hợp điểm thoả mãn điều kiện cho trước. c
2. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 A M B Ví dụ 1 Cho hình vuông cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác . Tính giá trị các biểu thức sau: G a) ( + )( + ) . b) . + . D C Hình 2.3 Lời giải a) Theo quy tắc hình bình hành ta có + = Do đó ( + )( + ) = . + . = . Vì . = 0 do ⊥ = . cos ෣ . Mặt khác, ෣ = 450 và theo định lý Pitago ta có: = 2 + 2 = 2 . Suy ra ( + )( + ) = . 2cos450 = 2.
3. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A Ví dụ 2 Cho tam giác có = , = , = . M là trung điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A. a) Tính . , rồi suy ra 표푠 . B C 2 2 D M b) Tính và . Hình 2.3 Lời giải 1 2 a) Ta có . = 2 + 2 − − 2 1 1 = 2 + 2 − 2 = 2 + 2 − 2 . 2 2 Mặt khác . = . cos = cos . 1 2+ 2− 2 Suy ra 2 + 2 − 2 = 표푠 hay 표푠 = . 2 2
4. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A Mặt khác = − và = − thay vào (*) ta được − = − C ⇔ + = + B D M 2 2 Hình 2.3 ⇔ + 2 2 = + 2 + 1 ⇔ + 2 2 = 2 2 + 2 . 2 + 2 − 2 + 2 2 2 ⇔ 2 = + − + + . + 2 4 Hay 2 = − . + 2
5. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN b) Cách 1: Vì tam giác vuông tại A nên . = 0 , và từ câu a ta có . = − 2, . = −3 2. Suy ra . + . + . = −4 2. Cách 2: Từ + + = 0 và hằng đẳng thức 2 + + = 2 + 2 + 2 + 2 . + . + . . 1 Ta có . + . + . = − 2 + 2 + 2 = −4 2. 2
6. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.Cho tam giác có = 5, = 7, = 8. a) Tính . , rồi suy ra giá trị của góc A. b) Tính . . c) Gọi D là điểm trên CA sao cho = 3. Tính . . Bài 2. Cho các véctơ Ԧ, có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện 2 Ԧ − 3 = 7. Tính cos Ԧ, . Bài 3. Cho các véctơ Ԧ, có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 600. Xác định cosin góc giữa hai vectơ và 푣Ԧ với = Ԧ + 2 , 푣Ԧ = Ԧ − . Bài 4. Cho hình vuông cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho = 1, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho = 1 và P là trung điểm BC. Tính cos 푃෣ .
7. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan tích vô hướng. 1. Phương pháp giải. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức 2 = 2 . Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ. Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng. 2. Ví dụ.
8. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng: VíLờidụ giải2 : . + . + . = 0 (*). Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". Lời giải: Ta có: . + . + . = . − + . − + . − = . − . + . − . + . − . = 0 Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A,B. Khi đó ta có . = 0, . = 0 (1). Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được . + . + . = 0 (2). Từ (1) (2) ta có . = 0 suy ra BH vuông góc với AC. Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm).
9. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho tam giác đều cạnh , với các đường cao , 퐾 vẽ ⊥ . Chứng minh rằng a. . = 2 . . b. . = 4 . . c. − = 2 . . 2 Bài 2.Cho tam giác đều cạnh bằng . Chứng minh . = − . 2 Bài 3. Cho tam giác có là trực tâm; ′, ′ lần lượt là chân đường cao xuất phát từ các điểm , . Gọi , , , 푃 lần lượt là trung điểm của , , , . Chứng minh . = ′ . ′ .
10. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 8. Cho tam giác có trọng tâm G và = , = , = . 1 Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 . 3 Bài 9. Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn . = 0. Chứng minh rằng: 2 + 2 = 2 + 2. Bài 10. Cho tam giác có ba đường cao là AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: ′ . + ′ . + ′푃. = 0. Bài 11.Cho hình bình hành . Gọi M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: . − . = . . Bài 12. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính = 2푅. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. a) Chứng minh: . = . , . = . . b) Tính . + . theo R.
11. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 1 Cho hai điểm A, B cố định có độ dài AB bằng a, và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho: 3 2 a) . = . b) . = 2. 4 Lời giải a) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó I là điểm cố định, ta có 3 2 3 2 . = ⇔ + + = 4 4 3 2 2 3 2 ⇔ 2 − 2 = (Do = − )⇔ 2 = + ⇔ = . 4 4 4 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính 푅 = . b) Ta có . = 2 ⇔ . = 2 ⇔ . − = 0 ⇔ . = 0 ⇔ ⊥ . Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A.
12. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 3 Cho hình vuông cạnh và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho . + . = . Lời giải Gọi I là tâm của hình vuông , suy ra I là điểm cố định A B Ta có: . = + + = 2 + + + . I = 2 + . . D C Tương tự . = 2 + . . Nên . + . = ⇔ 2 2 + . + . = ⇔ 2 2 − 2 − 2 = ⇔ 2 = + 2 2 + 2 ⇔ 2 = . 2
13. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho 2 điểm và có = 4cm. Tìm tập hợp những điểm sao cho . = 0. Bài 2. Cho 2 điểm , và là trung điểm của , = . Tập hợp những điểm mà . = 2 là đường tròn tâm , tính bán kính của đường tròn đó. Bài 3. Cho đoạn thẳng = cố định. Tìm tập hợp những điểm M thỏa . = 2. Bài 4. Cho hình vuông tâm , cạnh . Biết rằng tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức 2 2 + 2 + 2 2 + 2 = 9 2 là một đường tròn có bán kính 푅. Tính 푅 theo . Bài 5. Cho tam giác , điểm 퐽 thỏa mãn 퐾 = 3퐾퐽, là trung điểm của cạnh ,điểm 퐾 thỏa mãn 퐾 + 퐾 + 2퐾 = 0. Tìm tập hợp điểm thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 3 퐾 + 퐾 . + + 2 = 0.