Bài giảng môn Toán Lớp 10 - Chương 3, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Nội dung text: Bài giảng môn Toán Lớp 10 - Chương 3, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

1. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
2. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Câu 1 Nêu cách xác định góc giữa hai vectơ Ԧ và đều khác 0 trong hình học phẳng. Trả lời Trong mặt phẳng cho hai véctơ và đều khác véc tơ và một điểm O bất kì. A O Góc giữa hai vectơ B
3. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Câu 2 a) Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng? Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ? b) Điền vào bảng bên dưới. Trả lời b) Cho và đều khác vectơ . = | |. | |.cos( , ) Góc , cos , . • °( Hai véc tơ cùng hướng) 1 . • °( Hai véc tơ vuông góc) 0 0 • °( Hai véc tơ ngược hướng) -1 - . Khi = ta được . = . = = | |. | | 풐풔( ) = | | Hay =
4. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Định nghĩa Trong mặt phẳng, cho u , v 0. Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu u . v u . v = |u| . |v| .cos( u , v ) Tính chất 풖 . 풗 Quy ước : Nếu u = 0 hoặc v = 0 thì: u . v = 0 퐜퐨퐬 풖 , 풗 = |풖|. | 풗 |
5. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Bài tập : 2 Dạng 1:Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian 1 Phương pháp: - Áp dụng công thức: 풖. 풗 = |풖|. |풗|. 풐풔 풖, 풗 - Sử dụng tính chất và các nhận xét. Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian 1 Phương pháp: Cách 1: Áp dụng định nghĩa góc của 2 véc tơ trong không gian. Cách 2: Sử dụng các nhận xét và tính chất 풖 . 풗 퐜퐨퐬 풖 , 풗 = |풖|. | 풗 |
6. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, 푺 = và tam giác ABC vuông tại A. Khi đó 푪 . 푪푺 =? . . 푪. 푫. Bài giải S 푪 = ;푺푪 = + = 푪 푪 ; 푪푺 = 푺푪 ෣ cos푺푪 ෣ = = 푺푪 A B 푪 . 푪푺 = . . = . D C
7. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian Ví dụ 1 Cho hình lập phương 푪푫. 푬푭푮푯. Hãy tính góc giữa cặp vectơ và 푬푮? A. °. B. °. C. ퟒ °. D. °. F Bài giải E Ta có: 퐄퐆 = 퐀퐂 (do 퐀퐂퐆퐄 là hình chữ nhật) H G ⇒ 퐀퐁, 퐄퐆 = 퐀퐁, 퐀퐂 = 퐁퐀퐂෣ = ퟒ °. A (Vì 푪푫 là hình vuông) B D C
8. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1 Góc giữa hai vectơ trong không gian Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian Ví dụ 3 Cho hình chóp 퐒. 퐀퐁퐂 có 퐁퐂 = 퐚 , các cạnh còn lại đều bằng 퐚. Góc giữa hai vectơ 퐒퐁 và 퐀퐂 bằng A. °. B. °. C. °. D. °. Bài giải S 푺 . 푪 Ta có 풐풔 푺 , 푪 = 푺 . 푪 푺 + . 푪 푺 . 푪 + . 푪 = = A C − + = = − . Suy ra 퐒퐁, 퐀퐂 = . B
9. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa (d) Vectơ a khác vectơ - không được gọi là a vectơ chỉ phương của đường thẳng d (d’) b nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d (d1) k 0 a k a a (d2) (d) b a (d) A d1 // d2 a , b cùng phương
10. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa b Góc giữa hai đường thẳng a và b trong a không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ O a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt  b’ song song với a và b Gọi là góc giữa hai đường thẳng thì 00 900 a b a b a u u 00 ( u , v ) 900 v a’   O ( u , v ) > 900  b v Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng ( u , v ) a và b bằng 1800 – ( u , v )
11. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: a) AB và B’C’ b) AC và B’C’ Bài giải B’ C’ 0 A’ Góc giữa AB và B’C’ bằng góc ABC = 90  D’ B Góc giữa AC và B’C’ bằng góc ACB = 450  C A  D
12. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 3 Cho hình lập phương 푪푫. ′ ′푪′푫′ có 푰, 푱 tương ứng là trung điểm của 푪 và ′. Góc giữa hai đường thẳng 푪 và 푰푱 bằng: A. 45o. B. 60o C. 30o . D. 120o. Bài giải Gọi 푲 là trung điểm của Vì 푪푫 là hình vuông nên 푲푰// 푪, suy ra góc giữa 푪 và 푰푱 bằng góc giữa 푲푰 và 푰푱. Ta có 푲푰 = 푪; 푰푱 = 푪′; 푲푱 = ′ Vì 푪푫. ′ ′푪′푫′ là hình lập phương nên: 푪 = ′푪 = ′ suy ra 푲푰 = 푰푱 = 푱푲 Suy ra tam giác 푰푱푲 là tam giác đều, suy ra 푲푰푱෢ = °. Vậy góc giữa hai đường thẳng 푪 và 푰푱 bằng 푲푰푱෢ = °.
13. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 5 Cho tứ diện đều 푪푫 cạnh . Gọi 푴 là trung điểm của 푪. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng và 푫푴? A. . B. . C. . D. . Bài giải Gọi 푵 là trung điểm 푪. Khi đó: // 푴푵 nên 푫푴, = 푫푴, 푴푵 Dễ dàng tính được 푫푴 = 푫푵 = và 푴푵 = . D a a Trong 퐃퐌퐍, ta có: 푫푴 + 푴푵 − 푫푵 N C 풐풔 푫푴푵෣ = = ퟒ A = M 푫푴. 푴푵 a ⋅ ⋅ B 푽ì 풐풔 푫푴푵෣ = > 풏ê풏 풐풔 푫푴, 푴푵 = . Vậy 풐풔 푫푴, =
14. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và PQ vuông góc nhau. Bài giải Ta có: PQ = PA + AC + CQ  A Và: PQ = PB + BD + DQ P 1 Do đó: 2PQ = AC + BD PQ = (AC + BD) 2 B C 1 Khi đó: PQ . AB = ( AC + BD ).AB  Q 2  1 D = ( AC . AB + BD . AB )= (0 + 0) = 0 2 Vậy PQ . AB = 0. Suy ra PQ ⊥ AB
15. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 3 Cho tứ diện đều 푪푫. Khi đó góc giữa và 푪푫 bằng: A. °. B. °. C. °. D. °. Bài giải A Giả sử tứ diện 푪푫 đều cạnh . . 푪푫 Ta có: 풐풔 , 푪푫 = 풐풔 , 푪푫 = . 푪푫 푪 − 푪 . 푪푫 B D = 푪 . 푪푫. 풐풔 푪푫෣ − 푪 . 푪푫. 풐풔 푪푫෣ = C Vậy góc giữa và 푪푫 bằng ° .
16. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN ퟒ Ví dụ 5 Cho tứ diện ABCD có 푪푫 = . Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Cho biết 푱푲 = . Chứng minh: 푪푫 ⊥ 푰푱 Bài giải A Ta có: 푰푱 = 푰푲 = 푪푫 = ; ퟒ 푰푱 + 푰푲 = + = ퟒ J B Mà 푱푲 = D K Từ (1) và (2) ta được:푰푱 + 푰푲 = 푱푲 I Vậy 푰푱 ⊥ 푰푲 (∗൯ C Vì IK là đường trung bình của tam giác BCD nên: 푰 푲Τ/ 푪푫 ∗∗ Từ (*) và ( ) ta suy ra 푪푫 ⊥ 푰푱
17. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
18. LỚP HÌNH HỌC BÀI 2 11 Chương III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC